جبر العمليات المتصلة

تستخدم ACP إجراءات فورية وذرية (${\displaystyle {\mathit {a,b,c,...}}}$) كأفعالها الأولية. بعض الأفعال لها معنى خاص، مثل الفعل${\displaystyle \delta }$، وهو ما يمثل حالة الجمود أو الركود، والفعل${\displaystyle \tau }$، وهو ما يمثل فعلًا صامتًا (أفعالًا مجردة ليس لها هوية محددة).

يمكن دمج الإجراءات لتشكيل عمليات باستخدام مجموعة متنوعة من العوامل. ويمكن تصنيف هذه العوامل بشكل عام إلى توفير جبر العمليات الأساسي ، والتزامن ، والتواصل .

• الاختيار والتسلسل – يُعد عامل الاستبدال من أهم العوامل الجبرية الأساسية (${\displaystyle +}$، والذي يوفر خيارًا بين الإجراءات، وعامل التسلسل (${\displaystyle \cdot }$)، الذي يحدد ترتيب الإجراءات. على سبيل المثال، العملية

${\displaystyle (a+b)\cdot c}$

يختار أولاً القيام بأحد الأمرين${\displaystyle {\mathit {a}}}$أو${\displaystyle {\mathit {b}}}$ثم يقوم بتنفيذ الإجراء${\displaystyle {\mathit {c}}}$كيف يتم الاختيار بين${\displaystyle {\mathit {a}}}$و${\displaystyle {\mathit {b}}}$لا يهم ما تم صنعه، ويبقى غير محدد. لاحظ أن التركيب البديل تبادلي، بينما التركيب التسلسلي ليس كذلك (لأن الزمن يتدفق للأمام).

• التزامن – للسماح بوصف التزامن، توفر ACP عاملي الدمج والدمج الأيسر . عامل الدمج،${\displaystyle \vert \vert }$يمثل هذا التركيب المتوازي لعمليتين، حيث تتداخل الإجراءات الفردية لكل منهما. عامل الدمج الأيسر،${\displaystyle \vert \lfloor }$، هو عامل مساعد له دلالات مشابهة لعملية الدمج، ولكنه يلتزم دائمًا باختيار خطوته الأولى من العملية الموجودة على اليسار. على سبيل المثال، العملية

${\displaystyle (a\cdot b)\vert \vert (c\cdot d)}$

يجوز القيام بالأفعال${\displaystyle a,b,c,d}$في أي من التسلسلات${\displaystyle abcd,acbd,acdb,cabd,cadb,cdab}$من ناحية أخرى، فإن العملية

${\displaystyle (a\cdot b)\vert \lfloor (c\cdot d)}$

قد يقوم فقط بتنفيذ التسلسلات${\displaystyle abcd,acbd,acdb}$لأن عوامل الدمج من اليسار تضمن أن الإجراء${\displaystyle {\mathit {a}}}$يحدث أولاً.

• يتم تمثيل الاتصال - التفاعل (أو التواصل) بين العمليات - باستخدام عامل الاتصال الثنائي.${\displaystyle \vert }$على سبيل المثال، الإجراءات${\displaystyle r(d)}$و${\displaystyle w(d)}$قد يُفسر ذلك على أنه قراءة وكتابة عنصر بيانات${\displaystyle d\in D=\{1,2,3,\ldots \}}$على التوالي. ثم العملية

${\displaystyle \left(\sum _{d\in D}r(d)\cdot y\right)\vert (w(1)\cdot z)}$

سوف يوضح القيمة${\displaystyle 1}$من عملية المكون الأيمن إلى عملية المكون الأيسر ( أي المعرف)${\displaystyle {\mathit {d}}}$مرتبط بالقيمة${\displaystyle 1}$ونسخ مجانية من${\displaystyle {\mathit {d}}}$في هذه العملية${\displaystyle {\mathit {y}}}$تأخذ تلك القيمة)، ثم تتصرف كدمج لـ${\displaystyle {\mathit {y}}}$و${\displaystyle {\mathit {z}}}$.

• التجريد — عامل التجريد،${\displaystyle \tau _{I}}$تُعدّ هذه الطريقة وسيلةً "لإخفاء" بعض الإجراءات، والتعامل معها كأحداث داخلية للأنظمة التي يتم نمذجتها. يتم تحويل الإجراءات المجردة إلى إجراء الخطوة الصامتة.${\displaystyle \tau }$في بعض الحالات، يمكن أيضًا إزالة هذه الخطوات الصامتة من تعبير العملية كجزء من عملية التجريد. على سبيل المثال،

${\displaystyle \tau _{\{c\}}((a+b)\cdot c)=(a+b)\cdot \tau }$

والتي يمكن اختصارها في هذه الحالة إلى

${\displaystyle a+b}$

منذ الحدث${\displaystyle {\mathit {c}}}$لم يعد بالإمكان ملاحظته وليس له أي آثار ملحوظة.

باستخدام عوامل التركيب البديلة والمتسلسلة، تحدد ACP جبر العمليات الأساسي الذي يفي بالبديهيات ^{[ 3 ].}

${\displaystyle {\begin{matrix}x+y&=&y+x\\(x+y)+z&=&x+(y+z)\\x+x&=&x\\(x+y)\cdot z&=&(x\cdot z)+(y\cdot z)\\(x\cdot y)\cdot z&=&x\cdot (y\cdot z)\end{matrix}}}$

بالإضافة إلى الجبر الأساسي، تحدد بديهيتان إضافيتان العلاقات بين عوامل التشغيل البديلة والتسلسلية، وفعل الجمود .${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle {\begin{matrix}\delta +x&=&x\\\delta \cdot x&=&\delta \end{matrix}}}$

البديهيات المرتبطة بعمليات الدمج والدمج الأيسر والتواصل هي ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{matrix}x\vert \vert y&=&x\vert \lfloor y+y\vert \lfloor x+x\vert y\\a\cdot x\vert \lfloor y&=&a\cdot (x\vert \vert y)\\a\vert \lfloor y&=&a\cdot y\\(x+y)\vert \lfloor z&=&(x\vert \lfloor z)+(y\vert \lfloor z)\\a\cdot x\vert b&=&(a\vert b)\cdot x\\a\vert b\cdot x&=&(a\vert b)\cdot x\\a\cdot x\vert b\cdot y&=&(a\vert b)\cdot (x\vert \vert y)\\(x+y)\vert z&=&x\vert z+y\vert z\\x\vert (y+z)&=&x\vert y+x\vert z\end{matrix}}}$

عندما يتم تطبيق عامل الاتصال على الإجراءات وحدها، بدلاً من العمليات، يتم تفسيره كدالة ثنائية من إجراء إلى آخر.${\displaystyle \vert :A\times A\rightarrow A}$يُعرّف تعريف هذه الوظيفة التفاعلات الممكنة بين العمليات - يتم ربط أزواج الإجراءات التي لا تشكل تفاعلات بإجراء المأزق،${\displaystyle \delta }$بينما يتم ربط أزواج التفاعل المسموح بها بإجراءات فردية مقابلة تمثل حدوث التفاعل. على سبيل المثال، قد تحدد وظيفة الاتصالات أن

${\displaystyle a\vert a\rightarrow c}$

مما يدل على أن التفاعل ناجح${\displaystyle a\vert a}$سيقتصر الأمر على الفعل${\displaystyle c}$يتضمن ACP أيضًا عامل تغليف،${\displaystyle \partial _{H}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle H\subseteq A}$، والتي تُستخدم لتحويل محاولات الاتصال غير الناجحة (أي عناصر من${\displaystyle H}$التي لم يتم اختزالها عبر وظيفة الاتصال) إلى حالة الجمود. البديهيات المرتبطة بوظيفة الاتصال وعامل التغليف هي ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{matrix}a\vert b&=&b\vert a\\(a\vert b)\vert c&=&a\vert (b\vert c)\\a\vert \delta &=&\delta \\\partial _{H}(a)&=&a{\mbox{ if }}a\notin H\\\partial _{H}(a)&=&\delta {\mbox{ if }}a\in H\\\partial _{H}(x+y)&=&\partial _{H}(x)+\partial _{H}(y)\\\partial _{H}(x\cdot y)&=&\partial _{H}(x)\cdot \partial _{H}(y)\\\end{matrix}}}$

البديهيات المرتبطة بعامل التجريد هي ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{matrix}\tau _{I}(\tau )&=&\tau \\\tau _{I}(a)&=&a{\mbox{ if }}a\notin I\\\tau _{I}(a)&=&\tau {\mbox{ if }}a\in I\\\tau _{I}(x+y)&=&\tau _{I}(x)+\tau _{I}(y)\\\tau _{I}(x\cdot y)&=&\tau _{I}(x)\cdot \tau _{I}(y)\\\partial _{H}(\tau )&=&\tau \\x\cdot \tau &=&x\\\tau \cdot x&=&\tau \cdot x+x\\a\cdot (\tau \cdot x+y)&=&a\cdot (\tau \cdot x+y)+a\cdot x\\\tau \cdot x\vert \lfloor y&=&\tau \cdot (x\vert \vert y)\\\tau \vert \lfloor x&=&\tau \cdot x\\\tau \vert x&=&\delta \\x\vert \tau &=&\delta \\\tau \cdot x\vert y&=&x\vert y\\x\vert \tau \cdot y&=&x\vert y\end{matrix}}}$

لاحظ أن الإجراء a في القائمة أعلاه قد يأخذ القيمة δ (ولكن بالطبع، لا يمكن أن تنتمي δ إلى مجموعة التجريد I ).