لعبة Bimatrix

في نظرية الألعاب ، تُعرف لعبة المصفوفة الثنائية بأنها لعبة متزامنة للاعبين، حيث يمتلك كل لاعب عددًا محدودًا من الإجراءات الممكنة. ويأتي الاسم من حقيقة أن الشكل الطبيعي لمثل هذه اللعبة يمكن وصفه بمصفوفتين .${\displaystyle A}$وصف عوائد اللاعب 1 والمصفوفة${\displaystyle B}$وصف عوائد اللاعب 2. ^{[ 1 ]}

يُطلق على اللاعب 1 غالبًا اسم "لاعب الصف" وعلى اللاعب 2 اسم "لاعب العمود". إذا كان اللاعب 1${\displaystyle m}$الإجراءات الممكنة، واللاعب الثاني لديه${\displaystyle n}$الإجراءات الممكنة، ثم كل من المصفوفتين لديها${\displaystyle m}$صفوف حسب${\displaystyle n}$الأعمدة. عندما يختار اللاعب الصف${\displaystyle i}$الإجراء رقم -th، ويختار اللاعب العمود${\displaystyle j}$في الحركة رقم -، يكون العائد للاعب الصف هو${\displaystyle A[i,j]}$والمكافأة التي يحصل عليها اللاعب في العمود هي${\displaystyle B[i,j]}$.

يمكن للاعبين أيضًا اتباع استراتيجيات مختلطة . الاستراتيجية المختلطة للاعب الصف هي متجه غير سالب.${\displaystyle x}$من الطول${\displaystyle m}$بحيث:${\textstyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}=1}$وبالمثل، فإن الاستراتيجية المختلطة للاعب العمود هي متجه غير سالب${\displaystyle y}$من الطول${\displaystyle n}$بحيث:${\textstyle \sum _{j=1}^{n}y_{j}=1}$عندما يلعب اللاعبون استراتيجيات مختلطة مع المتجهات${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$، العائد المتوقع للاعب الصف هو:${\displaystyle x^{\mathsf {T}}Ay}$ولاعب العمود:${\displaystyle x^{\mathsf {T}}By}$.

لكل لعبة ثنائية المصفوفة توازن ناش في الاستراتيجيات المختلطة (إن وجدت). يُعد إيجاد توازن ناش هذا حالة خاصة من مسألة التكامل الخطي ، ويمكن إنجازه في وقت محدود باستخدام خوارزمية ليمكي-هاوسون . ^{[ 1 ]}

هناك اختزال من مشكلة إيجاد توازن ناش في لعبة ثنائية المصفوفة إلى مشكلة إيجاد توازن تنافسي في اقتصاد ذي منافع ليونتيف . ^{[ 2 ]}

لعبة المجموع الصفري هي حالة خاصة من لعبة المصفوفة الثنائية التي${\displaystyle A+B=0}$.