تدابير بديلة للتوتر

يُعدّ إجهاد كوشي (أو الإجهاد الحقيقي) مقياسًا للقوة المؤثرة على عنصر مساحة في الشكل المشوه. هذا الموتر متناظر ويُعرَّف عبر

${\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma }$

أو

${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} }$

أين${\displaystyle \mathbf {t} }$الجر و${\displaystyle \mathbf {n} }$هو العمودي على السطح الذي تعمل عليه قوة الجر.

الكمية،

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}}$

يُطلق عليه اسم موتر إجهاد كيرشوف ، مع${\displaystyle J}$المحدد لـ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$يُستخدم هذا المقياس على نطاق واسع في الخوارزميات العددية لدراسة لدونة المعادن (حيث لا يحدث تغير في الحجم أثناء التشوه اللدن). ويمكن تسميته أيضًا بموتر إجهاد كوشي الموزون .

يُعدّ إجهاد بيوت مفيدًا لأنه مترافق طاقيًا مع موتر التمدد الأيمن${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$يُعرَّف إجهاد بيوت بأنه الجزء المتناظر من الموتر${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}}$أين${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$هو موتر الدوران الناتج عن تحليل قطبي لتدرج التشوه. لذلك، يُعرَّف موتر إجهاد بيوت على النحو التالي:

${\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})~.}$

يُطلق على الإجهاد البيوتي أيضًا اسم إجهاد جاومان.

الكمية${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ليس له أي تفسير فيزيائي. ومع ذلك، فإن إجهاد بيوت غير المتماثل له تفسير

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}~d\mathbf {f} =({\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

من صيغة نانسون التي تربط المساحات في التكوينات المرجعية والمشوهة:

${\displaystyle \mathbf {n} ~d\Gamma =J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

الآن،

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma =d\mathbf {f} ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

لذلك،

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot (J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

أو،

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}=J~({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})^{T}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

أو،

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {N}}^{T}={\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

في تدوين الفهرس،

${\displaystyle N_{Ij}=J~F_{Ik}^{-1}~\sigma _{kj}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=J~\sigma _{ki}~F_{Jk}^{-1}}$

لذلك،

${\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}~.}$

لاحظ أن${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ و${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ليست متناظرة (بشكل عام) لأن${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$(عموماً) ليس متناظراً.

تذكر أن

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}=d\mathbf {f} }$

و

${\displaystyle d\mathbf {f} ={\boldsymbol {F}}\cdot d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})}$

لذلك،

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}}$

أو (باستخدام تناظر${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$)

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}}$

في تدوين الفهرس،

${\displaystyle N_{Ij}=S_{IK}~F_{jK}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=F_{iK}~S_{KJ}}$

أو يمكننا أن نكتب

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {P}}}$

تذكر أن

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

فيما يتعلق بالإجهاد الحركي الدوائي الثاني، لدينا

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

لذلك،

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

في تدوين الفهرس،

${\displaystyle S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}~\tau _{kl}~F_{Jl}^{-1}}$

بما أن إجهاد كوشي (وبالتالي إجهاد كيرشوف) متناظر، فإن إجهاد PK الثاني يكون متناظرًا أيضًا.

أو يمكننا أن نكتب

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$

أو،

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

من الواضح، من تعريف عمليتي الدفع للأمام والسحب للخلف ، أن لدينا

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\varphi ^{*}[{\boldsymbol {\tau }}]={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

و

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\varphi _{*}[{\boldsymbol {S}}]={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

لذلك،${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$هو التراجع عن${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$بواسطة${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$و${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$هو الدفعة إلى الأمام من${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$.

مفتاح:$${\displaystyle J=\det \left({\boldsymbol {F}}\right),\quad {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {U}}^{2},\quad {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {U}},\quad {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {R}}^{-1},}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {\tau }}=J{\boldsymbol {\sigma }},\quad {\boldsymbol {S}}=J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}},\quad {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}$$

صيغ التحويل

معادلة لـ	${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\,}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {\tau }}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$(عدم التناظر)
${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {\sigma }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$(عدم التناظر)
${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C}}^{-1}{\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {T}}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {M}}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$(عدم التناظر)	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$(عدم التناظر)	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$