مجمع رقعة الشطرنج

مُركّب رقعة الشطرنج هو نوع خاص من المُركّبات التبسيطية المجردة ، وله تطبيقات متنوعة في نظرية الرسم البياني الطوبولوجية والطوبولوجيا الجبرية . ^{[ 1 ] [ 2 ]} بصورة غير رسمية، يحتوي مُركّب رقعة الشطرنج ( m , n ) على جميع مجموعات المواضع على رقعة شطرنج m × n ، حيث يمكن وضع الرخّات دون أن تهاجم بعضها بعضًا. وبصورة مكافئة، هو مُركّب المطابقة للرسم البياني الثنائي الكامل ( m , n ) ، أو مُركّب الاستقلال لرسم بياني الرخّات m × n .

لأي عددين صحيحين موجبين m و n ، فإن مركب رقعة الشطرنج ( m, n )${\displaystyle \Delta _{m,n}}$هو المركب التبسيطي المجرد ذو مجموعة الرؤوس${\displaystyle [m]\times [n]}$التي تحتوي على جميع المجموعات الجزئية S بحيث، إذا${\displaystyle (i_{1},j_{1})}$و${\displaystyle (i_{2},j_{2})}$إذا كانا عنصرين متميزين من S ، فكلاهما${\displaystyle i_{1}\neq i_{2}}$و${\displaystyle j_{1}\neq j_{2}}$يمكن اعتبار مجموعة الرؤوس شبكة ثنائية الأبعاد (مثل رقعة الشطرنج)، ويحتوي هذا المركب على جميع المجموعات الجزئية S التي لا تحتوي على خليتين في نفس الصف أو العمود. بعبارة أخرى، جميع المجموعات الجزئية S التي يمكن وضع القلاع عليها دون أن تشغل إحداها الأخرى.

يمكن تعريف مُركّب رقعة الشطرنج بإيجاز باستخدام عملية الضم المحذوف . ليكن D _{_m} مجموعة من m نقطة منفصلة. عندئذٍ، يكون مُركّب رقعة الشطرنج هو عملية الضم المحذوف الثنائية من الرتبة n لـ D _{_m} ، ويُرمز له بـ${\displaystyle (D_{m})_{\Delta (2)}^{*n}}$[ ^{3 ] : 176​}

تعريف آخر هو مجموعة جميع التطابقات في الرسم البياني الثنائي الكامل${\displaystyle K_{m,n}}$[ ^{1 ]​}

في أي مُركّب شطرنج من الرتبة ( m , n )، يكون لجوار كل رأس بنية مُركّب شطرنج من الرتبة ( m − 1, n − 1). وبالنسبة لرخ الشطرنج، فإن وضع رخ واحد على الرقعة يُزيل المربعات المتبقية في نفس الصف والعمود، تاركًا مجموعة أصغر من الصفوف والأعمدة حيث يمكن وضع رخ إضافي. يُتيح هذا دراسة البنية الطوبولوجية لرقعة الشطرنج بشكل هرمي، استنادًا إلى بنيتها ذات الأبعاد الأقل. ومن الأمثلة على ذلك مُركّب شطرنج الرتبة (4,5)، ومُركّبا شطرنج الرتبة (3,4) و(2,3) الموجودان ضمنه: ^{[ 4 ]}

• إن مجمع رقعة الشطرنج (2,3) هو شكل سداسي يتكون من ستة رؤوس (المربعات الستة لرقعة الشطرنج) متصلة بستة حواف (أزواج من المربعات غير المهاجمة).
• يُعدّ مُركّب رقعة الشطرنج (3،4) تثليثًا لسطح حلقي ، ويتكوّن من 24 مثلثًا (ثلاثيات من المربعات غير المُهاجمة)، و36 ضلعًا، و12 رأسًا. تلتقي ستة مثلثات عند كل رأس، بنفس النمط السداسي لمُركّب رقعة الشطرنج (2،3).
• يشكّل مُركّب رقعة الشطرنج (4،5) شبهَ مُتشعب ثلاثي الأبعاد : في جوار كل رأس، تلتقي 24 رباعية الأوجه، على شكل طارة، بدلاً من النمط الكروي المطلوب في المُتشعب . إذا أُزيلت الرؤوس من هذا الفضاء، يُمكن إعطاء النتيجة بنية هندسية كمُتشعب زائدي ثلاثي الأبعاد ذي رؤوس مُدببة ، مُكافئ طوبولوجيًا لمُكمّل وصلة مكونة من 20 مُكوّنًا .

كل جانب من جوانب${\displaystyle \Delta _{m,n}}$يتضمن${\displaystyle \min(m,n)}$العناصر. لذلك، فإن بُعد${\displaystyle \Delta _{m,n}}$يكون${\displaystyle \min(m,n)-1}$.

الاتصال المتجانس لمجمع رقعة الشطرنج هو على الأقل${\displaystyle \min \left(m,n,{\frac {m+n+1}{3}}\right)-2}$(لذا${\displaystyle \eta \geq \min \left(m,n,{\frac {m+n+1}{3}}\right)}$). ^{[ 1 ] : القسم 1}

أرقام بيتي${\displaystyle b_{r-1}}$عدد مجمعات رقعة الشطرنج يساوي صفرًا إذا وفقط إذا${\displaystyle (mr)(nr)>r}$[ ^{5 ] : 200} القيم الذاتية لمصفوفات لابلاس التوافقية لمركب رقعة الشطرنج هي أعداد صحيحة ^{. [ 5 ] : 193}

مجمع رقعة الشطرنج هو${\displaystyle (\nu _{m,n}-1)}$-متصل، حيث${\displaystyle \nu _{m,n}:=\min\{m,n,\lfloor {\frac {m+n+1}{3}}\rfloor \}}$[ ^{6 ] : 527} مجموعة التماثل^​${\displaystyle H_{\nu _{m,n}}(M_{m,n})}$هي مجموعة ثلاثية ذات أس لا يتجاوز 9، ومن المعروف أنها المجموعة الدورية المكونة من 3 عناصر عندما${\displaystyle m+n\equiv 1{\pmod {3}}}$[ ^{6 ] : 543-555​}

ال${\displaystyle (\lfloor {\frac {n+m+1}{3}}\rfloor -1)}$الهيكل العظمي لمركب رقعة الشطرنج قابل للتحليل الرأسي بمعنى بروفان وبيلرا (وبالتالي قابل للتجزئة )، ويكون المركب بأكمله قابلاً للتحليل الرأسي إذا${\displaystyle n\geq 2m-1}$[ ^{7 ] : 3} كنتيجة لذلك، أي وضعية لـ k من ^القلاع على رقعة شطرنج m × n ، حيث${\displaystyle k\leq \lfloor {\frac {m+n+1}{3}}\rfloor }$، ويمكن تحويلها إلى أي وضع آخر باستخدام على الأكثر${\displaystyle mn-k}$حركات الرخ المفرد (حيث لا تتضمن أي من المواضع الوسيطة أخذ رخ). ^{[ 7 ] : 3}

المجمع${\displaystyle \Delta _{n_{1},\ldots ,n_{k}}}$هو "مركب رقعة الشطرنج" المُعرَّف لرقعة شطرنج ذات بُعد k . وبصورة مكافئة، هو مجموعة المطابقات في رسم بياني فائق كامل ذي k أجزاء . هذا المركب على الأقل${\displaystyle (\nu -2)}$-متصل، من أجل${\displaystyle \nu$ :=\min\{n_{1},\lfloor {\frac {n_{1}+n_{2}+1}{3}}\rfloor ,\dots ,\lfloor {\frac {n_{1}+n_{2}+\dots +n_{k}+1}{2k+1}}\rfloor \}} ^{[ 1 ] : 33}