تسلسل الاختيارات

في الرياضيات الحدسية ، تُعدّ متتالية الاختيار صياغةً بنائيةً للمتتالية . ولأنّ المدرسة الحدسية في الرياضيات، كما صاغها ل . إ. ج. براور ، ترفض فكرة اللانهاية الكاملة ، فإنه لاستخدام المتتالية (التي تُعتبر في الرياضيات الكلاسيكية كائنًا لانهائيًا)، يجب أن تكون لدينا صياغة لكائن محدود وقابل للإنشاء يؤدي الغرض نفسه الذي تؤديه المتتالية. وهكذا، صاغ براور متتالية الاختيار، التي تُعطى كبناء، لا ككائن مجرد لانهائي. ^{[ 1 ]}

يُفرَّق بين المتتابعات غير المنتظمة والمتتابعات المنتظمة . ^{[ 2 ]} المتتابعة المنتظمة هي تلك التي يمكن وصفها وصفًا كاملًا - فهي بنية مكتملة، يمكن وصفها وصفًا تامًا. على سبيل المثال، الأعداد الطبيعية${\displaystyle \mathbb {N} }$يمكن اعتبارها متتاليةً قانونية: يمكن وصف المتتالية وصفًا بنائيًا كاملًا بالعنصر الوحيد 0 ودالة لاحقة . وبناءً على هذه الصياغة، نعلم أن${\displaystyle i}$سيكون العنصر رقم في متتالية الأعداد الطبيعية هو العدد${\displaystyle i-1}$وبالمثل، دالة${\displaystyle f:\mathbb {N} \mapsto \mathbb {N} }$إن عملية الربط من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الطبيعية تحدد بشكل فعال قيمة أي وسيط تأخذه، وبالتالي تصف تسلسلًا يشبه القانون.

أما المتتالية غير المنتظمة (أو الحرة )، فهي متتالية غير محددة مسبقًا. ويمكن اعتبارها إجراءً لتوليد قيم للوسائط 0، 1، 2، ... أي متتالية غير منتظمة.${\displaystyle \alpha }$هي إجراء لتوليد${\displaystyle \alpha _{0}}$،${\displaystyle \alpha _{1}}$... (عناصر المتتالية)${\displaystyle \alpha }$) بحيث:

• في أي لحظة معينة من بناء التسلسل${\displaystyle \alpha }$لا يُعرف سوى جزء أولي من المتتالية، ولا توجد قيود على القيم المستقبلية لـ${\displaystyle \alpha }$؛ و
• يمكن للمرء أن يحدد مسبقًا مقطعًا أوليًا${\displaystyle \langle \alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\rangle }$ل${\displaystyle \alpha }$.

لاحظ أن النقطة الأولى أعلاه مضللة بعض الشيء، حيث يمكننا تحديد، على سبيل المثال، أن القيم في سلسلة ما يتم سحبها حصريًا من مجموعة الأعداد الطبيعية - يمكننا تحديد نطاق السلسلة مسبقًا .

المثال النموذجي للتسلسل غير المنتظم هو سلسلة رميات النرد . نحدد النرد الذي سنستخدمه، ويمكننا اختيارياً تحديد قيم النرد الأول مسبقاً.${\displaystyle k}$لفائف (لـ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$علاوة على ذلك، نقوم بتقييد قيم المتتالية لتكون ضمن المجموعة${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$تتضمن هذه المواصفات إجراء توليد المتتالية غير المنتظمة المذكورة. وبالتالي، لا تُعرف أي قيمة مستقبلية محددة لهذه المتتالية في أي مرحلة من المراحل.

هناك بديهيتان على وجه الخصوص نتوقع أن تكونا صحيحتين بالنسبة لتسلسلات الاختيار كما هو موضح أعلاه. ليكن${\displaystyle \alpha \in n}$يشير إلى العلاقة "التسلسل${\displaystyle \alpha }$يبدأ بالتسلسل الأولي${\displaystyle n}$"لتسلسل الاختيار"${\displaystyle \alpha }$والقطاع المحدود${\displaystyle n}$(وبشكل أكثر تحديدًا،${\displaystyle n}$من المحتمل أن يكون عددًا صحيحًا يرمز إلى تسلسل أولي محدود).

نتوقع أن تنطبق القاعدة التالية، والتي تسمى بديهية البيانات المفتوحة ، على جميع التسلسلات غير النظامية: $${\displaystyle A(\alpha )\rightarrow \exists n[\alpha \in n\,\land \,\forall \beta \in n[A(\beta )]]}$$ أين${\displaystyle A}$هو مسند ذو موضع واحد . والتبرير البديهي لهذه البديهية هو كما يلي: في الرياضيات الحدسية، التحقق من أن${\displaystyle A}$سلاسل التسلسل${\displaystyle \alpha }$يُعطى كإجراء ؛ عند أي نقطة من تنفيذ هذا الإجراء، سنكون قد فحصنا جزءًا أوليًا محدودًا فقط من المتتالية. وبشكل بديهي، تنص هذه البديهية على أنه بما أن، عند أي نقطة من التحقق من أن${\displaystyle A}$يمسك بـ${\displaystyle \alpha }$لن نكون قد تحققنا إلا من ذلك.${\displaystyle A}$ينطبق ذلك على سلسلة أولية محدودة من${\displaystyle \alpha }$وبالتالي، لا بد أن يكون الأمر كذلك.${\displaystyle A}$وينطبق ذلك أيضاً على أي تسلسل خارج عن القانون${\displaystyle \beta }$مشاركة هذا التسلسل الأولي. وذلك لأنه في أي مرحلة من مراحل عملية التحقق${\displaystyle A(\alpha )}$، لأي من هذا القبيل${\displaystyle \beta }$يشترك في البادئة الأولية لـ${\displaystyle \alpha }$مشفر بواسطة${\displaystyle n}$التي سبق أن فحصناها، إذا قمنا بتطبيق الإجراء نفسه على${\displaystyle \beta }$سنحصل على النتيجة نفسها. يمكن تعميم هذه البديهية لأي دالة تأخذ عددًا عشوائيًا من الوسائط.

هناك بديهية أخرى مطلوبة للمتتاليات غير المنتظمة. بديهية الكثافة ، معطاة بالصيغة التالية: $${\displaystyle \forall n\,\exists \alpha [\alpha \in n]}$$ ينص على أنه بالنسبة لأي بادئة محدودة (مشفرة بواسطة)${\displaystyle n}$هناك تسلسل ما${\displaystyle \alpha }$بدءًا من تلك البادئة. نشترط هذه البديهية لتجنب وجود أي "ثغرات" في مجموعة متواليات الاختيار. هذه البديهية هي السبب في اشتراطنا إمكانية تحديد متواليات أولية محدودة طويلة بشكل تعسفي من متواليات الاختيار العشوائية مسبقًا؛ فبدون هذا الشرط، لا تُضمن بديهية الكثافة بالضرورة.

• البنائية (فلسفة الرياضيات) – وجهة نظر فلسفية مفادها أن براهين الوجود يجب أن تكون بنائية