القدرة الكلاسيكية

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 117 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية المعلومات الكمومية ، فإن السعة الكلاسيكية لقناة كمومية هي الحد الأقصى لمعدل إرسال البيانات الكلاسيكية عبرها دون أخطاء في حالة استخدام القناة عدة مرات.

خلفية

الحالات المختلطة والقنوات الكمومية

الحالة الكمومية المختلطة هي مؤثر موجب ذو أثر وحدة، يُعرف باسم مؤثر الكثافة ، ويُرمز إليه غالبًا بـρ{\displaystyle \rho }،σ{\displaystyle \sigma }،ω{\displaystyle \omega }إلخ. أبسط نموذج للقناة الكمومية هو القناة الكلاسيكية الكمومية

x↦ρx.{\displaystyle x\mapsto \rho _{x}.}

والتي ترسل الرسالة الكلاسيكيةx{\displaystyle x} عند الطرف المرسل إلى حالة كموميةρx{\displaystyle \rho _{x}}في الطرف المستقبل، مع احتمال وجود تشويش بينهما. مهمة جهاز الاستقبال هي إجراء قياس لتحديد مدخلات المرسل. إذا كانت الحالاتρx{\displaystyle \rho _{x}}يمكن تمييزها تمامًا عن بعضها البعض (أي إذا كانت لها دعامات متعامدة بحيثTr⁡ρxρx′=0{\displaystyle \operatorname {Tr} \rho _{x}\rho _{x^{\prime }}=0}لx≠x′{\displaystyle x\neq x^{\prime }}وإذا كانت القناة خالية من التشويش، فإن فك التشفير المثالي يصبح ممكناً بسهولة.ρx{\displaystyle \rho _{x}}إذا كانت جميعها تتبادل فيما بينها، فإن القناة تكون كلاسيكية فعليًا. يصبح الوضع غير بديهي فقط عندما تكون الحالات ρx{\displaystyle \rho _{x}}لديهم دعم متداخل ولا يتنقلون بالضرورة.

القياسات الكمومية

إنّ الطريقة الأكثر عمومية لوصف القياس الكمومي هي باستخدام مقياس ذي قيم موجبة للمؤثر ، والذي يُرمز إلى عناصره عادةً بـ {Λم}م{\displaystyle \left\{\Lambda _{m}\right\}_{m}}ينبغي أن تستوفي هذه العوامل شرطي الإيجابية والكمال لتشكيل نموذج POVM صالح:

Λم≥0    ∀م{\displaystyle \Lambda _{m}\geq 0\ \ \ \ \forall m}
∑مΛم=أنا.{\displaystyle \sum _{m}\Lambda _{m}=I.}

ينص التفسير الاحتمالي لميكانيكا الكم على أنه إذا قام شخص ما بقياس حالة كموميةρ{\displaystyle \rho }باستخدام جهاز قياس يتوافق مع POVM{Λم}{\displaystyle \left\{\Lambda _{m}\right\}}ثم الاحتمالص(م){\displaystyle p\left(m\right)}لتحقيق النتيجةم{\displaystyle m}يساوي

ص(م)=Tr⁡Λمρ،{\displaystyle p(m)=\operatorname {Tr} \Lambda _{m}\rho ,}

والحالة بعد القياس هي

ρم′=1ص(م)Λم1/2ρΛم1/2،{\displaystyle \rho _{m}^{\prime }={\frac {1}{p(m)}}\Lambda _{m}^{1/2}\rho \Lambda _{m}^{1/2},}

إذا حصل الشخص الذي يقوم بالقياس على النتيجةم{\displaystyle m}.

التواصل الكلاسيكي عبر القنوات الكمومية

ما سبق يكفي للنظر في مخطط اتصال كلاسيكي عبر قناة cq. يستخدم المرسل قناة cq لربط حرف كلاسيكي x بحالة كموميةρx{\displaystyle \rho _{x}}، والتي يتم إرسالها بعد ذلك عبر قناة كمومية مشوشة، ثم يتم قياسها باستخدام طريقة قياس القيمة المكانية (POVM) بواسطة جهاز الاستقبال، الذي يحصل على حرف كلاسيكي آخر.

تعريف دقيق

يمكن تعريف السعة الكلاسيكية بأنها الحد الأقصى لمعدل البيانات الذي يمكن تحقيقه بواسطة نظام ترميز لنقل المعلومات الكلاسيكية، والذي يمكن تعريفه على النحو التالي. [ 1 ]

التعريف. (نظام الترميز) أ(ن،م،دلتا){\displaystyle (n,m,\delta )}مخطط ترميز لنقل المعلومات الكلاسيكية باستخدام قناة كموميةتي:ب(حأ)→ب(حأ){\displaystyle T:B({\mathcal {H}}_{A})\to B({\mathcal {H}}_{A})}يتم تحديدها بواسطة زوج من خريطة التشفيرهـ:{0،1}ن→د(حأ⊗ن){\displaystyle E:\{0,1\}^{n}\to D({\mathcal {H}}_{A}^{\otimes n})}وفك التشفير POVMμ:{0،1}ن→ب(حب)⊗ن{\displaystyle \mu :\{0,1\}^{n}\to B({\mathcal {H}}_{B})^{\otimes n}} بحيث⟨μ(x)،تي⊗ن(هـ(x))⟩≥1-دلتا{\displaystyle \langle \mu (x),T^{\otimes n}(E(x))\rangle \geq 1-\delta }فيما يتعلق بالضرب الداخلي لهيلبرت-شميدت لجميعx∈{0،1}ن{\displaystyle x\in \{0,1\}^{n}}.

التعريف. (المعدل القابل للتحقيق) معدلR≥0{\displaystyle R\geq 0}هذا أمر ممكن بالنسبة للقناةتي{\displaystyle T}إذا كان أي منهماR=0{\displaystyle R=0}أوR>0{\displaystyle R>0}ولأين{\displaystyle n}يوجد(ن،من،دلتان){\displaystyle (n,m_{n},\delta _{n})}- نظام ترميز بحيثR=ليمن→∞من/ن{\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }m_{n}/n}وليمن→∞دلتان=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\delta _{n}=0}كلاهما صحيح.

نظرية هوليفو-شوماخر-ويستمورلاند

معلومات هوليفو ( وتسمى أيضًا هوليفو)χ{\displaystyle \chi }كمية) قناة كموميةشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}يمكن تعريفها على النحو التالي:

χ(شمال)=الأعلىρXأأنا(X؛ب)شمال(ρ){\displaystyle \chi ({\mathcal {N}})=\max _{\rho ^{XA}}I(X;B)_{{\mathcal {N}}(\rho )}}

أينρXأ{\displaystyle \rho ^{XA}}هي حالة كلاسيكية-كمية من الشكل

ρXأ=∑xصX(x)|x⟩⟨x|X⊗ρxأ{\displaystyle \rho ^{XA}=\sum _{x}p_{X}(x)\vert x\rangle \langle x\vert ^{X}\otimes \rho _{x}^{A}}

بالنسبة لبعض التوزيعات الاحتماليةصX(x){\displaystyle p_{X}(x)}ومؤثرات الكثافةρxأ{\displaystyle \rho _{x}^{A}}والتي يمكن إدخالها إلى القناة المحددة.

أثبت شوماخر وويستمورلاند في عام 1997، [ 2 ] وهوليفو بشكل مستقل في عام 1998، [ 3 ] أن السعة الكلاسيكية لقناة كمومية يمكن تعريفها بشكل مكافئ على النحو التالي:

ج(تي)=ليمك→∞χ(تي⊗ك).{\displaystyle C(T)=\lim _{k\to \infty }\chi (T^{\otimes k}).}

قام هاياشي وناغاوكا بتوسيع نطاق منهج طيف المعلومات ليشمل القنوات الكلاسيكية الكمومية، حيث قدما صيغًا للسعة ووصفًا لخاصية العكس القوي دون افتراض الثبات أو انعدام الذاكرة. بالنسبة للقنوات الثابتة عديمة الذاكرة، فإن صياغتهما تستعيد نتيجة سعة هوليفو المعتادة. [ 4 ]

تُستخدم متباينة هاياشي-ناغاوكا للمؤثر، الواردة في هذا العمل، لتقييد احتمالات الخطأ في قياسات الجذر التربيعي في براهين إمكانية تحقيق الاتصالات الكلاسيكية عبر القنوات الكمومية. [ 4 ] [ 5 ]

معضلة القياس اللطيف

تنص نظرية القياس اللطيف على أن القياس الذي ينجح باحتمالية عالية لا يزعج الحالة كثيراً في المتوسط.

اللمة. (وينتر) بالنظر إلى مجموعة{صX(x)،ρx}{\displaystyle \left\{p_{X}(x),\rho _{x}\right\}}مع عامل الكثافة المتوقعةρ≡∑xصX(x)ρx{\displaystyle \rho \equiv \sum _{x}p_{X}(x)\rho _{x}}لنفترض أن عاملًاΛ{\displaystyle \Lambda }معأنا≥Λ≥0{\displaystyle I\geq \Lambda \geq 0}ينجح باحتمالية1-ϵ{\displaystyle 1-\epsilon }على مستوى الدولةρ{\displaystyle \rho }:

Tr⁡Λρ≥1-ϵ.{\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda \rho \geq 1-\epsilon .}

ثم الحالة دون المعياريةΛρxΛ{\displaystyle {\sqrt {\Lambda }}\rho _{x}{\sqrt {\Lambda }}}تقترب مسافة التتبع المتوقعة من الحالة الأصليةρx{\displaystyle \rho _{x}}:

هـX[‖ΛρXΛ-ρX‖1]≤2ϵ.{\displaystyle \mathbb {E} _{X}[\left\Vert {\sqrt {\Lambda }}\rho _{X}{\sqrt {\Lambda }}-\rho _{X}\right\Vert _{1}]\leq 2{\sqrt {\epsilon }}.}

تُشابه مبرهنة القياس اللطيف المبرهنة التالية التي تنطبق على أي مؤثرات. ρ{\displaystyle \rho }،σ{\displaystyle \sigma }،Λ{\displaystyle \Lambda }بحيث0≤ρ،σ،Λ≤أنا{\displaystyle 0\leq \rho ,\sigma ,\Lambda \leq I}:

التفسير الكمومي للمعلومات لهذه المتباينة هو أن احتمال الحصول على نتيجةΛ{\displaystyle \Lambda }من قياس كمي يؤثر على الحالةρ{\displaystyle \rho }وهي محدودة بمجموع احتمالية الحصول على Λ{\displaystyle \Lambda }علىσ{\displaystyle \sigma }وبجمعها، يمكن تمييز الحالتينρ{\displaystyle \rho }وσ{\displaystyle \sigma }.

اتحاد غير تبادلي

اللمة. (حد سين) [ 6 ] لحالة شبه مُعَيَّرةσ{\displaystyle \sigma }بحيث0≤σ{\displaystyle 0\leq \sigma }و Tr⁡σ≤1{\displaystyle \operatorname {Tr} \sigma \leq 1}وبالنسبة لأجهزة العرضΠ1{\displaystyle \Pi _{1}}...Πشمال{\displaystyle \Pi _{N}}لدينا Tr⁡σ-Tr⁡Πشمال⋯Π1 σ Π1⋯Πشمال≤2∑أنا=1شمالTr⁡(أنا-Πأنا)σ.{\displaystyle \operatorname {Tr} \sigma -\operatorname {Tr} \Pi _{N}\cdots \Pi _{1}\ \sigma \ \Pi _{1}\cdots \Pi _{N}\leq 2{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Tr} \left(I-\Pi _{i}\right)\sigma }}.}

بشكل بديهي، يعتبر حد سين نوعًا من "حدود الاتحاد غير التبادلية" لأنه مشابه لحدود الاتحاد من نظرية الاحتمالات الكلاسيكية: برو(أ1∩⋯∩أشمال)ج=برو(أ1ج∪⋯∪أشمالج)≤∑أنا=1شمالبرو(أأناج)،{\displaystyle \Pr \left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{N}\right)^{c}=\Pr \left(A_{1}^{c}\cup \cdots \cup A_{N}^{c}\right)\leq \sum _{i=1}^{N}\Pr(A_{i}^{c}),} أينأ1،...،أشمال{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{N}}هي أحداث. سيكون الحد الكمومي المماثل هو

Tr(أنا-Π1⋯Πشمال⋯Π1)ρ≤∑أنا=1شمالTr(أنا-Πأنا)ρ{\displaystyle {\text{Tr}}\left(I-\Pi _{1}\cdots \Pi _{N}\cdots \Pi _{1}\right)\rho \leq \sum _{i=1}^{N}{\text{Tr}}\left(I-\Pi _{i}\right)\rho }

إذا فكرنا فيΠ1⋯Πشمال{\displaystyle \Pi _{1}\cdots \Pi _{N}}كجهاز إسقاط على تقاطع الفضاءات الفرعية. ومع ذلك، لا يصح هذا إلا إذا كانت أجهزة الإسقاطΠ1{\displaystyle \Pi _{1}}...Πشمال{\displaystyle \Pi _{N}}التنقل (اختيار)Π1=|+⟩⟨+|{\displaystyle \Pi _{1}=\left\vert +\right\rangle \left\langle +\right\vert }،Π2=|0⟩⟨0|{\displaystyle \Pi _{2}=\left\vert 0\right\rangle \left\langle 0\right\vert }، وρ=|0⟩⟨0|{\displaystyle \rho =\left\vert 0\right\rangle \left\langle 0\right\vert }(يعطي مثالاً مضاداً). إذا كانت المساقط غير تبادلية، فيجب استخدام حد غير تبادلي أو حد اتحاد كمي.

دليل

سنبرهن الآن على نظرية HSW باستخدام حد الاتحاد غير التبادلي لسين. سنصف أولاً كيفية اختيار الشفرة، ثم نقدم بناء POVM الخاص ببوب، وأخيراً نحلل خطأ البروتوكول.

خريطة التشفير

سنصف أولاً كيف اتفقت أليس وبوب على اختيار عشوائي للرمز. لديهما القناةx→ρx{\displaystyle x\rightarrow \rho _{x}}وتوزيعصX(x){\displaystyle p_{X}(x)}يختارونم{\displaystyle M}المتتابعات الكلاسيكية xن{\displaystyle x^{n}}وفقًا لتوزيع IIDصXن(xن){\displaystyle p_{X^{n}}(x^{n})}بعد اختيارها، يقومون بتسميتها بأرقام فهرسة مثل{xن(م)}م∈[م]{\displaystyle \{x^{n}(m)\}_{m\in [M]}}وهذا يؤدي إلى الكلمات المشفرة الكمومية التالية:

ρxن(م)=ρx1(م)⊗⋯⊗ρxن(م).{\displaystyle \rho _{x^{n}(m)}=\rho _{x_{1}(m)}\otimes \cdots \otimes \rho _{x_{n}(m)}.}

ثم يصبح دليل الشفرات الكمومية{ρxن(م)}م∈[م]{\displaystyle \{\rho _{x^{n}(m)}\}_{m\in [M]}}ثم يكون متوسط ​​حالة دفتر الشفرات

أينρ=∑xصX(x)ρx{\displaystyle \rho =\sum _{x}p_{X}(x)\rho _{x}}.

فك تشفير بناء POVM

يُشير حدّ سين من اللمة المذكورة أعلاه إلى طريقةٍ لبوب لفكّ تشفير الحالة التي تُرسلها أليس. ينبغي على بوب أولاً أن يسأل: "هل تقع الحالة المُستلمة في الفضاء الجزئي النموذجي المتوسط؟" يُمكنه القيام بذلك عمليًا من خلال إجراء قياس للفضاء الجزئي النموذجي المُطابق لـ{Πρ،دلتان،أنا-Πρ،دلتان}{\displaystyle \{\Pi _{\rho ,\delta }^{n},I-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\}}ثم يسأل بالتسلسل: "هل كلمة السر المستلمة موجودة في..."مذ{\displaystyle m^{\text{th}}} "الفضاء الفرعي النموذجي المشروط؟" هذا يُعادل إلى حد ما السؤال التالي: "هل كلمة المرور المُستلمة هي مذ{\displaystyle m^{\text{th}}}كلمة المرور المرسلة؟" يمكنه طرح هذه الأسئلة عمليًا من خلال إجراء القياسات التي تتوافق مع أجهزة العرض النموذجية المشروطة.{Πρxن(م)،دلتا،أنا-Πρxن(م)،دلتا}{\displaystyle \{\Pi _{\rho _{x^{n}(m)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}(m)},\delta }\}}.

لماذا يُفترض أن تنجح هذه الطريقة لفك التشفير التسلسلي؟ السبب هو أن الكلمة المشفرة المرسلة تقع في الفضاء الفرعي النموذجي في المتوسط:

هـXن[Tr⁡Πρ،دلتاρXن]=Tr⁡Πρ،دلتا هـXن[ρXن]{\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}[\operatorname {Tr} \Pi _{\rho ,\delta }\rho _{X^{n}}]=\operatorname {Tr} \Pi _{\rho ,\delta }\ \mathbb {E} _{X^{n}}[\rho _{X^{n}}]}
=Tr⁡Πρ،دلتاρ⊗ن{\displaystyle =\operatorname {Tr} \Pi _{\rho ,\delta }\rho ^{\otimes n}}
≥1-ϵ،{\displaystyle \geq 1-\epsilon ,}

حيث تنتج المتباينة من (\ref{eq:1st-typ-prop}). كذلك، المساقطΠρxن(م)،دلتا{\displaystyle \Pi _{\rho _{x^{n}(m)},\delta }} هي "أجهزة كشف جيدة" للولاياتρxن(م){\displaystyle \rho _{x^{n}(m)}}(في المتوسط) لأن الشرط التالي يتحقق من خلال النموذجية الكمومية المشروطة:

هـXن[Tr⁡ΠρXن،دلتاρXن]≥1-ϵ.{\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}[\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}},\delta }\rho _{X^{n}}]\geq 1-\epsilon .}

تحليل الأخطاء

احتمالية اكتشافمذ{\displaystyle m^{\text{th}}} الكلمة المشفرة الصحيحة في ظل نظام فك التشفير التسلسلي لدينا تساوي

Tr⁡ΠρXن(م)،دلتاΠ^ρXن(م-1)،دلتا⋯Π^ρXن(1)،دلتاΠρ،دلتانρxن(م)Πρ،دلتانΠ^ρXن(1)،دلتا⋯Π^ρXن(م-1)،دلتاΠρXن(م)،دلتا،{\displaystyle \operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{x^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta },}

حيث نقوم بالاختصارΠ^≡أنا-Π{\displaystyle {\hat {\Pi }}\equiv I-\Pi }(لاحظ أننا نسقط في الفضاء الفرعي النموذجي المتوسط ​​مرة واحدة فقط.) وبالتالي، فإن احتمال الكشف الخاطئ لـمذ{\displaystyle m^{\text{th}}}يتم إعطاء كلمة السر بواسطة

1-Tr⁡ΠρXن(م)،دلتاΠ^ρXن(م-1)،دلتا⋯Π^ρXن(1)،دلتاΠρ،دلتانρxن(م)Πρ،دلتانΠ^ρXن(1)،دلتا⋯Π^ρXن(م-1)،دلتاΠρXن(م)،دلتا،{\displaystyle 1-\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{x^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta },}

ومتوسط ​​احتمال الخطأ في هذه الخطة يساوي

1-1م∑مTr⁡ΠρXن(م)،دلتاΠ^ρXن(م-1)،دلتا⋯Π^ρXن(1)،دلتاΠρ،دلتانρxن(م)Πρ،دلتانΠ^ρXن(1)،دلتا⋯Π^ρXن(م-1)،دلتاΠρXن(م)،دلتا.{\displaystyle 1-{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{x^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }.}

بدلاً من تحليل متوسط ​​احتمال الخطأ، نقوم بتحليل القيمة المتوقعة لمتوسط ​​احتمال الخطأ، حيث تكون القيمة المتوقعة بالنسبة للاختيار العشوائي للرمز:

تتمثل خطوتنا الأولى في تطبيق حد سين على الكمية المذكورة أعلاه. ولكن قبل القيام بذلك، ينبغي لنا إعادة كتابة التعبير أعلاه بشكل طفيف، من خلال ملاحظة أن

1=هـXن[1م∑مTr⁡ρXن(م)]{\displaystyle 1=\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} \rho _{X^{n}(m)}\right]}
=هـXن[1م∑مTr⁡Πρ،دلتانρXن(م)+Tr⁡Π^ρ،دلتانρXن(م)]{\displaystyle =\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}+\operatorname {Tr} {\hat {\Pi }}_{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\right]}
=هـXن[1م∑مTr⁡Πρ،دلتانρXن(م)Πρ،دلتان]+1م∑مTr⁡Π^ρدلتانهـXن[ρXن(م)]{\displaystyle =\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right]+{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} {\hat {\Pi }}_{\rho \delta }^{n}\mathbb {E} _{X^{n}}[\rho _{X^{n}(m)}]}
=هـXن[1م∑مTr⁡Πρ،دلتانρXن(م)Πρ،دلتان]+Tr⁡Π^ρ،دلتانρ⊗ن{\displaystyle =\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right]+\operatorname {Tr} {\hat {\Pi }}_{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}}
≤هـXن[1م∑مTr⁡Πρ،دلتانρXن(م)Πρ،دلتان]+ϵ{\displaystyle \leq \mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right]+\epsilon }

بالتعويض في ( 3 ) (مع تجاهل الصغير)ϵ{\displaystyle \epsilon }(مصطلح مؤقت) يعطي حدًا أعلى لـ

هـXن[1م∑مTr⁡Πρ،دلتانρXن(م)Πρ،دلتان]{\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right]}
-هـXن[1م∑مTr⁡ΠρXن(م)،دلتاΠ^ρXن(م-1)،دلتا⋯Π^ρXن(1)،دلتاΠρ،دلتانρxن(م)Πρ،دلتانΠ^ρXن(1)،دلتا⋯Π^ρXن(م-1)،دلتاΠρXن(م)،دلتا].{\displaystyle -\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{x^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }\right].}

ثم نطبق حد سين على هذا التعبير معσ=Πρ،دلتانρXن(م)Πρ،دلتان{\displaystyle \sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}}وأجهزة العرض التسلسلي كـΠρXن(م)،دلتا{\displaystyle \Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }}،Π^ρXن(م-1)،دلتا{\displaystyle {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }}...Π^ρXن(1)،دلتا{\displaystyle {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }}وهذا يعطي الحد الأعلى هـXن[1م∑م2(Tr⁡(أنا-ΠρXن(م)،دلتا)Πρ،دلتانρXن(م)Πρ،دلتان+∑أنا=1م-1Tr⁡ΠρXن(أنا)،دلتاΠρ،دلتانρXن(م)Πρ،دلتان)1/2].{\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left(\operatorname {Tr} (I-\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta })\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}+\sum _{i=1}^{m-1}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(i)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right)^{1/2}\right].} بسبب تقعر الجذر التربيعي، يمكننا تقييد هذا التعبير من الأعلى بواسطة

2(هـXن[1م∑مTr⁡(أنا-ΠρXن(م)،دلتا)Πρ،دلتانρXن(م)Πρ،دلتان+∑أنا=1م-1Tr⁡ΠρXن(أنا)،دلتاΠρ،دلتانρXن(م)Πρ،دلتان])1/2{\displaystyle 2\left(\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} (I-\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta })\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}+\sum _{i=1}^{m-1}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(i)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right]\right)^{1/2}}
2(هـXن[1م∑مTr⁡(أنا-ΠρXن(م)،دلتا)Πρ،دلتانρXن(م)Πρ،دلتان+∑أنا≠مTr⁡ΠρXن(أنا)،دلتاΠρ،دلتانρXن(م)Πρ،دلتان])1/2{\displaystyle 2\left(\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} (I-\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta })\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}+\sum _{i\neq m}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(i)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right]\right)^{1/2}}

حيث يتم حساب الحد الثاني عن طريق جمع جميع الكلمات المشفرة التي لا تساويمذ{\displaystyle m^{\text{th}}}كلمة السر (لا يمكن أن يكون هذا المجموع إلا أكبر).

سنركز الآن بشكل حصري على إثبات إمكانية تصغير الحد الموجود داخل الجذر التربيعي. لننظر إلى الحد الأول:

هـXن[1م∑مTr⁡(أنا-ΠρXن(م)،دلتا)Πρ،دلتانρXن(م)Πρ،دلتان]{\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} (I-\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta })\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right]}
≤هـXن[1م∑مTr⁡(أنا-ΠρXن(م)،دلتا)ρXن(م)+‖ρXن(م)-Πρ،دلتانρXن(م)Πρ،دلتان‖1]{\displaystyle \leq \mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} (I-\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta })\rho _{X^{n}(m)}+\left\Vert \rho _{X^{n}(m)}-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\Vert _{1}\right]}
≤ϵ+2ϵ.{\displaystyle \leq \epsilon +2{\sqrt {\epsilon }}.}

حيث تُستنتج المتباينة الأولى من ( 1 )، وتُستنتج المتباينة الثانية من مبرهنة المؤثر اللطيف وخصائص النمطية غير المشروطة والمشروطة. لننظر الآن إلى الحد الثاني وسلسلة المتباينات التالية:

∑أنا≠مهـXن[Tr⁡ΠρXن(أنا)،دلتاΠρ،دلتانρXن(م)Πρ،دلتان]{\displaystyle \sum _{i\neq m}\mathbb {E} _{X^{n}}[\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(i)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}]}
=∑أنا≠مTr⁡هـXن[ΠρXن(أنا)،دلتا]Πρ،دلتانهـXن[ρXن(م)]Πρ،دلتان{\displaystyle =\sum _{i\neq m}\operatorname {Tr} \mathbb {E} _{X^{n}}[\Pi _{\rho _{X^{n}(i)},\delta }]\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\mathbb {E} _{X^{n}}[\rho _{X^{n}(m)}]\Pi _{\rho ,\delta }^{n}}
=∑أنا≠مTr⁡هـXن[ΠρXن(أنا)،دلتا]Πρ،دلتانρ⊗نΠρ،دلتان{\displaystyle =\sum _{i\neq m}\operatorname {Tr} \mathbb {E} _{X^{n}}[\Pi _{\rho _{X^{n}(i)},\delta }]\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}}
≤∑أنا≠م2-ن⌊ح(ب)-دلتا⌋Tr⁡هـXن[ΠρXن(أنا)،دلتا]Πρ،دلتان{\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\lfloor H(B)-\delta \rfloor }\operatorname {Tr} \mathbb {E} _{X^{n}}[\Pi _{\rho _{X^{n}(i)},\delta }]\Pi _{\rho ,\delta }^{n}}

تنتج المساواة الأولى من الكلمات المشفرةXن(م){\displaystyle X^{n}\left(m\right)}و Xن(أنا){\displaystyle X^{n}(i)}مستقلة لأنها مختلفة. المساواة الثانية ناتجة عن ( 2 ). المتباينة الأولى ناتجة عن (المعادلة: النوع الثالث). بالاستمرار، لدينا

≤∑أنا≠م2-ن⌊ح(ب)-دلتا⌋هـXن[Tr⁡ΠρXن(أنا)،دلتا]{\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\lfloor H(B)-\delta \rfloor }\mathbb {E} _{X^{n}}[\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(i)},\delta }]}
≤∑أنا≠م2-ن⌊ح(ب)-دلتا⌋ 2ن⌊ح(ب|X)+دلتا⌋{\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\lfloor H(B)-\delta \rfloor }\ 2^{n\lfloor H(B|X)+\delta \rfloor }}
=∑أنا≠م2-ن⌊أنا(X؛ب)-2دلتا⌋{\displaystyle =\sum _{i\neq m}2^{-n\lfloor I(X;B)-2\delta \rfloor }}
≤م 2-ن⌊أنا(X؛ب)-2دلتا⌋.{\displaystyle \leq M\ 2^{-n\lfloor I(X;B)-2\delta \rfloor }.}

تنتج المتباينة الأولى منΠρ،دلتان≤أنا{\displaystyle \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq I}واستبدال الأثر بالتوقع. المتباينة الثانية ناتجة عن (\ref{eq:2nd-cond-typ}). أما المتباينتان التاليتان فهما واضحتان.

بجمع كل شيء معًا، نحصل على الحد النهائي لتوقع متوسط ​​احتمال الخطأ:

1-هـXن[Tr⁡ΠρXن(م)،دلتاΠ^ρXن(م-1)،دلتا⋯Π^ρXن(1)،دلتاΠρ،دلتانρxن(م)Πρ،دلتانΠ^ρXن(1)،دلتا⋯Π^ρXن(م-1)،دلتاΠρXن(م)،دلتا]{\displaystyle 1-\mathbb {E} _{X^{n}}\left[\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{x^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }\right]}
≤ϵ+2((ϵ+2ϵ)+م2-ن⌊أنا(X؛ب)-2دلتا⌋)1/2.{\displaystyle \leq \epsilon +2((\epsilon +2{\sqrt {\epsilon }})+M2^{-n\lfloor I(X;B)-2\delta \rfloor })^{1/2}.}

وهكذا، طالما أننا نختارم=2ن⌊أنا(X؛ب)-3دلتا⌋{\displaystyle M=2^{n\lfloor I(X;B)-3\delta \rfloor }}يوجد رمز ذو احتمالية خطأ معدومة.

عدم إمكانية جمع السعة الكلاسيكية

يمكن اعتبار نظرية HSW بمثابة تعبير عن السعة الكلاسيكية للقناةΦ{\displaystyle \Phi }من حيث تنظيم هوليفوχ{\displaystyle \chi }-الكمية عبر استخدامات متعددة لـΦ{\displaystyle \Phi }كانت إحدى المشكلات المفتوحة في نظرية المعلومات الكمومية هي تحديد ما إذا كانχ{\displaystyle \chi }الكمية قابلة للجمع، مما يعني أنه يمكن التعبير عن السعة الكلاسيكية باستخدام استخدام واحد لـΦ{\displaystyle \Phi }[ 7 ] مع ذلك ، قدّم ماثيو هاستينغز في عام 2009 قنوات تُقدّم أمثلة مضادة لهذه العبارة. [ 8 ] أظهرت دراسات لاحقة أن هذه ظاهرة عامة، بمعنى أن القناة المختارة عشوائيًا من توزيع احتمالي طبيعي ستُعطي مثالًا مضادًا باحتمالية عالية. (يتناقض هذا مع البراهين التي تستخدم الطريقة الاحتمالية ، حيث يُظهر أخذ العينات العشوائية أنه يُعطي مثالًا مضادًا باحتمالية غير صفرية فقط). يمكن تقديم برهان على ذلك باستخدام نظرية دفورتسكي . [ 7 ]

الحد الأدنى من إنتروبيا الناتج

إن عدم جمعية السعة الكلاسيكية يرتبط ارتباطًا وثيقًا بعدم جمعية الحد الأدنى لإنتروبيا فون نيومان لمخرج قناة كمومية. وتتمثل إحدى المشكلات الأسهل في دراسة الحد الأدنى لإنتروبيا ريني الكمومية للمخرج لـص>2{\displaystyle p>2}، والتي قدم غرودكا وهوروديكي وبانكوفسكي أمثلة مضادة بسيطة باستخدام التشابك المتأصل للفيرميونات . [ 9 ]

انظر أيضاً

مراجع

  • وايلد، مارك م. (2017)، نظرية المعلومات الكمومية ، مطبعة جامعة كامبريدج، arXiv : 1106.1445 ، Bibcode : 2011arXiv1106.1445W ، doi : 10.1017/9781316809976.001 ، S2CID 2515538 
  • غوها، سايكات؛ تان، سي-هوي؛ وايلد، مارك م. (2012)، "أجهزة استقبال صريحة لتحقيق السعة للاتصالات الضوئية والقراءة الكمومية"، وقائع ندوة IEEE الدولية حول نظرية المعلومات (ISIT 2012) ، الصفحات 551-555 ، arXiv : 1202.0518 ، doi : 10.1109/ISIT.2012.6284251 ، ISBN  978-1-4673-2579-0، S2CID 8786400 .

ملحوظات

  1. ↑ "المحاضرة 11: السعة الكلاسيكية للقناة الكمومية" (PDF) .
  2. ↑ شوماخر، بنيامين؛ ويستمورلاند، مايكل (1997)، "إرسال المعلومات الكلاسيكية عبر قنوات كمومية مشوشة"، مجلة الفيزياء أ ، 56 (1): 131-138 ، رمز Bibcode : 1997PhRvA..56..131S ، doi : 10.1103/PhysRevA.56.131
  3. ↑ هوليفو، ألكسندر س. (1998)، "سعة القناة الكمومية مع حالات الإشارة العامة"، معاملات IEEE في نظرية المعلومات ، 44 (1): 269-273 ، arXiv : quant-ph/9611023 ، doi : 10.1109/18.651037
  4. 1 2 هاياشي، ماساهيتو؛ ناغاوكا، هيروشي (يوليو 2003). "صيغ عامة لسعة القنوات الكلاسيكية الكمومية". معاملات IEEE في نظرية المعلومات . 49 (7): 1753-1768 . arXiv : quant-ph/0206186 . doi : 10.1109/TIT.2003.813556 .
  5. ↑ تشنغ، هاو-تشونغ (نوفمبر 2023). "اشتقاق بسيط وأكثر دقة لإمكانية تحقيق الاتصال الكلاسيكي عبر القنوات الكمومية". PRX Quantum . 4 (4) 040330. arXiv : 2301.11156 . doi : 10.1103/PRXQuantum.4.040330 .
  6. ↑ سين، براناب (2012)، "تحقيق الحد الداخلي لهان-كوباياشي لقناة التداخل الكمومي عن طريق فك التشفير المتسلسل"، وقائع ندوة IEEE الدولية حول نظرية المعلومات (ISIT 2012) ، الصفحات 736-740 ، arXiv : 1109.0802 ، doi : 10.1109/ISIT.2012.6284656 ، S2CID 15119225  
  7. 1 2 أوبرون، غيوم؛ سزاريك، ستانيسواف؛ فيرنر، إليزابيث (2011). "مثال مضاد لخاصية الجمع لهاستينغز عبر نظرية دفوريتسكي" . مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 305 (1): 85-97 . arXiv : 1003.4925 . doi : 10.1007/s00220-010-1172-y . ISSN 0010-3616 . 
  8. ↑ هاستينغز، إم بي (15 مارس 2009). "الجمع الفائق لسعة الاتصال باستخدام المدخلات المتشابكة". مجلة نيتشر فيزيكس . 5 (4). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا ​​ذ.م.م: 255-257 . arXiv : 0809.3972 . doi : 10.1038/nphys1224 . ISSN 1745-2473 . 
  9. ↑ غرودكا، أندريه؛ هوروديكي، ميخال؛ بانكوفسكي، لوكاس (22-10-2010). "أمثلة مضادة بناءة لخاصية جمع إنتروبيا ريني الدنيا للقنوات الكمومية لجميع قيم p > 2" . مجلة الفيزياء أ: الرياضية والنظرية . 43 (42) 425304. arXiv : 0911.2515 . doi : 10.1088/1751-8113/43/42/425304 . ISSN 1751-8113 . تاريخ الاسترجاع: 15-12-2025 .