توزيع معقد ويشارت

في الإحصاء ، يُعد توزيع ويشارت المعقد نسخة معقدة من توزيع ويشارت . وهو توزيع${\displaystyle n}$مضروبًا في مصفوفة التغاير الهيرميتية للعينة من${\displaystyle n}$متغيرات عشوائية غاوسية مستقلة ذات متوسط ​​صفري . ولها نطاق دعم لـ${\displaystyle p\times p}$المصفوفات الهيرميتية الموجبة المحددة . ^{[ 1 ]}

يُصادف توزيع ويشارت المعقد أيضًا في الاتصالات اللاسلكية، عند تحليل أداء قنوات MIMO اللاسلكية ذات التلاشي رايلي . ^{[ 2 ]}

يُعرَّف توزيع ويشارت المركب بأنه كثافة مصفوفة التغاير العيني ذات القيم المركبة.

${\displaystyle S_{p\times p}=\sum _{i=1}^{n}G_{i}G_{i}^{H}}$

حيث كل${\displaystyle G_{i}}$هو متجه عمودي مستقل ذو p عنصر من عينات عشوائية معقدة غاوسية ذات متوسط ​​صفري و${\displaystyle (.)^{H}}$هي منقولة هيرميتية (مترافقة معقدة). إذا كان تباين G هو${\displaystyle \mathbb {E} [GG^{H}]=M}$ثم

${\displaystyle S\sim n{\mathcal {CW}}(M,n,p)}$

أين${\displaystyle {\mathcal {CW}}(M,n,p)}$هو توزيع ويشارت المركزي المعقد ذو n درجة حرية وقيمة متوسطة، أو مصفوفة مقياس ، M.

${\displaystyle f_{S}(\mathbf {S} )={\frac {\left|\mathbf {S} \right|^{np}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {M} ^{-1}\mathbf {S} )}}{\left|\mathbf {M} \right|^{n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma}}_{p}(n)}},\;\;\;n\geq p,\;\;\;\left|\mathbf {M} \right|>0}$

أين

${\displaystyle {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_ {p}^ {}(n)=\pi ^{p(p-1)/2}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (n-j+1)}$

هي دالة غاما متعددة المتغيرات المعقدة. ^{[ 3 ]}

باستخدام قاعدة تدوير الأثر${\displaystyle \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)}$نحصل أيضًا على

${\displaystyle f_{S}(\mathbf {S} )={\frac {\left|\mathbf {S} \right|^{np}}{\left|\mathbf {M} \right|^{n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{p}G_{i}^{H}\mathbf {M} ^{-1}G_{i}\right)}$

وهو قريب جدًا من دالة كثافة الاحتمال متعددة المتغيرات المعقدة للمجموعة G نفسها. تتميز عناصر المجموعة G عادةً بتناظر دائري بحيث${\displaystyle \mathbb {E} [GG^{T}]=0}$.

توزيع ويشارت المركب العكسي${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {S^{-1}} }$بحسب غودمان، ^{[ 3 ]} الشامان ^{[ 4 ]} هو

${\displaystyle f_{Y}(\mathbf {Y} )={\frac {\left|\mathbf {Y} \right|^{-(n+p)}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {M} \mathbf {Y^{-1}} )}}{\left|\mathbf {M} \right|^{-n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}},\;\;\;n\geq p,\;\;\;\det \left(\mathbf {Y} \right)>0}$

أين${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {\Gamma ^{-1}} }$.

إذا تم اشتقاقها عبر عملية عكس المصفوفة، فإن النتيجة تعتمد على محدد جاكوبي المركب

${\displaystyle {\mathcal {C}}J_{Y}(Y^{-1})=\left|Y\right|^{-2p}}$

يناقش غودمان وآخرون ^{[ 5 ]} مثل هذه المصفوفات اليعقوبية المعقدة.

يُعطى التوزيع الاحتمالي للقيم الذاتية لتوزيع هيرميتيان ويشارت المركب، على سبيل المثال، بواسطة جيمس [ ^{6 ] وإيدلمان} [ ^{7 ] .}${\displaystyle p\times p}$مصفوفة مع${\displaystyle \nu \geq p}$درجات الحرية التي نمتلكها

${\displaystyle f(\lambda _{1}\dots \lambda _{p})={\tilde {K}}_{\nu ,p}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}\right)\prod _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{\nu -p}\prod _{i<j}(\lambda _{i}-\lambda _{j})^{2}d\lambda _{1}\dots d\lambda _{p},\;\;\;\lambda _{i}\in \mathbb {R} \geq 0}$

أين

${\displaystyle {\tilde {K}}_{\nu ,p}^{-1}=2^{p\nu }\prod _{i=1}^{p}\Gamma (\nu -i+1)\Gamma (p-i+1)}$

تجدر الإشارة مع ذلك إلى أن إيدلمان يستخدم التعريف "الرياضي" للمتغير الطبيعي المركب${\displaystyle Z=X+iY}$حيث أن كلاً من X و Y متغيران عشوائيان مستقلان ومتطابقان التوزيع، ولكل منهما تباين يساوي واحدًا، وتباين${\displaystyle Z=\mathbf {E} \left(X^{2}+Y^{2}\right)=2}$أما بالنسبة للتعريف الأكثر شيوعًا في الأوساط الهندسية، حيث يكون لكل من X و Y تباين 0.5، فإن القيم الذاتية يتم تقليلها بمعامل 2.

يمكن حساب كثافة الطيف هذه من خلال التكامل لإعطاء احتمال أن تقع جميع القيم الذاتية لمصفوفة ويشارت العشوائية ضمن فترة معينة. ^{[ 8 ]}

يمكن أيضًا إجراء التكامل للكثافة الطيفية لإعطاء التوزيع الهامشي للقيم الذاتية. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

توجد أيضًا تقريبات لتوزيعات القيم الذاتية الهامشية. من إيدلمان، لدينا أنه إذا كانت S عينة من توزيع ويشارت المعقد مع${\displaystyle p=\kappa \nu ,\;\;0\leq \kappa \leq 1}$بحيث${\displaystyle S_{p\times p}\sim {\mathcal {CW}}\left(2\mathbf {I} ,{\frac {p}{\kappa }}\right)}$ ثم في الحد${\displaystyle p\rightarrow \infty }$يتقارب توزيع القيم الذاتية احتماليًا مع دالة توزيع مارشينكو-باستور

${\displaystyle p_{\lambda }(\lambda )={\frac {\sqrt {[\lambda /2-({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}][{\sqrt {\kappa }}+1)^{2}-\lambda /2]}}{4\pi \kappa (\lambda /2)}},\;\;\;2({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}\leq \lambda \leq 2({\sqrt {\kappa }}+1)^{2},\;\;\;0\leq \kappa \leq 1}$

يصبح هذا التوزيع مطابقًا لحالة ويشارت الحقيقية، عن طريق استبدال${\displaystyle \lambda }$بواسطة${\displaystyle 2\lambda }$بسبب مضاعفة تباين العينة، لذلك في هذه الحالة${\displaystyle S_{p\times p}\sim {\mathcal {CW}}\left(\mathbf {I} ,{\frac {p}{\kappa }}\right)}$، يتم تحويل ملف PDF إلى ملف Wishart الأصلي:

${\displaystyle p_{\lambda }(\lambda )={\frac {\sqrt {[\lambda -({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}][{\sqrt {\kappa }}+1)^{2}-\lambda ]}}{2\pi \kappa \lambda }},\;\;\;({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}\leq \lambda \leq ({\sqrt {\kappa }}+1)^{2},\;\;\;0\leq \kappa \leq 1}$

حالة خاصة هي${\displaystyle \kappa =1}$

${\displaystyle p_{\lambda }(\lambda )={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {8-\lambda }{\lambda }}\right)^{\frac {1}{2}},\;0\leq \lambda \leq 8}$

أو، إذا تم استخدام اصطلاح Var( Z ) = 1، فإن

${\displaystyle p_{\lambda }(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {4-\lambda }{\lambda }}\right)^{\frac {1}{2}},\;0\leq \lambda \leq 4}$.

ينشأ توزيع ويغنر نصف الدائري عن طريق تغيير المتغير${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\lambda }}}$في الحالة الأخيرة، يتم اختيار إشارة y عشوائيًا مما ينتج عنه دالة كثافة الاحتمال (pdf).

${\displaystyle p_{y}(y)={\frac {1}{2\pi }}\left(4-y^{2}\right)^{\frac {1}{2}},\;-2\leq y\leq 2}$

بدلاً من تعريف مصفوفة عينة ويشارت المذكورة أعلاه،${\displaystyle S_{p\times p}=\sum _{j=1}^{\nu }G_{j}G_{j}^{H}}$يمكننا تعريف مجموعة غاوسية

${\displaystyle \mathbf {G} _{i,j}=[G_{1}\dots G_{\nu }]\in \mathbb {C} ^{\,p\times \nu }}$

بحيث يكون S هو حاصل ضرب المصفوفات${\displaystyle S=\mathbf {G} \mathbf {G^{H}} }$تكون القيم الذاتية الحقيقية غير السالبة لـ S هي القيم المفردة المربعة للمجموعات.${\displaystyle \mathbf {G} }$وتكون معاملات الأخير موزعة على شكل ربع دائرة.

في هذه الحالة${\displaystyle \kappa >1}$بحيث${\displaystyle \nu <p}$ثم${\displaystyle S}$يعاني من نقص في الرتبة مع ما لا يقل عن${\displaystyle p-\nu }$القيم الذاتية الصفرية. ومع ذلك، فإن القيم المفردة لـ${\displaystyle \mathbf {G} }$تبقى ثابتة تحت التبديل، لذا، إعادة التعريف${\displaystyle {\tilde {S}}=\mathbf {G^{H}} \mathbf {G} }$، ثم${\displaystyle {\tilde {S}}_{\nu \times \nu }}$لها توزيع ويشارت معقد، ولها رتبة كاملة بشكل شبه مؤكد، ويمكن الحصول على توزيعات القيم الذاتية من${\displaystyle {\tilde {S}}}$بدلاً من ذلك، باستخدام جميع المعادلات السابقة.

في الحالات التي تكون فيها أعمدة${\displaystyle \mathbf {G} }$ليست مستقلة خطيًا و${\displaystyle {\tilde {S}}_{\nu \times \nu }}$إذا بقيت مفردة، فيمكن استخدام تحليل QR لتقليل G إلى منتج مثل

${\displaystyle \mathbf {G} =Q{\begin{bmatrix}\mathbf {R} \\0\end{bmatrix}}}$

بحيث${\displaystyle \mathbf {R} _{q\times q},\;\;q\leq \nu }$هو مثلث علوي ذو رتبة كاملة و${\displaystyle {\tilde {\tilde {S}}}_{q\times q}=\mathbf {R^{H}} \mathbf {R} }$وقد أدى ذلك إلى تقليل الأبعاد بشكل أكبر.

تُعد القيم الذاتية ذات أهمية عملية في نظرية الاتصالات اللاسلكية لأنها تحدد سعة قناة شانون لـ${\displaystyle \nu \times p}$قناة MIMO اللاسلكية التي يتم نمذجتها، كتقريب أولي، على أنها مجموعة غاوسية معقدة ذات متوسط ​​صفري.