نظرية الزوايا

في التوافقية الحسابية ، تنص نظرية الزوايا على أنه لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$، بالنسبة للكبير بما فيه الكفاية${\displaystyle N}$أي مجموعة من 10 على الأقل${\displaystyle \varepsilon N^{2}}$النقاط في${\displaystyle N\times N}$شبكة${\displaystyle \{1,\ldots ,N\}^{2}}$يحتوي على زاوية، أي مجموعة ثلاثية من النقاط على شكل${\displaystyle \{(x,y),(x+h,y),(x,y+h)\}}$مع${\displaystyle h\neq 0}$. تم إثباته لأول مرة بواسطة ميكلوس أجتاي وإندري زيمريدي في عام 1974 باستخدام نظرية زيمريدي . ^{[ 1 ]} في عام 2003، قدم جوزيف سوليموسي برهانًا قصيرًا باستخدام معادلة إزالة المثلث . ^{[ 2 ]}

عرّف الزاوية بأنها مجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$من الشكل${\displaystyle \{(x,y),(x+h,y),(x,y+h)\}}$، أين${\displaystyle x,y,h\in \mathbb {Z} }$و${\displaystyle h\neq 0}$لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد صحيح موجب${\displaystyle N(\varepsilon )}$بحيث يكون لأي${\displaystyle N\geq N(\varepsilon )}$أي مجموعة فرعية${\displaystyle A\subseteq \{1,\ldots ,N\}^{2}}$بحجم لا يقل عن${\displaystyle \varepsilon N^{2}}$يحتوي على زاوية.

الحالة${\displaystyle h\neq 0}$يمكن الاسترخاء لـ${\displaystyle h>0}$بإظهار أنه إذا${\displaystyle A}$إذا كانت كثيفة، فإن لها مجموعة فرعية كثيفة متناظرة مركزياً.

فيما يلي عرض موجز لحجة سوليموسي.

يفترض${\displaystyle A\subset \{1,\ldots ,N\}^{2}}$خالٍ من الزوايا. أنشئ رسمًا بيانيًا ثلاثي الأجزاء مساعدًا${\displaystyle G}$مع أجزاء${\displaystyle X=\{x_{1},\ldots ,x_{N}\}}$،${\displaystyle Y=\{y_{1},\ldots ,y_{N}\}}$، و${\displaystyle Z=\{z_{1},\ldots ,z_{2N}\}}$، أين${\displaystyle x_{i}}$يتوافق مع الخط${\displaystyle x=i}$،${\displaystyle y_{j}}$يتوافق مع الخط${\displaystyle y=j}$، و${\displaystyle z_{k}}$يتوافق مع الخط${\displaystyle x+y=k}$صل رأسين إذا كان تقاطع خطيهما المتناظرين يقع في${\displaystyle A}$.

لاحظ أن المثلث في${\displaystyle G}$يتوافق مع زاوية في${\displaystyle A}$باستثناء الحالة البسيطة حيث تلتقي الخطوط المقابلة لرؤوس المثلث عند نقطة في${\displaystyle A}$ويترتب على ذلك أن كل حافة من${\displaystyle G}$يقع في مثلث واحد فقط، لذا وفقًا لفرضية إزالة المثلث ،${\displaystyle G}$لديه${\displaystyle o(|V(G)|^{2})}$الحواف، لذلك${\displaystyle |A|=o(N^{2})}$، حسب الرغبة.

يترك${\displaystyle r_{\angle }(N)}$ليكن حجم أكبر مجموعة فرعية من${\displaystyle [N]^{2}}$والتي لا تحتوي على زاوية. أفضل الحدود المعروفة هي

${\displaystyle {\frac {N^{2}}{2^{(c_{1}+o(1)){\sqrt {\log _{2}N}}}}}\leq r_{\angle }(N)\leq {\frac {N^{2}}{(\log \log N)^{c_{2}}}},}$

أين${\displaystyle c_{1}=2{\sqrt {2\log _{2}{\frac {4}{3}}}}\approx 1.822}$و${\displaystyle c_{2}={\frac {1}{73}}\approx 0.0137}$يُعزى الحد الأدنى إلى غرين، ^{[ 3 ]} استنادًا إلى عمل لينال وشرايبمان. ^{[ 4 ]} أما الحد الأعلى فيُعزى إلى شكريدوف. ^{[ 5 ]}

زاوية في${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$هي مجموعة من النقاط على شكل${\displaystyle \{a\}\cup \{a+he_{i}:1\leq i\leq d\}}$، أين${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{d}}$هو الأساس القياسي لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$، و${\displaystyle h\neq 0}$يمكن إثبات الامتداد الطبيعي لنظرية الزوايا إلى هذا السياق باستخدام مبرهنة إزالة الرسم البياني الفائق ، على غرار برهان سوليموسي. وقد أثبت غاورز ^{[ 6 ]} وناغل ورودل وشاخت وسكوكان ^{[ 7 ] مبرهنة إزالة الرسم البياني الفائق بشكل مستقل.}

• برهان نظرية الزوايا في علم الرياضيات المتعددة.