المنطق الافتراضي

المنطق الافتراضي هو منطق غير رتيب اقترحه ريموند رايتر لإضفاء الطابع الرسمي على الاستدلال بالافتراضات الافتراضية.

يُمكن للمنطق الافتراضي التعبير عن حقائق مثل "افتراضيًا، شيء ما صحيح"؛ في المقابل، لا يُمكن للمنطق القياسي إلا التعبير عن صحة شيء ما أو خطئه. تُشكل هذه المسألة إشكالية لأن الاستدلال غالبًا ما يتضمن حقائق صحيحة في أغلب الحالات، ولكن ليس دائمًا. مثال كلاسيكي على ذلك: "عادةً ما تطير الطيور". يُمكن التعبير عن هذه القاعدة في المنطق القياسي إما بـ"جميع الطيور تطير"، وهو ما يتعارض مع حقيقة أن طيور البطريق لا تطير، أو بـ"جميع الطيور التي ليست بطاريق ولا نعام و... تطير"، وهو ما يتطلب تحديد جميع استثناءات القاعدة. يهدف المنطق الافتراضي إلى صياغة قواعد الاستدلال كهذه بشكل رسمي دون ذكر جميع استثناءاتها صراحةً.

النظرية الافتراضية هي زوج${\displaystyle \langle W,D\rangle }$W هي مجموعة من الصيغ المنطقية، تُسمى النظرية الأساسية ، والتي تُضفي طابعًا رسميًا على الحقائق المعروفة يقينًا. D هي مجموعة من القواعد الافتراضية ، كل منها على الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {المتطلبات الأساسية: التبرير} _{1},\dots ,\mathrm {التبرير} _{n}}{\mathrm {الخلاصة} }}}$

وفقًا لهذا الافتراض، إذا اعتقدنا أن الشرط المسبق صحيح، وكل${\displaystyle \mathrm {Justification} _{i}}$ل${\displaystyle i=1,\dots ,n}$بما يتوافق مع معتقداتنا الحالية، فإننا نميل إلى الاعتقاد بأن الاستنتاج صحيح.

كان يُفترض في الأصل أن الصيغ المنطقية في W وجميع الصيغ في الوضع الافتراضي هي صيغ منطق من الدرجة الأولى ، ولكنها قد تكون صيغًا في أي منطق صوري. وتُعدّ الحالة التي تكون فيها صيغًا في منطق القضايا من أكثر الحالات دراسةً.

يمكن تطبيق قاعدة افتراضية على نظرية ما إذا كان شرطها المسبق متضمنًا في النظرية، وكانت مبرراتها متسقة معها . يؤدي تطبيق القاعدة الافتراضية إلى إضافة نتيجتها إلى النظرية. ويمكن بعد ذلك تطبيق قواعد افتراضية أخرى على النظرية الناتجة. عندما تكون النظرية بحيث لا يمكن تطبيق أي قاعدة افتراضية أخرى عليها، تُسمى هذه النظرية امتدادًا للنظرية الافتراضية. يمكن تطبيق القواعد الافتراضية بترتيب مختلف، مما قد يؤدي إلى امتدادات مختلفة. مثال ماسة نيكسون هو نظرية افتراضية ذات امتدادين:

${\displaystyle \left\langle \left\{{\frac {\mathrm {جمهوري} (X):\neg \mathrm {Pacifist} (X)}{\neg \mathrm {Pacifist} (X)}},{\frac {\mathrm {Quaker} (X):\mathrm {Pacifist} (X)}{\mathrm {Pacifist} (X)}}\right\},\left\{\mathrm {جمهوري} (\mathrm {Nixon} ),\mathrm {Quaker} (\mathrm {Nixon} )\right\}\right\rangle }$

بما أن نيكسون جمهوري وكويكري ، يمكن تطبيق كلا الافتراضين. مع ذلك، يؤدي تطبيق الافتراضي الأول إلى استنتاج أن نيكسون ليس مسالمًا، مما يجعل الافتراضي الثاني غير قابل للتطبيق. وبالمثل، بتطبيق الافتراضي الثاني، نستنتج أن نيكسون مسالم، وبالتالي يصبح الافتراضي الأول غير قابل للتطبيق. لذا، فإن لهذه النظرية الافتراضية تحديدًا امتدادين: أحدهما يكون فيه افتراض "مسالم (نيكسون) " صحيحًا، والآخر يكون فيه هذا الافتراض خاطئًا.

استندت الدلالات الأصلية لمنطق القيم الافتراضية إلى النقطة الثابتة للدالة. وفيما يلي تعريف خوارزمي مكافئ. إذا احتوت قيمة افتراضية على صيغ ذات متغيرات حرة، فإنها تُعتبر ممثلة لمجموعة جميع القيم الافتراضية الناتجة عن إعطاء قيمة لجميع هذه المتغيرات.${\displaystyle {\frac {\alpha$ ينطبق التعبير β₁, ..., βₙ/γ على نظرية القضايا T إذا${\displaystyle T\models \alpha }$وجميع النظريات${\displaystyle T\cup \{\beta _{i}\}}$متسقة. تطبيق هذا الوضع الافتراضي على T يؤدي إلى النظرية${\displaystyle T\cup \{\gamma \}}$يمكن إنشاء امتداد بتطبيق الخوارزمية التالية:

T = W /* النظرية الحالية */ A = 0 /* مجموعة القيم الافتراضية المطبقة حتى الآن */   /* تطبيق سلسلة من الإعدادات الافتراضية */ بينما يوجد قيمة افتراضية d غير موجودة في A وتنطبق على T أضف نتيجة د إلى ت أضف د إلى أ   /* فحص التناسق النهائي */ إذا كان لكل حالة افتراضية d في A يتوافق T مع جميع مبررات d ثم أخرج T

هذه الخوارزمية غير حتمية ، إذ يمكن تطبيق عدة افتراضات بديلة على نظرية معينة (T) . في مثال ماسة نيكسون، يؤدي تطبيق الافتراض الأول إلى نظرية لا يمكن تطبيق الافتراض الثاني عليها، والعكس صحيح. ونتيجة لذلك، يتم توليد امتدادين: أحدهما يكون فيه نيكسون مسالمًا، والآخر لا يكون فيه مسالمًا.

يُشير الفحص النهائي لتناسق مبررات جميع الافتراضات المُطبقة إلى أن بعض النظريات لا تملك أي امتدادات. ويحدث هذا تحديدًا عندما يفشل هذا الفحص في كل تسلسل مُمكن من الافتراضات المُطبقة. نظرية الافتراض التالية ليس لها امتداد:

${\displaystyle \left\langle \left\{{\frac {:A(b)}{\neg A(b)}}\right\},\emptyset \right\rangle }$

منذ${\displaystyle A(b)}$وبما يتوافق مع النظرية الأساسية، يمكن تطبيق الوضع الافتراضي، مما يؤدي إلى الاستنتاج التالي:${\displaystyle A(b)}$هذا غير صحيح. إلا أن هذه النتيجة تقوض الافتراض الذي بُني عليه تطبيق الإعفاء الضريبي الأول. وبالتالي، لا توجد امتدادات لهذه النظرية.

في نظرية التخلف عن السداد العادية، تكون جميع حالات التخلف عن السداد عادية: كل حالة تخلف عن السداد لها الشكل التالي${\displaystyle {\frac {\phi$ ψ }{ψ }}} . من المؤكد أن نظرية التخلف عن السداد العادية تحتوي على امتداد واحد على الأقل. علاوة على ذلك، فإن امتدادات نظرية التخلف عن السداد العادية غير متسقة فيما بينها، أي أنها غير متسقة مع بعضها البعض.

تختلف المتغيرات التالية للمنطق الافتراضي عن الأصل من حيث بناء الجملة والدلالات.

صيغ التأكيد

التأكيد هو زوج${\displaystyle \langle p:\{r_{1},\ldots ,r_{n}\}\rangle }$يتكون من صيغة ومجموعة من الصيغ. يشير هذا الزوج إلى أن p صحيح بينما الصيغ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$تم افتراض اتساقها لإثبات صحة p . تتألف نظرية الافتراضات التأكيدية من نظرية تأكيدية (مجموعة من الصيغ التأكيدية) تُسمى النظرية الأساسية، ومجموعة من الافتراضات المُعرَّفة كما في الصيغة الأصلية. عند تطبيق أي افتراض على نظرية تأكيدية، يُضاف الزوج المُكوَّن من نتيجته ومجموعة مبرراته إلى النظرية. تستخدم الدلالات التالية النظريات التأكيدية:

• منطق افتراضي تراكمي
• الالتزام بالافتراضات والمنطق الافتراضي
• منطق شبه افتراضي

امتدادات ضعيفة

بدلاً من التحقق من صحة الشروط المسبقة في النظرية المكونة من النظرية الأساسية ونتائج الافتراضات المطبقة، يتم التحقق من صحة الشروط المسبقة في الامتداد الذي سيتم إنشاؤه؛ بعبارة أخرى، تبدأ خوارزمية إنشاء الامتدادات بتخمين نظرية واستخدامها بدلاً من النظرية الأساسية؛ وما ينتج عن عملية إنشاء الامتداد لا يُعد امتدادًا فعليًا إلا إذا كان مكافئًا للنظرية التي تم تخمينها في البداية. يرتبط هذا النوع من منطق الافتراضات من حيث المبدأ بالمنطق المعرفي الذاتي ، حيث تكون النظرية${\displaystyle \Box x\rightarrow x}$يحتوي النموذج على أن x صحيح لمجرد ذلك، بافتراض${\displaystyle \Box x}$صحيح، الصيغة${\displaystyle \Box x\rightarrow x}$يدعم الافتراض الأولي.

منطق افتراضي منفصل

نتيجة التخلف عن السداد هي مجموعة من الصيغ بدلاً من صيغة واحدة. عند تطبيق هذا التخلف، يتم اختيار إحدى نتائجه على الأقل بشكل غير حتمي وتصبح صحيحة.

أولويات الإعدادات الافتراضية

يمكن تحديد الأولوية النسبية للقيم الافتراضية بشكل صريح؛ فمن بين القيم الافتراضية التي تنطبق على نظرية ما، لا يُطبَّق إلا واحدة من أكثرها تفضيلاً. ^{[ 1 ]} لا تتطلب بعض دلالات منطق القيم الافتراضية تحديد الأولويات بشكل صريح؛ بل تُفضَّل القيم الافتراضية الأكثر تحديدًا (تلك التي تنطبق في حالات أقل) على القيم الأقل تحديدًا.

المتغير الإحصائي

الافتراضي الإحصائي هو افتراضي مرتبط بحد أعلى لتردد الخطأ؛ بمعنى آخر، يُفترض أن الافتراضي هو قاعدة استدلال غير صحيحة في أكثر من ذلك الجزء من المرات التي يتم تطبيقها فيها.

يمكن ترجمة النظريات الافتراضية إلى نظريات في منطق آخر والعكس صحيح. وقد روعيت الشروط التالية المتعلقة بالترجمات:

الحفاظ على العواقب

إن النظريات الأصلية والمترجمة لها نفس النتائج (الافتراضية)؛

مخلص

لا يكون لهذا الشرط معنى إلا عند الترجمة بين نوعين من المنطق الافتراضي أو بين المنطق الافتراضي ومنطق يوجد فيه مفهوم مشابه للامتداد، على سبيل المثال، النماذج في المنطق الموجه ؛ وتكون الترجمة أمينة إذا كان هناك تعيين (عادةً، تقابل ) بين امتدادات (أو نماذج) النظريات الأصلية والمترجمة؛

معياري

تعتبر الترجمة من منطق افتراضي إلى منطق آخر معيارية إذا كان من الممكن ترجمة القيم الافتراضية والنظرية الأساسية بشكل منفصل؛ علاوة على ذلك، فإن إضافة الصيغ إلى النظرية الأساسية لا تؤدي إلا إلى إضافة الصيغ الجديدة إلى نتيجة الترجمة؛

نفس الأبجدية

تستند النظريات الأصلية والمترجمة إلى نفس الأبجدية؛

متعدد الحدود

يجب أن يكون وقت تشغيل الترجمة أو حجم النظرية المولدة متعدد الحدود بالنسبة لحجم النظرية الأصلية.

عادة ما يُطلب من الترجمات أن تكون أمينة أو على الأقل تحافظ على النتائج، في حين يتم تجاهل شروط التنميط واستخدام نفس الأبجدية في بعض الأحيان.

تمت دراسة إمكانية الترجمة بين منطق الافتراضيات الافتراضي والمنطق التالي:

• المنطق الافتراضي الكلاسيكي؛
• المنطق المعرفي الذاتي؛
• يقتصر منطق الافتراض الافتراضي على النظريات شبه الطبيعية؛
• دلالات بديلة للمنطق الافتراضي؛
• تحديد النطاق.

توجد الترجمات أو لا توجد تبعًا للشروط المفروضة. لا يمكن للترجمات من منطق القضايا الافتراضي إلى منطق القضايا الكلاسيكي أن تُنتج دائمًا نظرية قضايا ذات حجم متعدد الحدود، إلا إذا انهار التسلسل الهرمي متعدد الحدود . وتوجد الترجمات إلى منطق المعرفة الذاتية أو لا توجد تبعًا لما إذا كان مطلوبًا وجود نمطية أو استخدام نفس الأبجدية.

إن التعقيد الحسابي للمسائل التالية المتعلقة بالمنطق الافتراضي معروف:

وجود امتدادات

إن تحديد ما إذا كانت نظرية افتراضية افتراضية لها امتداد واحد على الأقل هو${\displaystyle \Sigma _{2}^{P}}$-مكتمل؛

الاستلزام الشكّي

إن تحديد ما إذا كانت نظرية افتراضية افتراضية تستلزم بشكل شك صيغة افتراضية هو${\displaystyle \Pi _{2}^{P}}$-مكتمل؛

الاستلزام الساذج

إن تحديد ما إذا كانت نظرية افتراضية افتراضية تستلزم بشكل ساذج صيغة افتراضية هو${\displaystyle \Sigma _{2}^{P}}$-مكتمل؛

فحص الامتداد

إن تحديد ما إذا كانت الصيغة الافتراضية مكافئة لتوسيع نظرية افتراضية افتراضية هو${\displaystyle \Delta _{2}^{P[\log ]}}$-مكتمل؛

التحقق من النموذج

إن تحديد ما إذا كان التفسير الافتراضي نموذجًا لتوسيع نظرية افتراضية افتراضية هو${\displaystyle \Sigma _{2}^{P}}$-مكتمل.

أربعة أنظمة تُطبّق منطقًا افتراضيًا هي DeReS، XRay ، GADeL مؤرشف في 2007-04-06 في Wayback Machine ، و Catala .

• برمجة مجموعة الإجابات
• منطق قابل للدحض
• المنطق غير الرتيب
• البرمجة المنطقية

• جي. أنطونيو (1999). دليل تعليمي حول المنطق الافتراضي. مجلة ACM Computing Surveys ، 31(4):337-359.
• م. كادولي، ف. م. دونيني، ب. ليبراتوري، وم. شارف (2000). كفاءة استخدام المساحة في نماذج تمثيل المعرفة الافتراضية. مؤرشف بتاريخ 9 مايو 2013 في أرشيف الإنترنت . مجلة أبحاث الذكاء الاصطناعي ، 13: 1-31.
• ب. تشوليفينسكي، ف. ماريك، و م. تروسزكزينسكي (1996). نظام الاستدلال الافتراضي DeReS. في وقائع المؤتمر الدولي الخامس حول مبادئ تمثيل المعرفة والاستدلال (KR'96) ، الصفحات 518-528.
• ج. ديلجراند وت. شوب (2003). حول العلاقة بين منطق رايتر الافتراضي ومتغيراته (الرئيسية). في المؤتمر الأوروبي السابع حول المناهج الرمزية والكمية للاستدلال في ظل عدم اليقين (ECSQARU 2003) ، الصفحات 452-463.
• جيه بي ديلجراند، تي. شوب، و دبليو كيه جاكسون (1994). مناهج بديلة لمنطق الوضع الافتراضي. الذكاء الاصطناعي ، 70: 167-237.
• ج. جوتلوب (1992). نتائج التعقيد للمنطق غير الرتيب. مجلة المنطق والحوسبة ، 2:397-425.
• ج. جوتلوب (1995). ترجمة منطق الافتراضي إلى منطق المعرفة الذاتية القياسي . مجلة ACM ، 42:711-740.
• تي. إيميلينسكي (1987). نتائج حول ترجمة الإعدادات الافتراضية إلى التقييد. الذكاء الاصطناعي ، 32: 131-146.
• تي. جانونين (1998). حول قابلية الترجمة المتبادلة لمنطق المعرفة الذاتية، والمنطق الافتراضي، ومنطق الأولوية، والتحديد المتوازي . في وقائع ورشة العمل الأوروبية السادسة حول المنطق في الذكاء الاصطناعي (JELIA'98) ، الصفحات 216-232.
• تي. جانونين (2003). تقييم تأثير شبه الطبيعية على قدرة التعبير عن القيم الافتراضية. الذكاء الاصطناعي ، 144: 233-250.
• HE Kyburg و CM. Teng (2006). المنطق غير الرتيب والاستدلال الإحصائي. الذكاء الحسابي ، 22(1): 26-51.
• ب. ليبراتوري وم. شارف (1998). تعقيد التحقق من النموذج لمنطق الافتراضيات الافتراضية. في وقائع المؤتمر الأوروبي الثالث عشر حول الذكاء الاصطناعي (ECAI'98) ، الصفحات 18-22.
• و. لوكاسيفيتش (1988). اعتبارات حول منطق الافتراض: نهج بديل. الذكاء الحسابي ، 4(1):1-16.
• دبليو. ماريك وم. تروسزكزينسكي (1993). المنطق غير الرتيب: الاستدلال المعتمد على السياق . سبرينغر.
• أ. ميكيتيوك وم. تروسزكزينسكي (1995). منطق افتراضي مقيد وعقلاني . في وقائع المؤتمر الدولي المشترك الرابع عشر حول الذكاء الاصطناعي (IJCAI'95) ، الصفحات 1509-1517.
• بي. نيكولاس، إف. سوبيون، وإي. ستيفان (2001). أساليب استدلالية لنظام استدلال منطقي افتراضي. مؤرشف بتاريخ 7 سبتمبر 2017 على موقع Wayback Machine . المجلة الدولية لأدوات الذكاء الاصطناعي ، 10(4): 503-523.
• ر. رايتر (1980). منطق للاستدلال الافتراضي. الذكاء الاصطناعي ، 13: 81-132.
• تي. شوب، إس. برونينغ، وب. نيكولاس (1996). إكس راي: مُثبت نظريات تقنية برولوج للاستدلال الافتراضي: وصف النظام. في وقائع المؤتمر الدولي الثالث عشر حول الاستدلال الآلي (CADE'96) ، الصفحات 293-297.
• جي. ويلر (2004). منطق افتراضي محدود الموارد. في وقائع ورشة العمل الدولية العاشرة حول الاستدلال غير الرتيب (NMR-04) ، ويستلر، كولومبيا البريطانية، 416-422.
• جي. ويلر وسي. داماسيو (2004). تطبيق منطق الافتراضي الإحصائي . في وقائع المؤتمر الأوروبي التاسع حول المنطق في الذكاء الاصطناعي (JELIA 2004) ، سلسلة LNCS، سبرينغر، الصفحات 121-133.

• شميدت، تشارلز ف. RCI.Rutgers.edu ، المنطق الافتراضي. تم الاطلاع عليه في 10 أغسطس 2004.
• رامزي، آلان (1999). UMIST.ac.uk ، المنطق الافتراضي. تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 أغسطس 2004.
• Stanford.edu ، الاستدلال القابل للدحض، موسوعة ستانفورد للفلسفة .