توزيع ويبول المنفصل

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعد توزيع ويبول المتقطع هو النسخة المتقطعة من توزيع ويبول . وقد طُوّر هذا التوزيع من قِبل توشيو ناكاغاوا وشونجي أوساكي عام 1975، وهو نظير متقطع لتوزيع ويبول المستمر. ويُستخدم بشكل أساسي لنمذجة المتغيرات العشوائية المتعلقة بوقت الفشل أو الوقت بين الأحداث، لا سيما عندما يُقاس هذا الوقت بوحدات متقطعة. ويكون توزيع ويبول المتقطع قابلاً للقسمة إلى ما لا نهاية فقط لـ${\displaystyle 0<\beta \leq 1}$[ ^{1 ]​}

استخدمت الورقة الأصلية التي كتبها ناكاغاوا وأوساكي المعايرة${\displaystyle p=q^{k^{-\beta }}}$إنشاء دالة التوزيع التراكمي${\displaystyle 1-q^{(x+1)^{\beta }}}$مع${\displaystyle q\in (0,1)}$ودالة الكتلة الاحتمالية${\displaystyle q^{k^{\beta }}-q^{(k+1)^{\beta }}}$. جلسة${\displaystyle \beta =1}$^{[ 2 ]} يوضح العلاقة مع التوزيع الهندسي.

استُخدمت طريقة بديلة لتحديد المعلمات - مرتبطة بتوزيع باريتو - لتقدير المعلمات في نمذجة الأمراض المعدية . ^{[ 3 ]} تُدخل هذه الطريقة معلمة${\displaystyle \kappa ={\frac {\beta }{\alpha ^{\beta }}}}$، مما يعني أن المصطلح${\displaystyle \left({\frac {1}{\alpha }}\right)^{\beta }}$يمكن استبدالها بـ${\displaystyle {\frac {\kappa }{\beta }}}$لذلك، يمكن التعبير عن دالة الكتلة الاحتمالية على النحو التالي:

${\displaystyle \exp \left[-{\frac {\kappa x^{\beta }}{\beta }}\right]-\exp \left[-{\frac {\kappa \left(x+1\right)^{\beta }}{\beta }}\right]}$،

ويمكن التعبير عن دالة الكتلة التراكمية على النحو التالي:

${\displaystyle 1-\exp \left[-{\frac {\kappa \left(x+1\right)^{\beta }}{\beta }}\right]}$.

يرتبط توزيع ويبول المستمر ارتباطًا وثيقًا بتوزيع غامبل، وهو ما يتضح جليًا عند إجراء التحويل اللوغاريتمي للمتغير. ويمكن إجراء تحويل مماثل على توزيع ويبول المتقطع.

يُعرِّف${\displaystyle e^{Y}-1=X}$حيث (بطريقة غير تقليدية)${\displaystyle Y=\log(X+1)\in \{\log(1),\log(2),\ldots \}}$وتحديد المعلمات${\displaystyle \mu =\log(\alpha )}$و${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\beta }}}$عن طريق الاستبدال${\displaystyle x}$في دالة الكتلة التراكمية:

${\displaystyle \Pr(X\leq x)=\Pr(X\leq e^{y}-1).}$

نلاحظ أننا نحصل على معلمات الموقع والمقياس:

${\displaystyle =1-\exp \left[-\left({\frac {x+1}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]=1-\exp \left[-\left({\frac {e^{y}}{e^{\mu }}}\right)^{\frac {1}{\sigma }}\right]=1-\exp \left[-\exp \left[{\frac {y-\mu }{\sigma }}\right]\right]}$

وهذا منطقي للغاية في سياقات التقدير. يفتح هذا المجال أمام إمكانية استخدام الانحدار مع الأطر المطورة لانحدار ويبول ونظرية القيم المتطرفة. ^{[ 4 ]}

تتضمن أمثلة تطبيقات توزيع ويبول المنفصل ما يلي:

• نمذجة وقت الفشل على مدى وحدات زمنية منفصلة ^{[ 2 ]}
• نمذجة بيانات العد ^{[ 5 ]}
• نمذجة الأمراض المعدية ^{[ 3 ]}

• توزيع ويبول
• التوزيع الهندسي
• توزيع q-Weibull