ساحة دورفي

في نظرية الأعداد ، يُعدّ مربع دورفي أحد خصائص تقسيم الأعداد الصحيحة . يُقال إن تقسيم العدد n يحتوي على مربع دورفي بحجم s إذا كان s هو أكبر عدد بحيث يحتوي التقسيم على s أجزاء على الأقل بقيم ≥ s . ^{[ 1 ]} ويمكن تعريف مربع دورفي تعريفًا مكافئًا، ولكنه أكثر وضوحًا، بأنه أكبر مربع يقع ضمن مخطط فيريرز الخاص بالتقسيم . ^{[ 2 ]} ويُعرف طول ضلع مربع دورفي برتبة التقسيم . ^{[ 3 ]}

يتكون رمز دورفي من القسمين الممثلين بالنقاط الموجودة على يمين أو أسفل مربع دورفي.

التقسيم  4  +  3  +  3  +  2  +  1  +  1:

يحتوي على مربع دورفي ذي ضلع 3 (باللون الأحمر) لأنه يحتوي على 3 أجزاء ≥  3، ولكنه لا يحتوي على 4 أجزاء  ≥  4. يتكون رمز دورفي الخاص به من القسمين 1 و 2+1+1.

سُميت مربعات دورفي نسبةً إلى ويليام بيت دورفي ، وهو تلميذ عالم الرياضيات الإنجليزي جيمس جوزيف سيلفستر . في رسالة إلى آرثر كايلي عام 1883، كتب سيلفستر: ^{[ 4 ]}

" مربع دورفي هو اختراع عظيم لا يدرك مؤلفه أهميته. "

تؤدي طريقة مربع دورفي إلى هذه الدالة المولدة لتقسيمات الأعداد الصحيحة:

${\displaystyle P(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k^{2}}}{\prod _{i=1}^{k}(1-x^{i})^{2}}}}$

أين${\displaystyle x^{k^{2}}}$وهي بحجم ساحة دورفي، و${\displaystyle (1-x^{i})^{2}}$يمثل القسمان الموجودان على اليمين والأسفل مربع دورفي بحجم k (أي قسمان إلى أجزاء بحجم k على الأكثر ، أو أقسام تحتوي على k جزء على الأكثر). ^{[ 5 ]}

يتضح من التعريف المرئي أن مربع دورفي لتقسيم ما ومربع دورفي المرافق له نفس الحجم. تحتوي تقسيمات العدد الصحيح n على مربعات دورفي بأضلاع تصل إلى n (بما في ذلك n)${\displaystyle \lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }$.

• مؤشر h
• منتج جاكوبي الثلاثي