EdDSA

في مجال التشفير بالمفتاح العام ، تُعدّ خوارزمية التوقيع الرقمي لمنحنى إدواردز ( EdDSA ) نظامًا للتوقيع الرقمي يستخدم صيغةً معدّلة من توقيع شنور، تعتمد على منحنيات إدواردز الملتوية . ^{[ 1 ]} صُممت هذه الخوارزمية لتكون أسرع من أنظمة التوقيع الرقمي الحالية دون المساس بالأمان. وقد طوّرها فريقٌ ضمّ دانيال ج. بيرنشتاين ، ونيلز دويف، وتانيا لانج ، وبيتر شواب، وبو-ين يانغ . ^{[ 2 ]} والتطبيق المرجعي لها هو برنامجٌ مجانيٌّ متاحٌ للجميع . ^{[ 3 ]}

فيما يلي وصف مبسط لـ EdDSA، مع تجاهل تفاصيل ترميز الأعداد الصحيحة ونقاط المنحنى كسلاسل بتية؛ التفاصيل الكاملة موجودة في الأوراق البحثية و RFC. ^{[ 4 ] [ 2 ] [ 1 ]}

يُعد نظام التوقيع EdDSA أحد الخيارات التالية: ^{[ 4 ] : ​​1-2 [ 2 ] : 5-6 [ 1 ] : 5-7}

• من حقل منتهي${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$على قوة عددية فردية${\displaystyle q}$؛
• منحنى إهليلجي${\displaystyle E}$زيادة${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$مجموعتها${\displaystyle E(\mathbb {F} _{q})}$ل${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$النقاط العقلانية لها ترتيب${\displaystyle \#E(\mathbb {F} _{q})=2^{c}\ell }$، أين${\displaystyle \ell }$هو عدد أولي كبير و${\displaystyle 2^{c}}$يُطلق عليه اسم العامل المساعد؛
• نقطة الأساس${\displaystyle B\in E(\mathbb {F} _{q})}$مع الطلب${\displaystyle \ell }$؛ و
• دالة التجزئة المشفرة${\displaystyle H}$مع${\displaystyle 2b}$مخرجات بت-، حيث${\displaystyle 2^{b-1}>q}$بحيث تكون عناصر${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ونقاط المنحنى في${\displaystyle E(\mathbb {F} _{q})}$يمكن تمثيلها بسلاسل من${\displaystyle b}$أجزاء.

تُعدّ هذه المعايير مشتركة بين جميع مستخدمي نظام التوقيع الرقمي EdDSA. ويعتمد أمان هذا النظام بشكلٍ كبير على اختيار هذه المعايير، باستثناء اختيار نقطة الأساس بشكلٍ عشوائي؛ فعلى سبيل المثال، من المتوقع أن تستغرق خوارزمية بولارد للوغاريتمات حوالي 1000 ثانية.${\displaystyle {\sqrt {\ell \pi /4}}}$^{[ 5 ]} لذا، يتم جمع المنحنيات قبل أن يتمكن من حساب اللوغاريتم المنفصل،${\displaystyle \ell }$يجب أن يكون حجمه كبيرًا بما يكفي لجعل هذا الأمر غير عملي، وعادةً ما يُعتبر ^{أكبر من} 2200. ^[ 6 ^] اختيار${\displaystyle \ell }$يقتصر الأمر على اختيار${\displaystyle q}$، لأنه وفقًا لنظرية هاس ،${\displaystyle \#E(\mathbb {F} _{q})=2^{c}\ell }$لا يمكن أن يختلف عن${\displaystyle q+1}$بأكثر من${\displaystyle 2{\sqrt {q}}}$دالة التجزئة${\displaystyle H}$يتم عادةً نمذجة هذا النموذج على أنه أوراكل عشوائي في التحليلات الرسمية لأمن EdDSA.

ضمن نظام التوقيعات الخاص بـ EdDSA،

المفتاح العام

المفتاح العام لـ EdDSA هو نقطة منحنى${\displaystyle A\in E(\mathbb {F} _{q})}$، مشفرة في${\displaystyle b}$أجزاء.

التحقق من التوقيع

توقيع جمعية طلاب الطب الديمقراطيين (EdDSA) على رسالة${\displaystyle M}$باستخدام المفتاح العام${\displaystyle A}$هل الزوج${\displaystyle (R,S)}$، مشفرة في${\displaystyle 2b}$أجزاء من نقطة منحنية${\displaystyle R\in E(\mathbb {F} _{q})}$وعدد صحيح${\displaystyle 0<S<\ell }$بما يحقق معادلة التحقق التالية، حيث${\displaystyle \parallel }$يشير إلى عملية الربط :

$${\displaystyle 2^{c}SB=2^{c}R+2^{c}H(R\parallel A\parallel M)A.}$$

المفتاح الخاص

المفتاح الخاص لـ EdDSA هو${\displaystyle b}$سلسلة بت${\displaystyle k}$والتي يجب اختيارها عشوائياً وبشكل متساوٍ. المفتاح العام المقابل هو${\displaystyle A=sB}$، أين${\displaystyle s=H_{0,\dots ,b-1}(k)}$الأقل أهمية${\displaystyle b}$أجزاء من${\displaystyle H(k)}$يتم تفسيرها كعدد صحيح بنظام little-endian .

التوقيع

التوقيع على الرسالة${\displaystyle M}$يتم حسابها بشكل حتمي على النحو التالي${\displaystyle (R,S),}$أين${\displaystyle R=rB}$ل${\displaystyle r=H(H_{b,\dots ,2b-1}(k)\parallel M)}$، و$${\displaystyle S\equiv r+H(R\parallel A\parallel M)s{\pmod {\ell }}.}$$وهذا يحقق معادلة التحقق

$${\displaystyle {\begin{aligned}2^{c}SB&=2^{c}(r+H(R\parallel A\parallel M)s)B\\&=2^{c}rB+2^{c}H(R\parallel A\parallel M)sB\\&=2^{c}R+2^{c}H(R\parallel A\parallel M)A.\end{aligned}}}$$

Ed25519 هو نظام توقيع EdDSA يستخدم SHA-512 (SHA-2) ومنحنى إهليلجي مرتبط بـ Curve25519 ^{[ 2 ]} حيث

• ${\displaystyle q=2^{255}-19,}$
• ${\displaystyle E/\mathbb {F} _{q}}$هل هو منحنى إدواردز الملتوي؟

$${\displaystyle -x^{2}+y^{2}=1-{\frac {121665}{121666}}x^{2}y^{2},}$$

• ${\displaystyle \ell =2^{252}+27742317777372353535851937790883648493}$و${\displaystyle c=3}$
• ${\displaystyle B}$هي النقطة الفريدة في${\displaystyle E(\mathbb {F} _{q})}$لمن${\displaystyle y}$الإحداثيات هي${\displaystyle 4/5}$ولمن${\displaystyle x}$الإحداثي موجب. يُعرَّف "الموجب" من حيث ترميز البتات:
  • الإحداثيات "الموجبة" هي إحداثيات زوجية (يتم مسح البت الأقل أهمية)
  • الإحداثيات "السالبة" هي إحداثيات فردية (يتم تعيين البت الأقل أهمية).
• ${\displaystyle H}$هو SHA-512 ، مع${\displaystyle b=256}$.

منحنى إدواردز الملتوي${\displaystyle E/\mathbb {F} _{q}}$يُعرف باسم edwards25519 ، ^{[ 7 ] [ 1 ]} وهو مكافئ ثنائيًا لمنحنى مونتغمري المعروف باسم Curve25519 . التكافؤ هو ^{[ 2 ] [ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle x={\frac {u}{v}}{\sqrt {-486664}},\quad y={\frac {u-1}{u+1}}.}$$

Ed448 هو نظام توقيع EdDSA المُعرَّف في RFC 8032 باستخدام دالة التجزئة SHAKE256 والمنحنى الإهليلجي edwards448 ، وهو منحنى إدواردز (غير ملتوي) مرتبط بـ Curve448 في RFC 7748. وقد تمت الموافقة على Ed448 أيضًا في النسخة النهائية من معيار FIPS 186-5. ^{[ 15 ]}  

• الصفحة الرئيسية لـ Ed25519