معادلة إرنست

في النسبية العامة ، معادلة إرنست ^{[ 1 ]} هي معادلة تفاضلية جزئية غير خطية قابلة للتكامل ، سميت على اسم الفيزيائي الأمريكي فريدريك ج. إرنست الذي نشرها في عام 1968. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

معادلة إرنست التي تحكم الدالة العددية المركبة${\displaystyle Z}$يتم تحديده بواسطة ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \Re (Z)\nabla ^{2}Z=\nabla Z\cdot \nabla Z}$

أين${\displaystyle \nabla }$هو عامل التدرج ثنائي الأبعاد ذو التناظر المحوري؛ على سبيل المثال، إذا${\displaystyle Z=Z(\rho ,z)}$، ثم

$${\displaystyle \Re (Z)\left[{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial Z}{\partial \rho }}\right)+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial ^{2}z}}\right]=\left({\frac {\partial Z}{\partial \rho }}\right)^{2}+\left({\frac {\partial Z}{\partial z}}\right)^{2}.}$$

وإذا${\displaystyle Z=Z(t,\rho )}$(مع${\displaystyle c=1}$ثم ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle \Re (Z)\left[{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial ^{2}t}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial Z}{\partial \rho }}\right)\right]=\left({\frac {\partial Z}{\partial t}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial Z}{\partial \rho }}\right)^{2}.}$$

أين${\textstyle \Re (Z)}$هو الجزء الحقيقي من${\textstyle Z}$. لو${\displaystyle Z}$إذا كان حلاً لمعادلة إرنست، فإن${\displaystyle Z/(1+icZ)}$(وكذلك${\displaystyle Z^{-1}}$) هو أيضًا حل حيث${\displaystyle c}$هو ثابت حقيقي اختياري. التحويل${\displaystyle Z\to Z/(1+icZ)}$ينتمي إلى ما يسمى بتحويل إهلرز .

في كثير من الأحيان، يقوم المرء بتقديم

${\displaystyle Z=-{\frac {1+E}{1-E}}}$

حتى يكون لدينا

${\displaystyle (1-|E|^{2})\nabla ^{2}E=-2E^{*}\nabla E\cdot \nabla E.}$

يمكن اشتقاق معادلة إرنست من كثافة لاغرانج

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {\nabla Z\cdot \nabla Z}{\Re (Z)^{2}}}={\frac {\nabla E\cdot \nabla E^{*}}{(1-|E|)^{2}}}.}$

للاطلاع على زوج Lax الخاص به وميزاته الأخرى، انظر على سبيل المثال ^{[ 6 ] [ 7 ]} والمراجع الواردة فيه.

تُستخدم معادلة إرنست من أجل إنتاج حلول دقيقة لمعادلات أينشتاين في النظرية النسبية العامة .