فاستيكا

دع${\displaystyle \mathbf {X}$ :=(x_{ij})\in \mathbb {R} ^{N\times M}} تشير إلى مصفوفة بيانات الإدخال،${\displaystyle M}$عدد الأعمدة التي تتوافق مع عدد عينات الإشارات المختلطة و${\displaystyle N}$عدد الصفوف الذي يتوافق مع عدد إشارات المصدر المستقلة. مصفوفة بيانات الإدخال${\displaystyle \mathbf {X} }$يجب تبييضها مسبقًا ، أو توسيطها وتبييضها، قبل تطبيق خوارزمية FastICA عليها.

• يتطلب توسيط البيانات تقليل متوسط ​​كل مكون من مكونات بيانات الإدخال${\displaystyle \mathbf {X} }$، إنه،

${\displaystyle x_{ij}\leftarrow x_{ij}-{\frac {1}{M}}\sum _{j^{\prime }}x_{ij^{\prime }}}$

لكل${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$و${\displaystyle j=1,\ldots ,M}$بعد التوسيط، كل صف من${\displaystyle \mathbf {X} }$تبلغ قيمتها المتوقعة${\displaystyle 0}$.

• يتطلب تبييض البيانات تحويلاً خطياً${\displaystyle \mathbf {L}$ :\mathbb {R} ^{N\times M}\to \mathbb {R} ^{N\times M}} من البيانات المركزية بحيث تكون مكونات${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {X} )}$غير مترابطة ولها تباين يساوي واحدًا. بتعبير أدق، إذا${\displaystyle \mathbf {X} }$هي مصفوفة بيانات مركزية، والتباين المشترك لـ${\displaystyle \mathbf {L} _{\mathbf {x} }:=\mathbf {L} (\mathbf {X} )}$هو${\displaystyle (N\times N)}$مصفوفة الوحدة ذات الأبعاد n، أي

${\displaystyle \mathrm {E} \left\{\mathbf {L} _{\mathbf {x} }\mathbf {L} _{\mathbf {x} }^{T}\right\}=\mathbf {I} _{N}}$

تتمثل إحدى الطرق الشائعة لتبييض البيانات في إجراء تحليل القيم الذاتية على مصفوفة التغاير للبيانات المركزية.${\displaystyle \mathbf {X} }$،${\displaystyle E\left\{\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}\right\}=\mathbf {E} \mathbf {D} \mathbf {E} ^{T}}$، أين${\displaystyle \mathbf {E} }$هي مصفوفة المتجهات الذاتية و${\displaystyle \mathbf {D} }$هي المصفوفة القطرية للقيم الذاتية. تُعرَّف مصفوفة البيانات المُبيَّضة على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {X} \leftarrow \mathbf {D} ^{-1/2}\mathbf {E} ^{T}\mathbf {X} .}$

تحدد الخوارزمية التكرارية اتجاه متجه الوزن${\displaystyle \mathbf {w} \in \mathbb {R} ^{N}}$ الذي يزيد من مقياس عدم غاوسية الإسقاط${\displaystyle \mathbf {w} ^{T}\mathbf {X} }$، مع${\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{N\times M}}$يشير ذلك إلى مصفوفة بيانات مُبيَّضة مسبقًا كما هو موضح أعلاه. لاحظ أن${\displaystyle \mathbf {w} }$هو متجه عمودي. لقياس اللاغوسية، يعتمد FastICA على دالة غير خطية غير تربيعية${\displaystyle f(u)}$، مشتقها الأول${\displaystyle g(u)}$، ومشتقها الثاني${\displaystyle g^{\prime }(u)}$يذكر هيفارينن أن الوظائف

${\displaystyle f(u)=\log \cosh(u),\quad g(u)=\tanh(u),\quad {\text{and}}\quad {g}'(u)=1-\tanh ^{2}(u),}$

وهي مفيدة للأغراض العامة، بينما

${\displaystyle f(u)=-e^{-u^{2}/2},\quad g(u)=ue^{-u^{2}/2},\quad {\text{and}}\quad {g}'(u)=(1-u^{2})e^{-u^{2}/2}}$

قد يكون قويًا للغاية. ^{[ 1 ]} خطوات استخراج متجه الوزن${\displaystyle \mathbf {w} }$بالنسبة للمكون الواحد في FastICA، تكون القيم كالتالي:

1. قم بتوزيع متجه الوزن الأولي عشوائياً${\displaystyle \mathbf {w} }$
2. يترك${\displaystyle \mathbf {w} ^{+}\leftarrow E\left\{\mathbf {X} g(\mathbf {w} ^{T}\mathbf {X} )^{T}\right\}-E\left\{g'(\mathbf {w} ^{T}\mathbf {X} )\right\}\mathbf {w} }$، أين${\displaystyle E\left\{...\right\}}$يعني حساب المتوسط ​​على جميع متجهات الأعمدة للمصفوفة${\displaystyle \mathbf {X} }$
3. يترك${\displaystyle \mathbf {w} \leftarrow \mathbf {w} ^{+}/\|\mathbf {w} ^{+}\|}$
4. إذا لم يتم التقارب، فارجع إلى 2

تقوم الخوارزمية التكرارية أحادية الوحدة بتقدير متجه وزن واحد فقط، مما يؤدي إلى استخراج مكون واحد. يتطلب تقدير مكونات إضافية "مستقلة" عن بعضها البعض تكرار الخوارزمية للحصول على متجهات إسقاط مستقلة خطيًا - تجدر الإشارة إلى أن مفهوم الاستقلال هنا يشير إلى تعظيم عدم التوزيع الغاوسي في المكونات المقدرة. يقدم هيفارينن عدة طرق لاستخراج مكونات متعددة، وأبسطها ما يلي. هنا،${\displaystyle \mathbf {1_{M}} }$هو متجه عمودي من 1 ذي بُعد${\displaystyle M}$.

خوارزمية FastICA

مدخل:${\displaystyle C}$عدد المكونات المطلوبة

مدخل:${\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{N\times M}}$مصفوفة مُبَيَّأة مسبقًا، حيث يمثل كل عمود${\displaystyle N}$عينة ذات أبعاد، حيث${\displaystyle C<=N}$

الناتج:${\displaystyle \mathbf {W} \in \mathbb {R} ^{N\times C}}$مصفوفة فك المزج حيث يسقط كل عمود${\displaystyle \mathbf {X} }$على المكون المستقل.

الناتج:${\displaystyle \mathbf {S} \in \mathbb {R} ^{C\times M}}$مصفوفة المكونات المستقلة، مع${\displaystyle M}$أعمدة تمثل عينة مع${\displaystyle C}$ أبعاد.

لكل قيمة p في النطاق من 1 إلى C: ${\displaystyle \mathbf {w_{p}} \leftarrow }$متجه عشوائي بطول N بينما${\displaystyle \mathbf {w_{p}} }$التغييرات ${\displaystyle \mathbf {w_{p}} \leftarrow {\frac {1}{M}}\mathbf {X} g(\mathbf {w_{p}} ^{T}\mathbf {X} )^{T}-{\frac {1}{M}}g'(\mathbf {w_{p}} ^{T}\mathbf {X} )\mathbf {1_{M}} \mathbf {w_{p}} }$${\displaystyle \mathbf {w_{p}} \leftarrow \mathbf {w_{p}} -\sum _{j=1}^{p-1}(\mathbf {w_{p}} ^{T}\mathbf {w_{j}} )\mathbf {w_{j}} }$${\displaystyle \mathbf {w_{p}} \leftarrow {\frac {\mathbf {w_{p}} }{\|\mathbf {w_{p}} \|}}}$المخرجات${\displaystyle \mathbf {W} \leftarrow {\begin{bmatrix}\mathbf {w_{1}} ,\dots ,\mathbf {w_{C}} \end{bmatrix}}}$المخرجات${\displaystyle \mathbf {S} \leftarrow \mathbf {W^{T}} \mathbf {X} }$