طريقة الحجم المحدود

طريقة الحجم المحدود ( FVM ) هي طريقة لتمثيل وتقييم المعادلات التفاضلية الجزئية في صورة معادلات جبرية. ^{[ 1 ]} في هذه الطريقة، تُحوّل تكاملات الحجم في المعادلة التفاضلية الجزئية التي تحتوي على حد تباعد إلى تكاملات سطحية باستخدام نظرية التباعد . ثم تُقيّم هذه الحدود كتدفقات على أسطح كل حجم محدود. ولأن التدفق الداخل إلى حجم معين هو نفسه التدفق الخارج من الحجم المجاور، فإن هذه الطرق تُعتبر محافظة . ومن مزايا طريقة الحجم المحدود سهولة صياغتها لتسمح باستخدام الشبكات غير المنتظمة. تُستخدم هذه الطريقة في العديد من حزم برامج ديناميكا الموائع الحسابية . ويُشير مصطلح "الحجم المحدود" إلى الحجم الصغير المحيط بكل نقطة عقدة على الشبكة. ^{[ 2 ]}

يمكن مقارنة طرق الحجم المحدود وطرق الفروق المحدودة ، التي تُقارب المشتقات باستخدام قيم العقد، أو طرق العناصر المحدودة ، التي تُنشئ تقريبات محلية للحل باستخدام بيانات محلية، وتُكوّن تقريبًا شاملًا بدمجها معًا. في المقابل، تُقيّم طريقة الحجم المحدود تعابير دقيقة للقيمة المتوسطة للحل على حجم معين، وتستخدم هذه البيانات لإنشاء تقريبات للحل داخل الخلايا. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

لنفترض مسألة انتقال بسيطة أحادية البعد :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}=0,\quad t\geq 0.}$

1

هنا،${\displaystyle \rho =\rho \left(x,t\right)}$يمثل متغير الحالة و${\displaystyle f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)}$يمثل التدفق أو التدفق لـ${\displaystyle \rho }$تقليديًا، إيجابي${\displaystyle f}$يمثل التدفق إلى اليمين بينما يمثل السالب${\displaystyle f}$يمثل التدفق إلى اليسار. إذا افترضنا أن المعادلة ( 1 ) تمثل وسطًا متدفقًا ذو مساحة ثابتة، فيمكننا تقسيم المجال المكاني،${\displaystyle x}$، إلى أحجام محدودة أو خلايا ذات مراكز خلوية مفهرسة كـ${\displaystyle i}$بالنسبة لخلية معينة،${\displaystyle i}$، يمكننا تعريف متوسط ​​قيمة الحجم لـ${\displaystyle {\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)}$في ذلك الوقت${\displaystyle {t=t_{1}}}$و${\displaystyle {x\in \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}}$، مثل

${\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)={\frac {1}{x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx,}$

2

وفي وقت${\displaystyle t=t_{2}}$مثل،

${\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\rho \left(x,t_{2}\right)\,dx,}$

3

أين${\displaystyle x_{i-1/2}}$و${\displaystyle x_{i+1/2}}$تمثل مواقع الأوجه أو الحواف العلوية والسفلية على التوالي لـ${\displaystyle i^{\text{th}}}$خلية.

بإجراء التكامل للمعادلة ( 1 ) بالنسبة للزمن، نحصل على:

${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)=\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)\,dt,}$

4

أين${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$.

للحصول على متوسط ​​الحجم لـ${\displaystyle \rho \left(x,t\right)}$في ذلك الوقت${\displaystyle t=t_{2}}$نحن ندمج${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)}$على حجم الخلية،${\displaystyle \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}$واقسم الناتج على${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}$، أي

${\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)dt\right\}dx.}$

5

نفترض أن${\displaystyle f\ }$يتصرف بشكل جيد، ويمكننا عكس ترتيب التكامل. تذكر أيضًا أن التدفق عمودي على وحدة مساحة الخلية. الآن، بما أن في بُعد واحد${\displaystyle f_{x}\triangleq \nabla \cdot f}$يمكننا تطبيق نظرية التباعد ، أي${\displaystyle \oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS}$، واستبدل التكامل الحجمي للتباعد بقيم${\displaystyle f(x)}$تم تقييمها على سطح الخلية (الحواف)${\displaystyle x_{i-1/2}}$و${\displaystyle x_{i+1/2}}$) للحجم المحدود كما يلي:

${\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+1/2}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-1/2}dt\right).}$

6

أين${\displaystyle f_{i\pm 1/2}=f\left(x_{i\pm 1/2},t\right)}$.

وبالتالي، يمكننا اشتقاق مخطط عددي شبه منفصل للمسألة المذكورة أعلاه مع فهرسة مراكز الخلايا على النحو التالي:${\displaystyle i}$، ومع تدفقات حافة الخلية المفهرسة على النحو التالي${\displaystyle i\pm 1/2}$، وذلك عن طريق اشتقاق ( 6 ) بالنسبة للزمن للحصول على:

${\displaystyle {\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+1/2}-f_{i-1/2}\right]=0,}$

7

حيث قيم التدفقات الطرفية،${\displaystyle f_{i\pm 1/2}}$يمكن إعادة بناء هذه القيم عن طريق الاستيفاء أو الاستقراء لمتوسطات الخلايا. المعادلة ( 7 ) دقيقة بالنسبة لمتوسطات الحجم؛ أي أنه لم يتم إجراء أي تقريبات أثناء اشتقاقها.

يمكن تطبيق هذه الطريقة أيضًا على حالة ثنائية الأبعاد من خلال النظر في الواجهات الشمالية والجنوبية جنبًا إلى جنب مع الواجهات الشرقية والغربية حول عقدة.

يمكننا أيضًا النظر في مشكلة قانون الحفظ العام، والتي تمثلها المعادلة التفاضلية الجزئية التالية ،

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)={\mathbf {0} }.}$

8

هنا،${\displaystyle \mathbf {u} }$يمثل متجهًا من الحالات و${\displaystyle \mathbf {f} }$يمثل موتر التدفق المقابل . مرة أخرى، يمكننا تقسيم المجال المكاني إلى أحجام أو خلايا محدودة. بالنسبة لخلية معينة،${\displaystyle i}$نقوم بحساب التكامل الحجمي على الحجم الكلي للخلية،${\displaystyle v_{i}}$مما يعطي،

${\displaystyle \int _{v_{i}}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\,dv+\int _{v_{i}}\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\,dv={\mathbf {0} }.}$

9

بإجراء التكامل للحد الأول للحصول على متوسط ​​الحجم وتطبيق نظرية التباعد على الحد الثاني، ينتج عن ذلك

${\displaystyle v_{i}{{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over dt}+\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} },}$

10

أين${\displaystyle S_{i}}$يمثل إجمالي مساحة سطح الخلية و${\displaystyle {\mathbf {n} }}$هو متجه وحدة عمودي على السطح ويتجه للخارج. لذا، في النهاية، يمكننا تقديم النتيجة العامة المكافئة للنتيجة ( 8 )، أي

${\displaystyle {{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+{{1} \over {v_{i}}}\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} }.}$

11

مرة أخرى، يمكن إعادة بناء قيم التدفقات الطرفية عن طريق الاستيفاء أو الاستقراء لمتوسطات الخلايا. وتعتمد الطريقة العددية الفعلية على هندسة المسألة وبنية الشبكة. غالبًا ما تُستخدم إعادة بناء MUSCL في المخططات عالية الدقة حيث توجد صدمات أو انقطاعات في الحل.

تُعتبر مخططات الحجم المحدود محافظةً لأن متوسطات الخلايا تتغير عبر تدفقات الحواف. بعبارة أخرى، خسارة خلية ما هي دائمًا مكسب لخلية أخرى !

• طريقة العناصر المحدودة
• محدد التدفق
• خطة غودونوف
• نظرية غودونوف
• مخطط عالي الدقة
• KIVA (برنامج)
• نموذج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا للتداول العام
• مخطط MUSCL
• سيرجي ك. غودونوف
• تناقص التباين الكلي
• طريقة الحجم المحدود للتدفق غير المستقر

• إيمارد، ر. غالويت، تي آر، هيربين، ر. (2000) طريقة الحجم المحدود ، دليل التحليل العددي، المجلد السابع، 2000، ص  713-1020. المحررون: بي جي سيارليت وجيه إل ليونز .
• هيرش، سي. (1990)، الحساب العددي للتدفقات الداخلية والخارجية، المجلد 2: الطرق الحسابية للتدفقات غير اللزجة واللزجة ، وايلي.
• Laney, Culbert B. (1998), Computal Gas Dynamics , Cambridge University Press.
• LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws , ETH Lectures Series, Birkhauser-Verlag.
• LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems , Cambridge University Press.
• باتانكار، سوهاس ف. (1980)، النقل الحراري العددي وتدفق السوائل ، نصف الكرة الأرضية.
• تانيل، جون سي، وآخرون، (1997)، ميكانيكا الموائع الحسابية ونقل الحرارة ، الطبعة الثانية، تايلور وفرانسيس.
• تورو، إي إف (1999)، حلول ريمان والأساليب العددية لديناميكيات الموائع ، سبرينغر-فيرلاغ.
• ويسلينج، بيتر (2001)، مبادئ ديناميكا الموائع الحسابية ، سبرينغر-فيرلاغ.

• طرق الحجم المحدود من تأليف ر. إيمارد، ت. غالويت، و ر. هيربين ، تحديث للمقال المنشور في كتيب التحليل العددي، 2000
• روبينكونيغ، أوليفر. "طريقة الحجم المحدود (FVM) - مقدمة" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2009-10-02.، متاح بموجب رخصة GFDL .
• FiPy: برنامج لحل المعادلات التفاضلية الجزئية باستخدام الحجم المحدود باستخدام لغة بايثون من المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST).
• CLAWPACK : حزمة برمجية مصممة لحساب الحلول العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية باستخدام أسلوب انتشار الموجات