نموذج المصفوفة الخطية المعمم

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 32 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، يُستخدم نموذج المصفوفة الخطية المعممة ( GLAM ) لتحليل مجموعات البيانات ذات البنية المصفوفية. وهو يعتمد على النموذج الخطي المعمم مع مصفوفة التصميم المكتوبة كحاصل ضرب كرونكر .

ملخص

تم تقديم نموذج المصفوفة الخطية المعممة (GLAM) في عام 2006. [ 1 ] توفر هذه النماذج بنيةً وإجراءً حسابيًا لتركيب النماذج الخطية المعممة (GLMs)، حيث يمكن كتابة مصفوفة النموذج كحاصل ضرب كرونكر، ويمكن كتابة البيانات كمصفوفة. في نموذج GLM كبير، يوفر نهج GLAM وفورات كبيرة في كلٍ من مساحة التخزين ووقت الحساب مقارنةً بخوارزمية GLM التقليدية.

لنفترض أن البياناتY{\displaystyle \mathbf {Y} }مرتبة فيد{\displaystyle d}مصفوفة ذات أبعاد n بحجمن1×ن2×⋯×ند{\displaystyle n_{1}\times n_{2}\times \dots \times n_{d}}وبالتالي، فإن متجه البيانات المقابلy=متجه⁡(Y){\displaystyle \mathbf {y} =\operatorname {vec} (\mathbf {Y} )}له حجمن1ن2ن3⋯ند{\displaystyle n_{1}n_{2}n_{3}\cdots n_{d}}لنفترض أيضاً أن مصفوفة التصميم تأخذ الشكل التالي :

X=Xد⊗Xد-1⊗⋯⊗X1.{\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {X} _{d}\otimes \mathbf {X} _{d-1}\otimes \dots \otimes \mathbf {X} _{1}.}

التحليل القياسي لنموذج خطي معمّم مع متجه بياناتy{\displaystyle \mathbf {y} }ومصفوفة التصميمX{\displaystyle \mathbf {X} }تتم العملية من خلال التقييم المتكرر لخوارزمية التسجيل

X′دبليو~دلتاXθ^=X′دبليو~دلتاθ~،{\displaystyle \mathbf {X} '{\tilde {\mathbf {W} }}_{\delta }\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=\mathbf {X} '{\tilde {\mathbf {W} }} _ {\delta }{\tilde {\boldsymbol {\theta }}},}

أينθ~{\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\theta }}}}يمثل الحل التقريبي لـθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}، وθ^{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}وهي القيمة المحسّنة لها؛دبليودلتا{\displaystyle \mathbf {W} _{\delta }}هي مصفوفة الوزن القطرية ذات العناصر

wأناأنا-1=(∂ηأنا∂μأنا)2vأر(yأنا)،{\displaystyle w_{ii}^{-1}=\left({\frac {\partial \eta _{i}}{\partial \mu _{i}}}\right)^{2}\mathrm {var} (y_{i}),}

و

z=η+دبليودلتا-1(y-μ){\displaystyle \mathbf {z} ={\boldsymbol {\eta}}+\mathbf {W} _{\delta }^{-1}(\mathbf {y} -{\boldsymbol {\mu }})}

هو المتغير العامل.

من الناحية الحسابية، يوفر برنامج GLAM خوارزميات المصفوفات لحساب المتنبئ الخطي،

η=Xθ{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=\mathbf {X} {\boldsymbol {\theta }}}

والناتج الداخلي الموزون

X′دبليو~دلتاX{\displaystyle \mathbf {X} '{\tilde {\mathbf {W} }} _ {\delta }\mathbf {X} }

دون تقييم مصفوفة النموذجX.{\displaystyle \mathbf {X} .}

مثال

في بعدين، لنفترضX=X2⊗X1{\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {X} _{2}\otimes \mathbf {X} _{1}}ثم يُكتب المتنبئ الخطيX1ΘX2′{\displaystyle \mathbf {X} _{1}{\boldsymbol {\Theta }}\mathbf {X} _{2}'}أينΘ{\displaystyle {\boldsymbol {\Theta }}}هي مصفوفة المعاملات؛ ويتم الحصول على الضرب الداخلي الموزون منجي(X1)′دبليوجي(X2){\displaystyle G(\mathbf {X} _{1})'\mathbf {W} G(\mathbf {X} _{2})}ودبليو{\displaystyle \mathbf {W} }هي مصفوفة الأوزان؛ هناجي(م){\displaystyle G(\mathbf {M} )}هي دالة موتر الصف لـر×ج{\displaystyle r\times c}مصفوفةم{\displaystyle \mathbf {M} }معطى بواسطة [ 1 ]

جي(م)=(م⊗1′)∘(1′⊗م){\displaystyle G(\mathbf {M} )=(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ')\circ (\mathbf {1} '\otimes \mathbf {M} )}

أين∘{\displaystyle \circ }يعني الضرب عنصرًا بعنصر و1{\displaystyle \mathbf {1} }هو متجه من 1 بطولج{\displaystyle c}.

من ناحية أخرى، دالة موتر الصفجي(م){\displaystyle G(\mathbf {M} )}التابعر×ج{\displaystyle r\times c}مصفوفةم{\displaystyle \mathbf {M} } هذا هو مثال على ضرب المصفوفات بتقسيم الوجه ، والذي اقترحه فاديم سليوسار في عام 1996: [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

م∙م=(م⊗1تي)∘(1تي⊗م)،{\displaystyle \mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\left(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {1} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {M} \right),}

أين∙{\displaystyle \bullet }يعني منتجًا يسبب تشقق الوجه .

تمتد هذه الصيغ ذات التخزين المنخفض والسرعة العالية إلىد{\displaystyle d}-أبعاد.

التطبيقات

تم تصميم GLAM ليتم استخدامه فيد{\displaystyle d}مسائل التنعيم ذات الأبعاد حيث يتم ترتيب البيانات في مصفوفة ويتم إنشاء مصفوفة التنعيم كحاصل ضرب كرونكر لـد{\displaystyle d}مصفوفات التنعيم أحادية البعد.

مراجع

  1. 1 2 كوري، آي دي؛ ديربان، إم؛ إيلرز، بي إتش سي (2006). "نماذج المصفوفات الخطية المعممة مع تطبيقات على التنعيم متعدد الأبعاد". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية . 68 (2): 259-280 . doi : 10.1111/j.1467-9868.2006.00543.x . S2CID 10261944 . 
  2. ↑ سليوسار، السادس (27 ديسمبر 1996). "المنتجات النهائية في المصفوفات في تطبيقات الرادار" (ملف PDF) . أنظمة الإلكترونيات اللاسلكية والاتصالات . 41 (3): 50-53 .
  3. ↑ سليوسار، في. آي. (20-05-1997). "نموذج تحليلي لمصفوفة الهوائي الرقمي على أساس منتجات المصفوفات المنقسمة للوجه" (ملف PDF) . وقائع المؤتمر الدولي للاتصالات وتكنولوجيا المعلومات والاتصالات 1997، كييف : 108-109 .
  4. ↑ سليوسار، في. آي. (15-09-1997). "عمليات جديدة لضرب المصفوفات لتطبيقات الرادارات" (ملف PDF) . وقائع المؤتمر الدولي للمسائل المباشرة والمعكوسة لنظرية الموجات الكهرومغناطيسية والصوتية (DIPED-97)، لفيف : 73-74 .
  5. ↑ سليوسار، السادس (13 مارس 1998). "عائلة من نواتج وجه المصفوفات وخصائصها" (ملف PDF) . مجلة التحليل السيبراني والنظم C/C لعلم التحكم الآلي وتحليل النظم. 1999. 35 ( 3): 379-384 . doi : 10.1007/BF02733426 . S2CID 119661450 .