طريقة الشبكة للضرب

يمكن تطبيق طريقة الشبكة من خلال التفكير في كيفية جمع عدد النقاط في مصفوفة منتظمة، على سبيل المثال عدد مربعات الشوكولاتة في لوح شوكولاتة. كلما ازداد حجم العملية الحسابية، يصبح من الأسهل البدء بالعد بالعشرات؛ وتمثيل العملية الحسابية كمربع يمكن تقسيمه، بدلاً من رسم عدد كبير من النقاط. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

على أبسط مستوى، قد يُطلب من التلاميذ تطبيق الطريقة على عملية حسابية مثل 3 × 17. بتقسيم العدد 17 إلى (10 + 7)، يمكن حل عملية الضرب غير المألوفة هذه على أنها مجموع عمليتي ضرب بسيطتين:

×	10	7
3	30	21

إذن 3 × 17 = 30 + 21 = 51.

هذا هو هيكل "الشبكة" أو "المربعات" الذي يعطي طريقة الضرب اسمها.

عند مواجهة عملية ضرب أكبر قليلاً، مثل 34 × 13، يمكن تشجيع التلاميذ في البداية على تقسيمها إلى عشرات. لذا، بتوسيع 34 إلى 10 + 10 + 10 + 4 و13 إلى 10 + 3، يمكن تمثيل ناتج ضرب 34 × 13 على النحو التالي:

×	10	10	10	4
10	100	100	100	40
3	30	30	30	12

وبجمع محتويات كل صف، يتضح أن النتيجة النهائية للحساب هي (100 + 100 + 100 + 40) + (30 + 30 + 30 + 12) = 340 + 102 = 442.

بمجرد أن يعتاد التلاميذ على فكرة تقسيم الناتج الكلي إلى مساهمات من مربعات منفصلة، ​​تصبح خطوة طبيعية تجميع العشرات معًا، بحيث تصبح عملية الحساب 34 × 13

×	30	4
10	300	40
3	90	12

إضافة

300 40 90 + 12 ———— 442

إذن 34 × 13 = 442.

هذا هو الشكل الأكثر شيوعًا لحسابات الشبكة. في دول مثل المملكة المتحدة، حيث يُعدّ تدريس طريقة الشبكة أمرًا شائعًا، قد يقضي التلاميذ فترة طويلة من الوقت في إجراء حسابات كهذه بانتظام، حتى يصبحوا على دراية تامة بالطريقة.

يمكن تطبيق طريقة الشبكة بسهولة على الحسابات التي تتضمن أعدادًا أكبر.

على سبيل المثال، لحساب 345 × 28، يمكن للطالب إنشاء الشبكة بست عمليات ضرب سهلة.

×	300	40	5
20	6000	800	100
8	2400	320	40

لإيجاد الإجابة 6900 + 2760 = 9660.

ومع ذلك، بحلول هذه المرحلة (على الأقل في ممارسات التدريس القياسية الحالية في المملكة المتحدة) قد يبدأ تشجيع التلاميذ على وضع مثل هذه العملية الحسابية باستخدام شكل الضرب الطويل التقليدي دون الحاجة إلى رسم شبكة.

يمكن ربط عملية الضرب المطول التقليدية بعملية الضرب الشبكي التي يتم فيها تقسيم أحد الأرقام فقط إلى أجزاء العشرات والآحاد ليتم ضربها بشكل منفصل:

×	345
20	6900
8	2760

الطريقة التقليدية أسرع وأكثر اختصارًا في نهاية المطاف، لكنها تتطلب عمليتي ضرب أكثر تعقيدًا قد يجد التلاميذ صعوبة فيهما في البداية . وبالمقارنة مع طريقة الشبكة، قد تكون عملية الضرب المطوّل التقليدية أكثر تجريدًا وأقل وضوحًا ، لذا يجد بعض التلاميذ صعوبة في تذكر الخطوات في كل مرحلة وسببها . لذلك، يُنصح التلاميذ لفترة من الوقت باستخدام طريقة الشبكة الأبسط جنبًا إلى جنب مع طريقة الضرب المطوّل التقليدية الأكثر كفاءة، كإجراء للتحقق والرجوع إلى الطريقة الأصلية.

على الرغم من أنها لا تُدرّس عادةً كطريقة قياسية لضرب الكسور ، إلا أنه يمكن تطبيق طريقة الشبكة بسهولة على الحالات البسيطة حيث يكون من الأسهل إيجاد الناتج عن طريق تقسيمه.

على سبيل المثال ، يمكن كتابة العملية الحسابية 2 1/2 × 1 1/2 باستخدام طريقة الشبكة

×	2	١/٢​​​​
1	2	١/٢​​​​
١/٢​​​​	1	١/٤​​​​

لإيجاد أن الناتج هو 2 + 1/2 + 1 + 1/4 = 3 3/4​​​​

يمكن أيضًا استخدام طريقة الشبكة لتوضيح عملية ضرب حاصل ضرب ثنائيات الحدود ، مثل ( أ + 3)( ب + 2)، وهو موضوع أساسي في الجبر الابتدائي (على الرغم من أنه لا يتم تناوله عادةً إلا في المدرسة الثانوية ):

×	أ	3
ب	أب	3 ب
2	2 أ	6

وبالتالي فإن ( أ + 3)( ب + 2) = أب + 3 ب + 2 أ + 6.

تفتقر وحدات المعالجة المركزية ذات 32 بت عادةً إلى تعليمة لضرب عددين صحيحين من 64 بت. مع ذلك، تسمح معظمها باستخراج نتيجة 64 بت كاملة من عملية ضرب عددين صحيحين من 32 بت، وهو ما يُعرف بـ"الضرب الطويل". يتضمن هذا عادةً توليد مخرجات في سجلين منفصلين (كما هو الحال mul r/m32في معالج 80386 والمضاف umullفي مجموعة تعليمات ARMv4t ).

في المنصات التي تدعم هذه التعليمات، تُستخدم نسخة مُعدّلة قليلاً من طريقة الشبكة. فبدلاً من استخدام مضاعفات العدد 10، نستخدم مضاعفات العدد 2^ ³² ، أي 2^32 0x100000000. يمكن تقسيم عدد صحيح من 64 بت إلى عددين من هذا النوع بتقسيمه من المنتصف.

بالإضافة إلى ذلك، ينتج عن ضرب عددين صحيحين من 64 بت نتيجة من الناحية الفنية من 128 بت. إذا كانت هناك حاجة فقط إلى الـ 64 بت الأدنى (كما هو الحال هنا)، فيمكن توفير عملية ضرب واحدة من 32 بت. وذلك لأن طريقة الشبكة تعتمد على حقيقة أن${\displaystyle (Nb+a)(Nd+c)=ac+N(bc+ad)+N^{2}(bd)}$بما أن N = ²³² ، ^{فإن N²} = 264 ^، لذا فإن أي نتيجة في${\displaystyle bd}$سيتم إزاحة القيم خارج نطاق 64 بت. وهذا يعني أيضًا أنه يلزم إجراء عملية ضرب طويلة واحدة فقط من نوع 32 بت، حيث سيتم إزاحة البتات الـ 32 العليا من bc و ad خارج النطاق أيضًا.

سيكون هذا هو الروتين في لغة C:

#include <stdint.h>uint64_t multiply ( uint64_t ab , uint64_t cd ) { /* عادةً ما تكون عمليات الإزاحة والأقنعة ضمنية، حيث  يتم تمرير الأعداد الصحيحة 64 بت * غالبًا كمسجلين 32 بت. */ uint32_t b = ab >> 32 , a = ab & 0xFFFFFFFF ; uint32_t d = cd >> 32 , c = cd & 0xFFFFFFFF ;/* الضرب مع تجاوز السعة */ uint64_t ac = ( uint64_t ) a * ( uint64_t ) c ; uint32_t high = ac >> 32 ; /* تجاوز السعة */ uint32_t low = ac & 0xFFFFFFFF ;/* ضرب وجمع 32 بت في البتات العليا */ high += ( a * d ); /* جمع ad */ high += ( b * c ); /* جمع bc */ /* الضرب في 0x100000000 (عن طريق الإزاحة إلى اليسار) والجمع في البتات الدنيا باستخدام عملية OR الثنائية. */ return (( uint64_t ) high << 32 ) | low ; }

سيكون هذا هو الروتين في لغة التجميع ARM:

اضرب: ; a = r0 ; b = r1 ; c = r2 ; d = r3 push { r4 , lr } ; نسخ r4 و lr احتياطيًا إلى المكدس umull r12 , lr , r2 , r0 ; اضرب r2 و r0، خزّن النتيجة في r12 والفائض في lr mla r4 , r2 , r1 , lr ; اضرب r2 و r1، أضف lr، وخزّن في r4 mla r1 , r3 , r0 , r4 ; اضرب r3 و r0، أضف r4، وخزّن في r1 ; يتم إزاحة القيمة إلى اليسار ضمنيًا لأن ; البتات العليا من عدد صحيح 64 بت يتم إرجاعها في r1. mov r0 , r12 ; قم بتعيين البتات المنخفضة لقيمة الإرجاع إلى r12 (ac) pop { r4 , lr } ; استعادة r4 و lr من المكدس bx lr ; إرجاع البتات المنخفضة والعالية في r0 و r1 على التوالي