مشكلة هانسن

في علم المثلثات ، تُعرف مسألة هانسن بأنها مسألة في المسح المستوي ، سُميت نسبةً إلى عالم الفلك بيتر أندرياس هانسن (1795-1874 ) ، الذي عمل في المسح الجيوديسي للدنمارك . لدينا نقطتان معلومتان A وB ، ونقطتان مجهولتان P1 و P2 . يقيس راصد من النقطتين P1 _و P2 _{الزوايا} التي يصنعها خط النظر إلى كل نقطة من النقاط الثلاث الأخرى. المطلوب هو إيجاد _موقعي P1 و P2 . _{انظر الشكل} ؛ الزوايا المقاسة هي ( α1 , _{β1 ,} α2 , _{β2 ) .} 

بما أن الأمر ينطوي على ملاحظات للزوايا التي تم إجراؤها عند نقاط غير معروفة، فإن المشكلة هي مثال على إعادة التشكيل (على عكس التقاطع).

حدد الزوايا التالية: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\gamma &=\angle P_{1}AP_{2},&\quad \delta &=\angle P_{1}BP_{2},\\[4pt]\phi &=\angle P_{2}AB,&\quad \psi &=\angle P_{1}BA.\end{alignedat}}}$$ كخطوة أولى، سنقوم بحساب قيمتي φ و ψ . مجموع هاتين الزاويتين المجهولتين يساوي مجموع β1 و _{β2 ،} مما ينتج عنه المعادلة التالية :

$${\displaystyle \phi +\psi =\beta _{1}+\beta _{2}.}$$

يمكن إيجاد معادلة ثانية بطريقة أكثر تعقيدًا، كما يلي. ينص قانون الجيب على ما يلي :

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {P_{2}B}}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \phi }},\qquad {\frac {\overline {P_{2}B}}{\overline {P_{1}P_{2}}}}= {\frac {\sin \beta _{1}}{\sin \دلتا }}.}$$

وبدمج هذه العناصر، نحصل على

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {P_{1}P_{2}}}}={\frac {\sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \phi \sin \delta }}.}$$

يؤدي الاستدلال المماثل تمامًا من الجانب الآخر إلى

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {P_{1}P_{2}}}}={\frac {\sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}{\sin \psi \sin \gamma }}.}$$

وضع هذين العنصرين متساويين يعطي

$${\displaystyle {\frac {\sin \phi }{\sin \psi }}={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}=k.}$$

باستخدام متطابقة مثلثية معروفة ، يمكن التعبير عن نسبة الجيوب هذه على أنها ظل فرق الزاوية:

${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\phi -\psi )={\frac {k-1}{k+1}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\phi +\psi ).}$

أين${\displaystyle k={\frac {\sin \phi }{\sin \psi }}.}$

هذه هي المعادلة الثانية التي نحتاجها. بمجرد حل المعادلتين لإيجاد المجهولين φ و ψ ، يمكننا استخدام أي من التعبيرين أعلاه لـ${\displaystyle {\tfrac {\overline {AB}}{\overline {P_{1}P_{2}}}}}$للعثور على${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$بما أن AB معلومة، يمكننا إيجاد جميع القطع الأخرى باستخدام قانون الجيب. ^{[ 1 ]}

لدينا أربع زوايا ( α1 ، _β1 ، _α2 ، _β2 )    والمسافة AB . تتم الحسابات على النحو _التالي :

• احسب$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\pi -\alpha _{1}-\beta _{1}-\beta _{2},\\\delta &=\pi -\alpha _{2}-\beta _{1}-\beta _{2}.\end{aligned}}}$$
• احسب$${\displaystyle k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.}$$
• يترك$${\displaystyle s=\beta _{1}+\beta _{2},\quad d=2\arctan \left({\frac {k-1}{k+1}}\tan {\tfrac {1}{2}}s\right)}$$وثم$${\displaystyle \phi ={\frac {s+d}{2}},\quad \psi ={\frac {sd}{2}}.}$$

احسب$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}={\overline {AB}}\ {\frac {\sin \phi \sin \delta }{\sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}}}$$أو ما يعادل ذلك$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}={\overline {AB}}\ {\frac {\sin \psi \sin \gamma }{\sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.}$$إذا كان مقام أحد هذين الكسرين قريبًا من الصفر، فاستخدم الكسر الآخر.

• حل المثلثات
• مشكلة سنيل