طريقة هاردي كروس

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 26 صور
الموسوعة الحرة
مثال على شبكة تدفق الأنابيب

طريقة هاردي كروس هي طريقة تكرارية لتحديد التدفق في أنظمة شبكات الأنابيب حيث تكون المدخلات والمخرجات معروفة، بينما يكون التدفق داخل الشبكة غير معروف. [ 1 ] نُشرت هذه الطريقة لأول مرة في نوفمبر 1936 من قِبل هاردي كروس ، أستاذ الهندسة الإنشائية في جامعة إلينوي في أوربانا-شامبين ، والذي سُميت الطريقة باسمه . [ 2 ] تُعد طريقة هاردي كروس تعديلًا لطريقة توزيع العزوم ، التي طورها هاردي كروس أيضًا كوسيلة لتحديد القوى في المنشآت غير المحددة استاتيكيًا .

أحدث إدخال طريقة هاردي كروس لتحليل شبكات تدفق المياه في الأنابيب ثورةً في تصميم إمدادات المياه البلدية . قبل ظهور هذه الطريقة، كان حلّ أنظمة الأنابيب المعقدة للتوزيع بالغ الصعوبة نظرًا للعلاقة غير الخطية بين فقدان الضغط والتدفق. لاحقًا، أصبحت هذه الطريقة قديمةً بفضل خوارزميات الحلّ الحاسوبية التي تستخدم طريقة نيوتن-رافسون أو غيرها من الطرق العددية التي تُغني عن الحاجة إلى حلّ أنظمة المعادلات غير الخطية يدويًا.

تاريخ

في عام 1930، نشر هاردي كروس بحثًا بعنوان "تحليل الإطارات المتصلة بتوزيع العزوم عند النهايات الثابتة"، وصف فيه طريقة توزيع العزوم التي أحدثت نقلة نوعية في أساليب التحليل الإنشائي التي يتبعها المهندسون في هذا المجال. [ 3 ] استُخدمت طريقة توزيع العزوم لتحديد القوى في المنشآت غير المحددة استاتيكيًا، مما مكّن المهندسين من تصميم المنشآت بأمان من ثلاثينيات القرن العشرين وحتى ستينياته، إلى حين تطوير الأساليب الحاسوبية. [ 3 ] في نوفمبر 1936، طبّق كروس الطريقة الهندسية نفسها لحلّ مسائل توزيع التدفق في شبكات الأنابيب، ونشر بحثًا بعنوان "تحليل التدفق في شبكات القنوات أو الموصلات". [ 1 ]

الاشتقاق

تُعدّ طريقة هاردي كروس تطبيقًا لمبدأي استمرارية التدفق واستمرارية الجهد لحل معادلات التدفق في شبكة الأنابيب بشكل تكراري. [ 1 ] في حالة تدفق الأنابيب، يعني مبدأ حفظ التدفق أن التدفق الداخل يساوي التدفق الخارج عند كل نقطة تفرع في الأنبوب. أما مبدأ حفظ الجهد فيعني أن إجمالي فقدان الضغط الاتجاهي على طول أي مسار دائري في النظام يساوي صفرًا (بافتراض أن فقدان الضغط المحسوب مقابل التدفق هو في الواقع زيادة في الضغط).

قام هاردي كروس بتطوير طريقتين لحل شبكات التدفق. تبدأ كل طريقة بالحفاظ إما على استمرارية التدفق أو الجهد، ثم تحل بشكل تكراري للآخر.

الافتراضات

تعتمد طريقة هاردي كروس على افتراض معرفة التدفق الداخل والخارج من النظام، ومعرفة طول الأنبوب وقطره وخشونته وغيرها من الخصائص الرئيسية، أو إمكانية افتراضها. [ 1 ] كما تفترض هذه الطريقة معرفة العلاقة بين معدل التدفق وفقدان الضغط، ولكنها لا تشترط استخدام أي علاقة محددة. [ 1 ]

في حالة تدفق المياه عبر الأنابيب، طُوِّرت عدة طرق لتحديد العلاقة بين فقدان الضغط والتدفق. وتتيح طريقة هاردي كروس استخدام أي من هذه العلاقات.

العلاقة العامة بين فقدان الضغط والتدفق هي:

حو=ك⋅سؤالن{\displaystyle h_{f}=k\cdot Q^{n}}

حيث k هو فقدان الضغط لكل وحدة تدفق، و n هو معامل التدفق. في معظم حالات التصميم، تُعتبر القيم التي تُكوّن k ، مثل طول الأنبوب وقطره وخشونته، معروفة أو مُفترضة، وبالتالي يمكن تحديد قيمة k لكل أنبوب في الشبكة. تتغير القيم التي تُكوّن k وقيمة n تبعًا للعلاقة المستخدمة لتحديد فقدان الضغط. ومع ذلك، فإن جميع العلاقات متوافقة مع طريقة هاردي كروس. [ 4 ]

معادلة فقدان الرأسالعلاقةكن
معادلة هازن-ويليامزحو=L⋅10.67سؤال1.85ج1.85د4.87{\displaystyle h_{f}=L\cdot {\frac {10.67\quad Q^{1.85}}{C^{1.85}\quad d^{4.87}}}}L⋅10.67ج1.85د4.87{\displaystyle L\cdot {\frac {10.67}{C^{1.85}\quad d^{4.87}}}}1.85
معادلة دارسي-ويسباخحو=8وLسؤال2زπ2د5{\displaystyle h_{f}={\frac {8fLQ^{2}}{g\pi ^{2}d^{5}}}}L⋅8وزπ2د5{\displaystyle L\cdot {\frac {8f}{g\pi ^{2}d^{5}}}}2

تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه يمكن استخدام طريقة هاردي كروس لحل الدوائر البسيطة وغيرها من الحالات المشابهة لتدفق البيانات. في حالة الدوائر البسيطة،

V=ك⋅أنا{\displaystyle V=K\cdot I}

يعادل

حو=ك⋅سؤالن{\displaystyle h_{f}=k\cdot Q^{n}}.

بضبط المعامل k على K، ومعدل التدفق Q على I، والأس n على 1، يمكن استخدام طريقة هاردي كروس لحل دائرة كهربائية بسيطة. مع ذلك، ولأن العلاقة بين انخفاض الجهد والتيار خطية، فإن طريقة هاردي كروس غير ضرورية، ويمكن حل الدائرة باستخدام طرق غير تكرارية.

طريقة موازنة الرؤوس

تعتمد طريقة موازنة الرؤوس على تخمين أولي يضمن استمرارية التدفق عند كل نقطة تفرع، ثم توازن التدفقات حتى يتم تحقيق استمرارية الجهد أيضًا عبر كل حلقة في النظام. [ 1 ]

البرهان (حيث يرمز r إلى k)

البرهان التالي مأخوذ من ورقة هاردي كروس البحثية بعنوان "تحليل التدفق في شبكات الأنابيب أو الموصلات" [ 1 ] ، ويمكن التحقق منه من خلال البرنامج الوطني للتعلم المعزز بالتكنولوجيا في هندسة المياه والصرف الصحي [ 4 ] ، وكتاب أساسيات أنظمة الهندسة الهيدروليكية لروبرت ج. هوغتالين [ 5 ] .

إذا كان التقدير الأولي لمعدلات التدفق في كل أنبوب صحيحًا، فإن التغير في الضغط عبر حلقة في النظام،Σرسؤالن{\displaystyle \Sigma rQ^{n}}ستكون النتيجة مساوية للصفر. أما إذا لم يكن التخمين الأولي صحيحًا، فسيكون التغير في الضغط غير صفري، وسيحدث تغير في التدفق.Δسؤال{\displaystyle \Delta Q}يجب تطبيق معدل التدفق الجديد.سؤال=سؤال0+Δسؤال{\displaystyle Q=Q_{0}+\Delta Q}هو مجموع معدل التدفق القديم وتغير ما في معدل التدفق بحيث يكون التغير في الضغط عبر الحلقة صفرًا. ويكون مجموع التغير في الضغط عبر الحلقة الجديدة هوΣر(سؤال0+Δسؤال)ن=0{\displaystyle \Sigma r(Q_{0}+\Delta Q)^{n}=0}.

قيمةΣر(سؤال0+Δسؤال)ن{\displaystyle \Sigma r(Q_{0}+\Delta Q)^{n}}يمكن تقريبها باستخدام متسلسلة تايلور .

Σر(سؤال0+Δسؤال)ن=Σر(سؤال0ن+نسؤال0ن-1Δسؤال+...)=0{\displaystyle \Sigma r(Q_{0}+\Delta Q)^{n}=\Sigma r(Q_{0}^{n}+nQ_{0}^{n-1}\Delta Q+...)=0}

لصغيرΔسؤال{\displaystyle \Delta Q}مقارنة بسؤال0{\displaystyle Q_{0}}تختفي الشروط الإضافية، ويتبقى:

Σر(سؤال0ن+نسؤال0ن-1Δسؤال)=0{\displaystyle \Sigma r(Q_{0}^{n}+nQ_{0}^{n-1}\Delta Q)=0}

وحل لـΔسؤال{\displaystyle \Delta Q}

Σرسؤال0ن=-Σنرسؤال0ن-1Δسؤال{\displaystyle \Sigma rQ_{0}^{n}=-\Sigma nrQ_{0}^{n-1}\Delta Q}
Δسؤال=-Σرسؤال0نΣنرسؤال0ن-1{\displaystyle \Delta Q=-{\frac {\Sigma rQ_{0}^{n}}{\Sigma nrQ_{0}^{n-1}}}}

يُمكن تقريب التغير في التدفق الذي سيوازن الضغط فوق الحلقة بواسطةΔسؤال=-Σرسؤال0نΣنرسؤال0ن-1{\displaystyle \Delta Q=-{\frac {\Sigma rQ_{0}^{n}}{\Sigma nrQ_{0}^{n-1}}}}مع ذلك، هذا مجرد تقريب بسبب الحدود التي تم تجاهلها في متسلسلة تايلور . قد لا يكون التغير في رأس الحلقة صفرًا، ولكنه سيكون أصغر من التخمين الأولي. تتطلب العملية عدة تكرارات لإيجاد قيمة جديدة.Δسؤال{\displaystyle \Delta Q}سيقترب من الحل الصحيح. [ 1 ]

عملية

الطريقة كالتالي:

  1. خمن معدلات التدفق في كل أنبوب، مع التأكد من أن إجمالي التدفق الداخل يساوي إجمالي التدفق الخارج عند كل نقطة تفرع. (لا يشترط أن يكون التخمين دقيقًا، ولكن التخمين الدقيق سيقلل من الوقت اللازم لإيجاد الحل).
  2. حدد كل حلقة مغلقة في النظام.
  3. لكل حلقة، حدد فقدان الضغط في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة. يتم حساب فقدان الضغط في كل أنبوب باستخدامحو=رسؤالن{\displaystyle h_{f}=rQ^{n}}. تحدث خسائر الضغط في اتجاه عقارب الساعة نتيجة للتدفقات في اتجاه عقارب الساعة، وكذلك الحال بالنسبة للتدفقات عكس اتجاه عقارب الساعة.
  4. حدد إجمالي فقدان الضغط في كل حلقة،Σرسؤالن{\displaystyle \Sigma rQ^{n}}، عن طريق طرح فقدان الضغط عكس اتجاه عقارب الساعة من فقدان الضغط في اتجاه عقارب الساعة.
  5. لكل حلقة، ابحثΣنرسؤالن-1{\displaystyle \Sigma nrQ^{n-1}}دون الإشارة إلى الاتجاه (يجب أن تكون جميع القيم موجبة).
  6. التغير في التدفق يساويΣرسؤالنΣنرسؤالن-1{\displaystyle {\frac {\Sigma rQ^{n}}{\Sigma nrQ^{n-1}}}}.
  7. إذا كان التغير في التدفق موجباً، يُطبّق على جميع أنابيب الحلقة في اتجاه عكس عقارب الساعة. أما إذا كان التغير في التدفق سالباً، فيُطبّق على جميع أنابيب الحلقة في اتجاه عقارب الساعة.
  8. استمر من الخطوة 3 حتى يصبح التغيير في التدفق ضمن نطاق مُرضٍ.

طريقة موازنة التدفقات (القسم غير مكتمل)

تعتمد طريقة موازنة التدفقات على تخمين أولي يحقق استمرارية الجهد عبر كل حلقة، ثم توازن التدفقات حتى يتم تحقيق استمرارية التدفق أيضًا عند كل تقاطع.

مزايا طريقة هاردي كروس

الرياضيات البسيطة

تُعدّ طريقة هاردي كروس مفيدة لأنها تعتمد على الرياضيات البسيطة فقط، متجاوزةً الحاجة إلى حلّ نظام من المعادلات. فبدون هذه الطريقة، سيضطر المهندسون إلى حلّ أنظمة معقدة من المعادلات ذات أسس متغيرة يصعب حلّها يدويًا.

التصحيح الذاتي

تُصحح طريقة هاردي كروس الأخطاء في التخمين الأولي المستخدم لحل المسألة بشكل تكراري. [ 1 ] كما تُصحح الأخطاء اللاحقة في الحسابات بشكل تكراري أيضًا. إذا تم اتباع الطريقة بشكل صحيح، فسيظل بالإمكان إيجاد التدفق الصحيح في كل أنبوب حتى مع وجود أخطاء رياضية صغيرة متكررة في العملية. طالما تم إجراء التكرارات القليلة الأخيرة بعناية فائقة، سيظل الحل صحيحًا. في الواقع، من الممكن حذف الكسور العشرية عمدًا في التكرارات الأولى من الطريقة لتسريع الحسابات.

مثال

مثال على شبكة تدفق الأنابيب

يمكن استخدام طريقة هاردي كروس لحساب توزيع التدفق في شبكة أنابيب. لنأخذ مثال شبكة تدفق أنابيب بسيطة موضحة على اليمين. في هذا المثال، سيكون التدفق الداخل والخارج 10 لترات في الثانية. سنفترض أن n تساوي 2، وفقدان الضغط لكل وحدة تدفق r ، وقيمة التدفق الابتدائي لكل أنبوب كما يلي:

ماسورةس12س13س23س24س34
ر15151
تخمين Q (لتر/ثانية)55055

نقوم بحل الشبكة عن طريق طريقة موازنة الرؤوس، باتباع الخطوات الموضحة في عملية الطريقة أعلاه.

1. يتم وضع التخمينات الأولية بحيث يتم الحفاظ على استمرارية التدفق عند كل تقاطع في الشبكة.

2. يتم تحديد حلقات النظام على أنها الحلقة 1-2-3 والحلقة 2-3-4.

3. يتم تحديد فقدان الضغط في كل أنبوب.

الحلقة 1-2-3س12س13س23
فقدان الرأس =رسؤال2{\displaystyle rQ^{2}}251250
اتجاهباتجاه عقارب الساعةعكس اتجاه عقارب الساعةباتجاه عقارب الساعة

بالنسبة للحلقة 1-2-3، فإن مجموع خسائر الرأس في اتجاه عقارب الساعة هو 25 ومجموع خسائر الرأس عكس اتجاه عقارب الساعة هو 125.

الحلقة 2-3-4س23س24س34
فقدان الرأس =رسؤال2{\displaystyle rQ^{2}}012525
اتجاهعكس اتجاه عقارب الساعةباتجاه عقارب الساعةعكس اتجاه عقارب الساعة

بالنسبة للحلقة 2-3-4، يكون مجموع فقدان الضغط في اتجاه عقارب الساعة 125 ومجموع فقدان الضغط عكس اتجاه عقارب الساعة 25.

4. إجمالي فقدان الضغط في اتجاه عقارب الساعة في الحلقة 1-2-3 هو25-125=-100{\displaystyle 25-125=-100}إجمالي فقدان الضغط في اتجاه عقارب الساعة في الحلقة 2-3-4 هو125-25=100{\displaystyle 125-25=100}.

5. قيمةΣنرسؤالن-1{\displaystyle \Sigma nrQ^{n-1}}يتم تحديدها لكل حلقة. وقد وُجد أنها تساوي 60 في كلتا الحلقتين (بسبب التناظر)، كما هو موضح في الشكل.

6. يتم إيجاد التغير في التدفق لكل حلقة باستخدام المعادلةΣرسؤالنΣنرسؤالن-1{\displaystyle {\frac {\Sigma rQ^{n}}{\Sigma nrQ^{n-1}}}}بالنسبة للحلقة 1-2-3، يكون التغير في التدفق مساوياً لـ-100/60=-1.66{\displaystyle -100/60=-1.66}وبالنسبة للحلقات 2-3-4، فإن التغير في التدفق يساوي100/60=1.66{\displaystyle 100/60=1.66}.

٧. يُطبَّق التغيير في التدفق على جميع الحلقات. بالنسبة للحلقة ١-٢-٣، يكون التغيير في التدفق سالبًا، لذا تُطبَّق قيمته المطلقة في اتجاه عقارب الساعة. أما بالنسبة للحلقة ٢-٣-٤، فيكون التغيير في التدفق موجبًا، لذا تُطبَّق قيمته المطلقة عكس اتجاه عقارب الساعة. وبالنسبة للأنبوب ٢-٣، الموجود في كلتا الحلقتين، فإن التغييرات في التدفق تراكمية.

ماسورةس12س13س23س24س34
Q (لتر/ثانية)6.663.333.333.336.66

ثم تتكرر العملية من الخطوة 3 حتى يصبح التغيير في التدفق صغيرًا بما فيه الكفاية أو يصل إلى الصفر.

3. إجمالي فقدان الرأس في الحلقة 1-2-3 هو

الحلقة 1-2-3س12س13س23
فقدان الرأس =رسؤال2{\displaystyle rQ^{2}}44.455.511.1
اتجاهباتجاه عقارب الساعةعكس اتجاه عقارب الساعةباتجاه عقارب الساعة

لاحظ أن فقدان الضغط باتجاه عقارب الساعة يساوي فقدان الضغط عكس اتجاه عقارب الساعة. هذا يعني أن التدفق في هذه الحلقة متوازن وأن معدلات التدفق صحيحة. سيكون إجمالي فقدان الضغط في الحلقات 2-3-4 متوازنًا أيضًا (بسبب التناظر).

الحلقة 2-3-4س23س24س34
فقدان الرأس =رسؤال2{\displaystyle rQ^{2}}11.155.544.4
اتجاهعكس اتجاه عقارب الساعةباتجاه عقارب الساعةعكس اتجاه عقارب الساعة

في هذه الحالة، توصلت الطريقة إلى الحل الصحيح في دورة واحدة. أما بالنسبة للشبكات الأخرى، فقد يتطلب الأمر عدة دورات حتى تصبح التدفقات في الأنابيب صحيحة أو قريبة من الصحة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 كروس، هـ. (نوفمبر 1936). "تحليل التدفق في شبكات الأنابيب أو الموصلات" . محطة التجارب الهندسية . النشرة رقم 286.
  2. ↑ «هاردي كروس؛ مربٍّ، ومحلل، ومهندس، وفيلسوف» . مؤرشف من الأصل في 9 أغسطس 2011. تم الاطلاع عليه في 3 مايو 2011 .
  3. 1 2 ليونارد ك. إيتون. "هاردي كروس و"طريقة توزيع العزوم"" تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 أبريل 2011. "
  4. 1 2 "هندسة المياه والصرف الصحي" . مؤرشف من الأصل في 12 مارس 2008. تم الاطلاع عليه في 11 أبريل 2011 .
  5. ↑ روبرت ج. هوغتالين (2009). أساسيات أنظمة الهندسة الهيدروليكية . ISBN 9780136016380تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 أبريل 2011 .