تحول هيرميت

الموسوعة الحرة

في الرياضيات، تحويل هيرميت هو تحويل تكاملي سمي على اسم عالم الرياضيات تشارلز هيرميت ويستخدم كثيرات حدود هيرميتحن(x){\displaystyle H_{n}(x)}باعتبارها نواة التحويل.

تحول الهيرميتح{F(x)}≡وح(ن){\displaystyle H\{F(x)\}\equiv f_{H}(n)}دالةF(x){\displaystyle F(x)}يكون ح{F(x)}≡وح(ن)=∫-∞∞هـ-x2 حن(x) F(x) دx{\displaystyle H\{F(x)\}\equiv f_{H}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\ H_{n}(x)\ F(x)\ dx}

التحويل العكسي لهيرميتح-1{وح(ن)}{\displaystyle H^{-1}\{f_{H}(n)\}}يُعطى بواسطة ح-1{وح(ن)}≡F(x)=∑ن=0∞1π2نن!وح(ن)حن(x){\displaystyle H^{-1}\{f_{H}(n)\}\equiv F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}2^{n}n!}}f_{H}(n)H_{n}(x)}

بعض أزواج هيرميت المتحولة

F(x){\displaystyle F(x)\,}وح(ن){\displaystyle f_{H}(n)\,}
xم{\displaystyle x^{m}}{م!π2م-ن(م-ن2)!،(م-ن) حتى و≥00،خلاف ذلك{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {m!{\sqrt {\pi }}}{2^{mn}\left({\frac {mn}{2}}\right)!}},&(mn){\text{ زوجي و}}\geq 0\\0,&{\text{فيما عدا ذلك}}\end{cases}}}[ 1 ]
هـأx{\displaystyle e^{ax}\,}πأنهـأ2/4{\displaystyle {\sqrt {\pi }}a^{n}e^{a^{2}/4}\,}
هـ2xت-ت2، |ت|<12{\displaystyle e^{2xt-t^{2}},\ |t|<{\frac {1}{2}}\,}π(2ت)ن{\displaystyle {\sqrt {\pi }}(2t)^{n}}
حم(x){\displaystyle H_{m}(x)\,}π2نن!دلتانم{\displaystyle {\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{nm}\,}
x2حم(x){\displaystyle x^{2}H_{m}(x)\,}2نن!π{1،ن=م+2(ن+12)،ن=م(ن+1)(ن+2)،ن=م-20،خلاف ذلك{\displaystyle 2^{n}n!{\sqrt {\pi }}{\begin{cases}1,&n=m+2\\\left(n+{\frac {1}{2}}\right),&n=m\\(n+1)(n+2),&n=m-2\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
هـ-x2حم(x){\displaystyle e^{-x^{2}}H_{m}(x)\,}(-1)ص-م2ص-1/2Γ(ص+1/2)، م+ن=2ص، ص∈Z{\displaystyle \left(-1\right)^{pm}2^{p-1/2}\Gamma (p+1/2),\ m+n=2p,\ p\in \mathbb {Z} }
حم2(x){\displaystyle H_{m}^{2}(x)\,}{2م+ن/2π(من/2)م!ن!(ن/2)!،ن حتى و≤2م0،خلاف ذلك{\displaystyle {\begin{cases}2^{m+n/2}{\sqrt {\pi }}{\binom {m}{n/2}}{\frac {m!n!}{(n/2)!}},&n{\text{ زوجي و}}\leq 2m\\0,&{\text{فيما عدا ذلك}}\end{cases}}}[ 2 ]
حم(x)حص(x){\displaystyle H_{m}(x)H_{p}(x)\,}{2كπم!ن!ص!(ك-م)!(ك-ن)!(ك-ص)!،ن+م+ص=2ك، ك∈Z؛ |م-ص|≤ن≤م+ص0،خلاف ذلك{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {2^{k}{\sqrt {\pi }}m!n!p!}{(km)!(kn)!(kp)!}},&n+m+p=2k,\ k\in \mathbb {Z} ;\ |mp|\leq n\leq m+p\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\,} [ 3 ]
حن+ص+q(x)حص(x)حq(x){\displaystyle H_{n+p+q}(x)H_{p}(x)H_{q}(x)\,}π2ن+ص+q(ن+ص+q)!{\displaystyle {\sqrt {\pi }}2^{n+p+q}(n+p+q)!\,}
دمدxمF(x){\displaystyle {\frac {d^{m}}{dx^{m}}}F(x)\,}وح(ن+م){\displaystyle f_{H}(n+m)\,}
xدمدxمF(x){\displaystyle x{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}F(x)\,}نوح(ن+م-1)+12وح(ن+م+1){\displaystyle nf_{H}(n+m-1)+{\frac {1}{2}}f_{H}(n+m+1)\,}
هـx2ددx[هـ-x2ددxF(x)]{\displaystyle e^{x^{2}}{\frac {d}{dx}}\left[e^{-x^{2}}{\frac {d}{dx}}F(x)\right]\,}-2نوح(ن){\displaystyle -2nf_{H}(n)\,}
F(x-x0){\displaystyle F(x-x_{0})}π∑ك=0∞(-x0)كك!وح(ن+ك){\displaystyle {\sqrt {\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x_{0})^{k}}{k!}}f_{H}(n+k)}
F(x)*جي(x){\displaystyle F(x)*G(x)\,}π(-1)ن[22ن+1Γ(ن+32)]-1وح(ن)زح(ن){\displaystyle {\sqrt {\pi }}(-1)^{n}\left[2^{2n+1}\Gamma \left(n+{\frac {3}{2}}\right)\right]^{-1}f_{H}(n)g_{H}(n)\,}[ 4 ]
هـz2الخطيئة⁡(xz)، |z|<12 {\displaystyle e^{z^{2}}\sin(xz),\ |z|<{\frac {1}{2}}\ \,}{π(-1)⌊ن2⌋(2z)ن،نoدد0،نهـvهـن{\displaystyle {\begin{cases}{\sqrt {\pi }}(-1)^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(2z)^{n},&n\,\mathrm {odd} \\0,&n\,\mathrm {even} \end{cases}}\,}
(1-z2)-1/2خبرة⁡[2xyz-(x2+y2)z2(1-z2)]{\displaystyle (1-z^{2})^{-1/2}\exp \left[{\frac {2xyz-(x^{2}+y^{2})z^{2}}{(1-z^{2})}}\right]\,}πzنحن(y){\displaystyle {\sqrt {\pi }}z^{n}H_{n}(y)}[ 5 ] [ 6 ]
حم(y)حم+1(x)-حم(x)حم+1(y)2م+1م!(x-y){\displaystyle {\frac {H_{m}(y)H_{m+1}(x)-H_{m}(x)H_{m+1}(y)}{2^{m+1}m!(x-y)}}}{πحن(y)ن≤م0ن>م{\displaystyle {\begin{cases}{\sqrt {\pi }}H_{n}(y)&n\leq m\\0&n>m\end{cases}}}

مراجع

  1. ↑ مكولي، جوزيف كورتني؛ تشرشل، رويل فانس (1953)، تحويلات هيرميت ولاغير التكاملية  : تقرير أولي
  2. ^ فيلدهايم، إرفين (1938). "Quelques nouvelles communication pour les polynomes d'Hermite". مجلة جمعية لندن للرياضيات (باللغة الفرنسية). s1-13: 22– 29. دوى : 10.1112/jlms/s1-13.1.22 .
  3. ↑ بيلي، دبليو إن (1939). "حول كثيرات حدود هيرميت ودوال ليجندر المرتبطة بها". مجلة الجمعية الرياضية بلندن . s1-14 (4): 281– 286. doi : 10.1112/jlms/s1-14.4.281 .
  4. ^ جلاسكي، هانز يورغن (1983). “على البنية التلافيفية للتحول الهرمي المعمم” (PDF) . سيرديكا بلغاريا منشورات الرياضيات . 9 (2): 223- 229.
  5. ^ إرديلي وآخرون. 1955 ، ص. 194 ، 10.13 (22). 
  6. ^ Mehler، FG (1866)، “Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung” [ حول تطوير دالة تحتوي على العديد من المتغيرات بشكل تعسفي وفقًا لوظائف لابلاس ذات الترتيب الأعلى ] ، Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (بالألمانية) (66): 161– 176، ISSN 0075-4102 ، ERAM 066.1720cj  انظر الصفحة 174، المعادلة (18) والصفحة 173، المعادلة (13).

مصادر