أولوية فائقة
في الإحصاءات البايزية ، فإن التوزيع المسبق الفائق هو توزيع مسبق على معلمة فائقة ، أي على معلمة من معلمات التوزيع المسبق .
كما هو الحال مع مصطلح المعلمة الفائقة، يُستخدم مصطلح "فائقة" لتمييزها عن التوزيع المسبق لمعلمة النموذج للنظام الأساسي. وتظهر هذه المصطلحات بشكل خاص عند استخدام النماذج الهرمية . [ 1 ] [ 2 ]
على سبيل المثال، إذا كان المرء يستخدم توزيع بيتا لنمذجة توزيع المعلمة p لتوزيع برنولي ، فإن:
- يُعد توزيع برنولي (مع المعلمة p ) نموذجًا للنظام الأساسي؛
- p هو أحد معلمات النظام الأساسي (توزيع برنولي)؛
- التوزيع بيتا (مع المعلمات α و β ) هو التوزيع المسبق لـ p ؛
- α و β هما معلمات التوزيع المسبق (توزيع بيتا)، وبالتالي فهما معلمات فائقة؛
- وبالتالي فإن التوزيع المسبق لـ α و β هو توزيع مسبق فائق.
من حيث المبدأ، يمكن للمرء أن يكرر ما سبق: إذا كان للتوزيع المسبق الفائق نفسه معلمات فائقة، فيمكن تسمية هذه بالمعلمات الفائقة الفائقة، وهكذا دواليك.
يمكن للمرء أن يُطلق بالمثل على التوزيع الاحتمالي اللاحق للمعامل الفائق اسم التوزيع الاحتمالي اللاحق الفائق، وإذا كانت هذه التوزيعات تنتمي إلى نفس الفئة، فيمكن تسميتها بالتوزيعات الفائقة المترافقة أو التوزيع الاحتمالي المسبق الفائق المترافق. ومع ذلك، سرعان ما يصبح هذا الأمر مجرداً للغاية ومنفصلاً عن المشكلة الأصلية.
غاية
تعتبر التوزيعات الاحتمالية الفائقة، مثل التوزيعات الاحتمالية المترافقة، وسيلة حسابية ملائمة - فهي لا تغير عملية الاستدلال البايزي، ولكنها ببساطة تسمح للمرء بوصف الحساب باستخدام التوزيع الاحتمالي المسبق بسهولة أكبر.
ريبة
أولاً، يسمح استخدام التوزيع المسبق الفائق بالتعبير عن عدم اليقين في المعلمة الفائقة: إن أخذ توزيع مسبق ثابت هو افتراض، وتغيير المعلمة الفائقة للتوزيع المسبق يسمح بإجراء تحليل حساسية لهذا الافتراض، وأخذ توزيع على هذه المعلمة الفائقة يسمح بالتعبير عن عدم اليقين في هذا الافتراض: "افترض أن التوزيع المسبق من هذا الشكل (هذه العائلة البارامترية)، ولكننا غير متأكدين من القيم الدقيقة التي يجب أن تكون عليها المعلمات".
توزيع الخليط
بصورة أكثر تجريدًا، عند استخدام توزيع احتمالي فائق مسبق، يصبح التوزيع المسبق (على معلمات النموذج الأساسي) نفسه كثافة خليط : فهو المتوسط المرجح لمختلف التوزيعات المسبقة (على معلمات فائقة مختلفة)، حيث يمثل التوزيع الاحتمالي الفائق المسبق عامل الترجيح. يُضيف هذا توزيعات محتملة إضافية (تتجاوز المجموعة المعلمية المستخدمة)، لأن المجموعات المعلمية للتوزيعات ليست عادةً مجموعات محدبة - وبما أن كثافة الخليط هي توليفة محدبة من التوزيعات، فإنها تقع عمومًا خارج المجموعة. على سبيل المثال، خليط توزيعين طبيعيين ليس توزيعًا طبيعيًا: إذا أخذنا متوسطين مختلفين (متباعدين بدرجة كافية) وخلطنا 50% من كل منهما، نحصل على توزيع ثنائي النمط، وهو بالتالي ليس توزيعًا طبيعيًا. في الواقع، الغلاف المحدب للتوزيعات الطبيعية كثيف في جميع التوزيعات، لذا في بعض الحالات، يُمكن تقريب توزيع مسبق معين بدقة عالية باستخدام مجموعة ذات توزيع احتمالي فائق مسبق مناسب.
تكمن فائدة هذا النهج في استخدام التوزيعات الاحتمالية المسبقة المترافقة: إذ يسهل حساب التوزيعات الاحتمالية اللاحقة لكل توزيع مسبق مترافق على حدة، وبالتالي فإن مزيج التوزيعات المسبقة المترافقة يُعطي نفس مزيج التوزيعات اللاحقة: يكفي معرفة كيفية تغير كل توزيع مسبق مترافق. قد يكون استخدام توزيع مسبق مترافق واحد مقيدًا للغاية، لكن استخدام مزيج من التوزيعات المسبقة المترافقة قد يُعطي التوزيع المطلوب بصيغة يسهل حسابها. وهذا يُشبه تحليل دالة بدلالة الدوال الذاتية - انظر: التوزيع المسبق المترافق: التناظر مع الدوال الذاتية .
النظام الديناميكي
التوزيع المسبق الفائق هو توزيع على فضاء المعلمات الفائقة الممكنة. إذا تم استخدام التوزيعات المسبقة المترافقة، فإن هذا الفضاء يُحفظ بالانتقال إلى التوزيعات اللاحقة - وبالتالي، مع وصول البيانات، يتغير التوزيع، ولكنه يبقى ضمن هذا الفضاء: مع وصول البيانات، يتطور التوزيع كنظام ديناميكي (تتطور كل نقطة من فضاء المعلمات الفائقة إلى المعلمات الفائقة المحدثة)، ويتقارب بمرور الوقت، تمامًا كما يتقارب التوزيع المسبق نفسه.
مراجع
- ↑ نتزوفراس، يوانيس (2009). "النماذج الهرمية البايزية". النمذجة البايزية باستخدام WinBUGS . وايلي. ص 305-340 . ISBN 978-0-470-14114-4.
- ↑ ماك إلريث، ريتشارد (2020). "نماذج ذات ذاكرة". إعادة التفكير الإحصائي : دورة بايزية مع أمثلة في R وStan . مطبعة CRC. ISBN 978-0-367-13991-9.
للمزيد من القراءة
- برناردو، جيه إم؛ سميث، إيه إف إم (2000). نظرية بايز . نيويورك: وايلي. ISBN 0-471-49464-X.
- الإحصاءات البايزية