نموذج من نوع الجليد

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 33 صور
الموسوعة الحرة

في الميكانيكا الإحصائية ، تُعدّ نماذج الجليد، أو نماذج الرؤوس الستة، عائلةً من نماذج الرؤوس للشبكات البلورية ذات الروابط الهيدروجينية. وقد قدّم لينوس باولينغ أول نموذج من هذا النوع عام 1935 لشرح الإنتروبيا المتبقية لجليد الماء. [ 1 ] وقد اقتُرحت متغيراتٌ منه كنماذج لبعض البلورات الفيروكهربائية [ 2 ] والبلورات المضادة للفيروكهربائية [ 3 ] .

في عام 1967، وجد إليوت هـ. ليب الحل الدقيق لنموذج جليدي ثنائي الأبعاد يُعرف باسم "الجليد المربع". [ 4 ] أما الحل الدقيق في ثلاثة أبعاد، فلا يُعرف إلا لحالة "متجمدة" خاصة. [ 5 ]

وصف

نموذج الجليد هو نموذج شبكي مُعرَّف على شبكة ذات عدد تنسيق 4. أي أن كل رأس من رؤوس الشبكة متصل بحافة إلى أربعة من أقرب جيرانه. تتكون حالة النموذج من سهم على كل حافة من حواف الشبكة، بحيث يكون عدد الأسهم المتجهة للداخل عند كل رأس هو 2. يُعرف هذا القيد على تكوينات الأسهم بقاعدة الجليد . من الناحية النظرية للرسوم البيانية ، تُعد الحالات توجيهات أويلرية لرسم بياني غير موجه منتظم رباعي الأبعاد . كما تحسب دالة التقسيم عدد التدفقات الثلاثية غير الصفرية . [ 6 ]

في النماذج ثنائية الأبعاد، تُعتبر الشبكة مربعة. أما في النماذج الأكثر واقعية، فيمكن استخدام شبكة ثلاثية الأبعاد مناسبة للمادة قيد الدراسة؛ على سبيل المثال، تُستخدم الشبكة السداسية للجليد لتحليل الجليد.

عند أي رأس، توجد ستة تكوينات للأسهم تحقق قاعدة آيس (مما يبرر تسمية "نموذج الرؤوس الستة"). التكوينات الصالحة للشبكة المربعة (ثنائية الأبعاد) هي التالية:

يُفهم أن طاقة الحالة هي دالة للتكوينات عند كل رأس. بالنسبة للشبكات المربعة، يُفترض أن الطاقة الكليةهـ{\displaystyle E}يُعطى بواسطة

هـ=ن1ϵ1+ن2ϵ2+...+ن6ϵ6،{\displaystyle E=n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+\ldots +n_{6}\epsilon _{6},}

بالنسبة لبعض الثوابتϵ1،...،ϵ6{\displaystyle \epsilon _{1},\ldots ,\epsilon _{6}}، أيننأنا{\displaystyle n_{i}}يشير هنا إلى عدد الرؤوس التي تحتوي علىأنا{\displaystyle i}التكوين th من الشكل أعلاه. القيمةϵأنا{\displaystyle \epsilon _{i}}الطاقة المرتبطة برقم تكوين الرأسأنا{\displaystyle i}.

يهدف أحد الأهداف إلى حساب دالة التقسيمZ{\displaystyle Z}نموذج من نوع الجليد، والذي يُعطى بالصيغة

Z=∑خبرة⁡(-هـ/كبتي)،{\displaystyle Z=\sum \exp(-E/k_{\rm {B}}T),}

حيث يتم حساب المجموع على جميع حالات النموذج،هـ{\displaystyle E}هي طاقة الدولة،كب{\displaystyle k_{\rm {B}}}هو ثابت بولتزمان ، وتي{\displaystyle T}هي درجة حرارة النظام.

عادةً، يهتم المرء بالحد الديناميكي الحراري الذي يكون فيه العددشمال{\displaystyle N}عندما يقترب عدد الرؤوس من اللانهاية، يتم بدلاً من ذلك حساب الطاقة الحرة لكل رأس.و{\displaystyle f}في الحد كماشمال→∞{\displaystyle N\to \infty }، أينو{\displaystyle f}يُعطى بواسطة

و=-كبتيشمال-1سجل⁡Z.{\displaystyle f=-k_{\rm {B}}TN^{-1}\log Z.}

وبصورة مكافئة، يتم تقييم دالة التقسيم لكل رأسدبليو{\displaystyle W}في الحد الديناميكي الحراري، حيث

دبليو=Z1/شمال.{\displaystyle W=Z^{1/N}.}

القيمو{\displaystyle f}ودبليو{\displaystyle W}ترتبط ببعضها البعض من خلال

و=-كبتيسجل⁡دبليو.{\displaystyle f=-k_{\rm {B}}T\log W.}

التبرير المادي

تتوافق العديد من البلورات الحقيقية ذات الروابط الهيدروجينية مع نموذج الجليد، بما في ذلك الجليد [ 1 ] وفوسفات ثنائي هيدروجين البوتاسيوم KH2 PO4 [ 2 ] (KDP). في الواقع، حفزت هذه البلورات دراسة نماذج من نوع الجليد.

في الجليد، ترتبط كل ذرة أكسجين بأربع ذرات هيدروجين برابطة، وتحتوي كل رابطة على ذرة هيدروجين واحدة بين ذرات الأكسجين الطرفية. تشغل ذرة الهيدروجين أحد موقعين متناظرين، لا يقع أي منهما في منتصف الرابطة. جادل باولينغ [ 1 ] بأن التكوين المسموح به لذرات الهيدروجين هو بحيث يوجد دائمًا ذرتان من الهيدروجين بالقرب من كل ذرة أكسجين، مما يجعل البيئة المحلية تحاكي بيئة جزيء الماء، H₂O.٢ O.بالتالي، إذا اعتبرنا ذرات الأكسجين رؤوس الشبكة البلورية، والروابط الهيدروجينية حوافها، ورسمنا سهمًا على الرابطة يشير إلى جانبها الذي تستقر عليه ذرة الهيدروجين، فإن الجليد يُطابق نموذج الجليد. وينطبق منطق مماثل لإثبات أن KDP يُطابق نموذج الجليد أيضًا.

في السنوات الأخيرة، تم استكشاف نماذج شبيهة بالجليد لوصف جليد الدوران البيروكلوري [ 7 ] وأنظمة جليد الدوران الاصطناعي [ 8 ] [ 9 ] ، حيث يؤدي الإحباط الهندسي في التفاعلات بين العزوم المغناطيسية ثنائية الاستقرار ("الدوران") إلى تفضيل تكوينات الدوران "الخاضعة لقاعدة الجليد". ومؤخرًا، تم توسيع نطاق هذه المقارنات لاستكشاف الظروف التي يمكن في ظلها وصف أنظمة جليد الدوران بدقة باستخدام نموذج رايز F [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] .

خيارات محددة لطاقات الرؤوس

على الشبكة المربعة، الطاقاتϵ1،...،ϵ6{\displaystyle \epsilon _{1},\ldots ,\epsilon _{6}}تحدد طاقات الرؤوس المرتبطة بتكوينات الرؤوس من 1 إلى 6 الاحتمالات النسبية للحالات، وبالتالي يمكنها التأثير على السلوك الكلي للنظام. فيما يلي بعض الخيارات الشائعة لهذه الطاقات.

نموذج الجليد

عند تصميم نماذج الجليد، يأخذ المرءϵ1=ϵ2=...=ϵ6=0{\displaystyle \epsilon _{1}=\epsilon _{2}=\ldots =\epsilon _{6}=0}حيث يُفترض أن جميع تكوينات الرؤوس المسموح بها متساوية الاحتمال. في هذه الحالة، دالة التقسيمZ{\displaystyle Z}يساوي العدد الإجمالي للحالات الصالحة. يُعرف هذا النموذج بنموذج الجليد (على عكس نموذج نوع الجليد ).

نموذج KDP للمواد الكهروإجهادية

جادل سلاتر [ 2 ] بأن KDP يمكن تمثيله بنموذج من نوع الجليد مع طاقات

ϵ1=ϵ2=0،ϵ3=ϵ4=ϵ5=ϵ6>0{\displaystyle \epsilon _{1}=\epsilon _{2}=0,\epsilon _{3}=\epsilon _{4}=\epsilon _{5}=\epsilon _{6}>0}

في هذا النموذج (المسمى نموذج KDP )، تكون الحالة الأكثر احتمالاً (الحالة الأقل طاقة) هي تلك التي تشير فيها جميع الأسهم الأفقية إلى نفس الاتجاه، وكذلك الحال بالنسبة لجميع الأسهم الرأسية. تُعرف هذه الحالة بالحالة الفيروكهربائية ، حيث تُفضل جميع ذرات الهيدروجين جانبًا واحدًا ثابتًا من روابطها.

نموذج Rys F لمادة مضادة للكهرباء الحديدية

ذا رايسF{\displaystyle F}يتم الحصول على النموذج [ 3 ] عن طريق تحديد

ϵ1=ϵ2=ϵ3=ϵ4>0،ϵ5=ϵ6=0.{\displaystyle \epsilon _{1}=\epsilon _{2}=\epsilon _{3}=\epsilon _{4}>0,\epsilon _{5}=\epsilon _{6}=0.}

تهيمن التكوينات الرأسية 5 و 6 على حالة الطاقة الأقل لهذا النموذج. بالنسبة لهذه الحالة، فإن الروابط الأفقية المتجاورة لها بالضرورة أسهم في اتجاهات معاكسة، وبالمثل بالنسبة للروابط الرأسية، لذا فإن هذه الحالة هي حالة مضادة للكهرباء الحديدية .

فرضية المجال الصفري

إذا لم يكن هناك مجال كهربائي محيط ، فإن الطاقة الكلية للحالة يجب أن تظل ثابتة عند عكس الشحنة، أي عند قلب جميع الأسهم. وبالتالي، يمكن للمرء أن يفترض دون فقدان للعمومية أن

ϵ1=ϵ2،ϵ3=ϵ4،ϵ5=ϵ6{\displaystyle \epsilon _{1}=\epsilon _{2},\quad \epsilon _{3}=\epsilon _{4},\quad \epsilon _{5}=\epsilon _{6}}

يُعرف هذا الافتراض باسم افتراض المجال الصفري ، وهو ينطبق على نموذج الجليد، ونموذج KDP، ونموذج Rys F.

تاريخ

تم تقديم قاعدة الجليد من قبل لينوس باولينغ في عام 1935 لحساب الإنتروبيا المتبقية للجليد التي قاسها ويليام إف. جياك وجيه دبليو ستاوت. [ 14 ] الإنتروبيا المتبقية،S{\displaystyle S}يتم حساب كمية الجليد باستخدام الصيغة التالية

S=كبسجل⁡Z=كبشمالسجل⁡دبليو،{\displaystyle S=k_{\rm {B}}\log Z=k_{\rm {B}}\,N\,\log W,}

أينكب{\displaystyle k_{\rm {B}}}هو ثابت بولتزمان ،شمال{\displaystyle N}يمثل عدد ذرات الأكسجين في قطعة الجليد، والذي يُفترض دائمًا أنه كبير ( الحد الديناميكي الحراري ) وZ=دبليوشمال{\displaystyle Z=W^{N}}يمثل عدد التكوينات لذرات الهيدروجين وفقًا لقاعدة باولينغ الجليدية. بدون قاعدة الجليد، كنا سنحصل علىدبليو=4{\displaystyle W=4}بما أن عدد ذرات الهيدروجين هو2شمال{\displaystyle 2N}ولكل ذرة هيدروجين موقعان محتملان. وقدّر بولينغ أن قاعدة الجليد تُقلّص هذا إلىدبليو=1.5{\displaystyle W=1.5}وهو رقم يتوافق بشكل كبير مع قياس جيوك-ستوت لـS{\displaystyle S}يمكن القول إن حساب بولينغ لـS{\displaystyle S}يُعدّ تطبيق الميكانيكا الإحصائية على المواد الحقيقية أحد أبسط تطبيقاتها وأكثرها دقة على الإطلاق، وذلك بالنسبة للجليد. والسؤال الذي بقي مطروحًا هو ما إذا كانت حسابات بولينغ، في ضوء هذا النموذج، صحيحة أم لا.دبليو{\displaystyle W}كان من الممكن إثبات صحة هذه النتيجة التقريبية للغاية من خلال حساب دقيق. وقد أصبح هذا الأمر مشكلة كبيرة في علم التوافق .

قام جون إف. ناجل بحساب كل من النموذجين ثلاثي الأبعاد وثنائي الأبعاد عدديًا في عام 1966 [ 15 ] ، ووجد أندبليو=1.50685±0.00015{\displaystyle W=1.50685\pm 0.00015}في ثلاثة أبعاد ودبليو=1.540±0.001{\displaystyle W=1.540\pm 0.001}في بعدين. كلاهما قريب بشكل مذهل من حساب بولينغ التقريبي، 1.5.

في عام 1967، وجد ليب الحل الدقيق لثلاثة نماذج ثنائية الأبعاد لأنواع الجليد: نموذج الجليد، [ 4 ] ريسF{\displaystyle F}[ 16 ] ونموذج KDP. [ 17 ] أعطى حل نموذج الجليد القيمة الدقيقة لـدبليو{\displaystyle W}في بعدين كـ

دبليو2د=(43)3/2=1.5396007....{\displaystyle W_{2D}=\left({\frac {4}{3}}\right)^{3/2}=1.5396007....}

وهو ما يُعرف بثابت الجليد التربيعي لليب .

وفي وقت لاحق من عام 1967، قام تي. بيل ساذرلاند بتعميم حل ليب للنماذج الثلاثة المحددة لأنواع الجليد إلى حل دقيق عام لنماذج أنواع الجليد ذات الشبكة المربعة التي تحقق فرضية المجال الصفري. [ 18 ]

وفي وقت لاحق من عام 1967، قام سي بي يانغ [ 19 ] بتعميم حل ساذرلاند إلى حل دقيق لنماذج الجليد ذات الشبكة المربعة في مجال كهربائي أفقي.

في عام 1969، استنتج جون ناجل الحل الدقيق لنموذج ثلاثي الأبعاد لـ KDP، ضمن نطاق محدد من درجات الحرارة. [ 5 ] عند هذه الدرجات، يكون النموذج "متجمداً" بمعنى أن الطاقة لكل رأس والإنتروبيا لكل رأس (في الحد الديناميكي الحراري) تساويان صفراً. هذا هو الحل الدقيق الوحيد المعروف لنموذج ثلاثي الأبعاد من نوع الجليد.

العلاقة بنموذج الرؤوس الثمانية

يُعدّ نموذج الرؤوس الثمانية ، الذي تم حله بدقة أيضاً، تعميماً لنموذج الرؤوس الستة (في الشبكة المربعة): لاستعادة نموذج الرؤوس الستة من نموذج الرؤوس الثمانية، تُضبط طاقات تكوينات الرؤوس 7 و8 إلى ما لا نهاية. وقد تم حل نماذج الرؤوس الستة في بعض الحالات التي لم يُحل فيها نموذج الرؤوس الثمانية؛ على سبيل المثال، حل ناغل لنموذج KDP ثلاثي الأبعاد [ 5 ] وحل يانغ لنموذج الرؤوس الستة في مجال أفقي. [ 19 ]

الشروط الحدية

يُقدّم نموذج الجليد هذا مثالًا مضادًا هامًا في الميكانيكا الإحصائية: إذ تعتمد طاقة الحالة الحرة في الحد الديناميكي الحراري على الشروط الحدية. [ 20 ] وقد تم حل النموذج تحليليًا لشروط حدية دورية، ومضادة للدورية، ومغناطيسية حديدية، وشروط حدودية لجدار المجال. ويكتسب نموذج الرؤوس الستة ذو الشروط الحدودية لجدار المجال على شبكة مربعة أهمية خاصة في التوافقية، حيث يُساعد في تعداد مصفوفات الإشارات المتناوبة . في هذه الحالة، يمكن تمثيل دالة التقسيم كمحدد لمصفوفة (يُساوي بُعدها حجم الشبكة)، ولكن في حالات أخرى، يكون تعداددبليو{\displaystyle W}لا يظهر في مثل هذه الصيغة المغلقة البسيطة.

من الواضح أن الأكبردبليو{\displaystyle W}يتم تحديدها بواسطة شروط حدودية حرة (بدون أي قيود على الإطلاق على التكوينات على الحدود)، ولكن نفسدبليو{\displaystyle W}يحدث ذلك، في الحد الديناميكي الحراري، لشروط الحدود الدورية، [ 21 ] كما استُخدم في الأصل لاشتقاقدبليو2د{\displaystyle W_{2D}}.

تلوينات ثلاثية للشبكة

عدد حالات نموذج نوع الجليد على الحواف الداخلية لاتحاد محدود ومتصل ببساطة لمربعات شبكة ما يساوي ثلث عدد طرق تلوين المربعات بثلاثة ألوان، بحيث لا يتشابه لون أي مربعين متجاورين. يعود الفضل في هذا التوافق بين الحالات إلى أندرو لينارد، وهو موضح كما يلي: إذا كان لون مربع ما هو i = 0 أو 1 أو 2، فإن السهم على الحافة المؤدية إلى مربع مجاور يتجه يسارًا أو يمينًا (بحسب مراقب داخل المربع) اعتمادًا على ما إذا كان لون المربع المجاور هو i + 1 أو i - 1 mod 3. هناك 3 طرق ممكنة لتلوين مربع ابتدائي ثابت، وبمجرد اختيار هذا اللون الابتدائي، يتحقق توافق تام بين التلوينات وترتيبات الأسهم التي تحقق شرط نوع الجليد.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 3 بولينغ، ل. (1935). "بنية وإنتروبيا الجليد والبلورات الأخرى ذات الترتيب الذري العشوائي". مجلة الجمعية الكيميائية الأمريكية . 57 (12): 2680-2684 . Bibcode : 1935JAChS..57.2680P . doi : 10.1021/ja01315a102 .
  2. 1 2 3 سلاتر، ج. س . (1941). "نظرية الانتقال في KH₂PO₄ " . مجلة الفيزياء الكيميائية . 9 (1): 16-33 . Bibcode : 1941JChPh...9...16S . doi : 10.1063 /1.1750821 .
  3. 1 2 ريس، ف. (1963). "Über ein zwei Dimensiones klassisches Konfigurationsmodell" . هيلفيتيكا فيزيكا اكتا . 36 : 537. مؤرشفة من الأصلي بتاريخ 19-08-2014 . تم الاسترجاع 2014/08/18 .
  4. 1 2 ليب، إي إتش (1967). "الإنتروبيا المتبقية للجليد المربع". مجلة Physical Review . 162 (1): 162–172 . Bibcode : 1967PhRv..162..162L . doi : 10.1103/PhysRev.162.162 .
  5. 1 2 3 ناجل، ج. ف. (1969). "إثبات انتقال الطور من الدرجة الأولى في نموذج سلاتر KDP" . مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 13 (1): 62-67 . Bibcode : 1969CMaPh..13...62N . doi : 10.1007/BF01645270 . S2CID 122432926 . 
  6. ↑ ميخائيل، م.؛ وينكلر، ب. (1992). "حول عدد التوجهات الإيولرية للرسم البياني". وقائع ندوة SODA '92 السنوية الثالثة لجمعية ACM-SIAM حول الخوارزميات المنفصلة . جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية . ص 138-145 . ISBN  978-0-89791-466-6.
  7. ↑ برامويل، ستيفن ت؛ هاريس، مارك ج (2020-09-02). "تاريخ الجليد المغزلي" . مجلة الفيزياء: المادة المكثفة . 32 (37): 374010. Bibcode : 2020JPCM...32K4010B . doi : 10.1088/1361-648X/ab8423 . hdl : 20.500.11820/dc73d05c-2bf4-444f-bfc3-71a393b8ecff . ISSN 0953-8984 . PMID 32554893 .  
  8. ↑ وانغ، آر إف؛ نيسولي، سي؛ فريتاس، آر إس؛ لي، جيه؛ ماكونفيل، دبليو؛ كولي، بي جيه؛ لوند، إم إس؛ سامارث، إن؛ لايتون، سي؛ كريسبى، في إتش؛ شيفر، بي. (يناير 2006). "جليد مغناطيسي اصطناعي في شبكة محبطة هندسيًا من جزر مغناطيسية حديدية نانوية الحجم" . مجلة نيتشر . 439 (7074): 303-306 . arXiv : cond-mat/0601429 . Bibcode : 2006Natur.439..303W . doi : 10.1038 /nature04447 . ISSN 1476-4687 . PMID 16421565. S2CID 1462022 .   
  9. ↑ بيرين، يان؛ كانالز، بنجامين؛ روجيمايل، نيكولاس (ديسمبر 2016). "انحلال واسع النطاق، طور كولوم، وأقطاب مغناطيسية أحادية في جليد مربع اصطناعي" . مجلة نيتشر . 540 (7633): 410-413 . arXiv : 1610.01316 . Bibcode : 2016Natur.540..410P . doi : 10.1038/nature20155 . ISSN 1476-4687 . PMID 27894124. S2CID 4409371 .   
  10. ↑ جوبير، إل دي سي؛ لين، تي؛ أوبل، تي إس؛ هولدسوورث، بي سي دبليو؛ جينغراس، إم جيه بي (19-05-2017). "غشاء رقيق من الجليد المغزلي: ترتيب السطح، الجليد المربع الناشئ، وتأثيرات الإجهاد" . رسائل المراجعة الفيزيائية . 118 (20) 207206. arXiv : 1608.08635 . Bibcode : 2017PhRvL.118t7206J . doi : 10.1103/ PhysRevLett.118.207206 . ISSN 0031-9007 . PMID 28581768. S2CID 118688211 .   
  11. ↑ أرو، دان م.؛ برامويل، ستيفن ت. (22-12-2020). "قياسات تجريبية لتقلبات القطاع الطوبولوجي في نموذج F" . مجلة Physical Review B. 102 ( 21) 214427. arXiv : 2010.05839 . Bibcode : 2020PhRvB.102u4427A . doi : 10.1103/PhysRevB.102.214427 . ISSN 2469-9950 . S2CID 222290448 .  
  12. ↑ نيسولي، كريستيانو (2020-11-01). "الترتيب الطوبولوجي لنموذج رايس F وانهياره في جليد الدوران المربع الواقعي: القطاعات الطوبولوجية لحلقات فاراداي" . رسائل الفيزياء الأوروبية . 132 (4) 47005. arXiv : 2004.02107 . Bibcode : 2020EL....13247005N . doi : 10.1209/0295-5075/132/47005 . ISSN 0295-5075 . S2CID 221891692 .  
  13. ↑ شانيلك، ف.؛ برون، أ.؛ هوراسيك، م.؛ كراتكي، س.؛ ميلوزين، ب.؛ شيكولا، ت.؛ كانالز، ب.؛ روجيمايل، ن. (2022-07-07). "الاقتراب من فيزياء الطاقة المنخفضة الطوبولوجية لنموذج F في شبكة مغناطيسية ثنائية الأبعاد" . رسائل المراجعة الفيزيائية . 129 (2) 027202. رمز Bibcode : 2022PhRvL.129b7202S . doi : 10.1103/PhysRevLett.129.027202 . ISSN 0031-9007 . PMID 35867462. S2CID 250378329 .   
  14. ↑ جياك، دبليو إف؛ ستاوت، ستاوت (1936). "إنتروبيا الماء والقانون الثالث للديناميكا الحرارية. السعة الحرارية للجليد من 15 إلى 273 كلفن". مجلة الجمعية الكيميائية الأمريكية . 58 (7): 1144-1150 . Bibcode : 1936JAChS..58.1144G . doi : 10.1021/ja01298a023 .
  15. ↑ ناغل، ج. ف. (1966). "إحصائيات الشبكة البلورية للبلورات المرتبطة بروابط هيدروجينية. الجزء الأول: الإنتروبيا المتبقية للجليد". مجلة الفيزياء الرياضية . 7 (8): 1484-1491 . Bibcode : 1966JMP.....7.1484N . doi : 10.1063/1.1705058 .
  16. ↑ ليب، إي إتش (1967). "الحل الدقيق لمسألة إنتروبيا الجليد ثنائي الأبعاد". رسائل المراجعة الفيزيائية . 18 (17): 692-694 . رمز Bibcode : 1967PhRvL..18..692L . doi : 10.1103/PhysRevLett.18.692 .
  17. ↑ ليب، إي إتش (1967). "الحل الدقيق لنموذج سلاتر ثنائي الأبعاد لـ KDP لمادة كهروإجهادية". رسائل المراجعة الفيزيائية . 19 (3): 108-110 . رمز Bibcode : 1967PhRvL..19..108L . doi : 10.1103/PhysRevLett.19.108 .
  18. ↑ ساذرلاند، ب. (1967). "الحل الدقيق لنموذج ثنائي الأبعاد للبلورات المرتبطة بروابط هيدروجينية". رسائل المراجعة الفيزيائية . 19 (3): 103-104 . Bibcode : 1967PhRvL..19..103S . doi : 10.1103/PhysRevLett.19.103 .
  19. 1 2 يانغ، سي بي (1967). "الحل الدقيق لنموذج ثنائي الأبعاد للبلورات المرتبطة بروابط هيدروجينية". رسائل المراجعة الفيزيائية . 19 (3): 586-588 . Bibcode : 1967PhRvL..19..586Y . doi : 10.1103/PhysRevLett.19.586 .
  20. ↑ كوريبين، ف.؛ زين-جستن، ب. (2000). "الحد الديناميكي الحراري لنموذج الرؤوس الستة مع شروط حدودية لجدار المجال". مجلة الفيزياء أ . 33 (40): 7053-7066 . arXiv : cond-mat/0004250 . Bibcode : 2000JPhA...33.7053K . doi : 10.1088/0305-4470/33/40/304 . S2CID 2143060 . 
  21. ↑ براسكامب، هـ. ج.؛ كونز، هـ.؛ وو، ف. ي. (1973). "بعض النتائج الدقيقة لنموذج الرأس في الميكانيكا الإحصائية". مجلة الفيزياء الرياضية . 14 (12): 1927-1932 . Bibcode : 1973JMP....14.1927B . doi : 10.1063/1.1666271 .

للمزيد من القراءة

  • ليب، إي إتش؛ وو، إف واي (1972)، "نماذج كهروإجهادية ثنائية الأبعاد"، في سي. دومب؛ إم إس غرين (محرران)، التحولات الطورية والظواهر الحرجة ، المجلد  1، نيويورك: أكاديميك برس، الصفحات 331-490 
  • باكستر، رودني ج. (1982)، نماذج محلولة بدقة في الميكانيكا الإحصائية (ملف PDF) ، لندن: أكاديميك برس إنك. [هاركورت بريس جوفانوفيتش للنشر]، رقم ISBN 978-0-12-083180-7، MR 0690578 ، مؤرشف من الأصل (PDF) بتاريخ 14-04-2021 ، تم استرجاعه بتاريخ 12-08-2012