وشيك

في الرياضيات، ^تم تعريف المصفوفة الداخلية بواسطة دودلي إي . ليتلوود وأرشيبالد ريد ريتشاردسون على أنها تعميم لمفهومي المحدد والدائم . [ ^{1 ]}

يترك${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )}$ليكن تجزئة لعدد صحيح${\displaystyle n}$ودع${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ليكن الطابع التمثيلي غير القابل للاختزال المقابل للمجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{n}}$. الكامن في${\displaystyle n\times n}$مصفوفة${\displaystyle A=(a_{ij})}$مرتبط بالشخصية${\displaystyle \chi _{\lambda }}$يُعرَّف بأنه التعبير

${\displaystyle \operatorname {Imm} _{\lambda }(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi _{\lambda }(\sigma )a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi _{\lambda }(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma (i)}.}$

المحدد هو حالة خاصة من المحدد الكامن، حيث${\displaystyle \chi _{\lambda }}$هو الحرف المتناوب${\displaystyle \operatorname {sgn} }$، من S _n ، المحدد بواسطة زوجية التبديل .

الحالة الدائمة هي الحالة التي${\displaystyle \chi _{\lambda }}$هو الحرف التافه ، والذي يساوي  1 تمامًا.

على سبيل المثال، لـ${\displaystyle 3\times 3}$بالنسبة للمصفوفات، هناك ثلاثة تمثيلات غير قابلة للاختزال لـ${\displaystyle S_{3}}$كما هو موضح في جدول الأحرف:

${\displaystyle S_{3}}$	${\displaystyle e}$	${\displaystyle (1\ 2)}$	${\displaystyle (1\ 2\ 3)}$
${\displaystyle \chi _{1}}$	1	1	1
${\displaystyle \chi _{2}}$	1	-1	1
${\displaystyle \chi _{3}}$	2	0	-1

كما ذكر أعلاه،${\displaystyle \chi _{1}}$ينتج عنه الدائم و${\displaystyle \chi _{2}}$ينتج المحدد، ولكن${\displaystyle \chi _{3}}$ينتج العملية التي يتم تعيينها على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\rightsquigarrow 2a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}}$

تشترك الخاصية الكامنة في العديد من الخصائص مع المحدد والثابت. على وجه الخصوص، تكون الخاصية الكامنة متعددة الخطية في صفوف وأعمدة المصفوفة؛ وتكون ثابتة تحت التبديلات المتزامنة للصفوف أو الأعمدة بواسطة نفس عنصر المجموعة المتناظرة .

قام ليتلوود وريتشاردسون بدراسة العلاقة بين الدوال الكامنة ودوال شور في نظرية تمثيل المجموعة المتناظرة .

الشروط اللازمة والكافية لكي يكون جوهر مصفوفة غرام${\displaystyle 0}$يتم تحديدها بواسطة نظرية جاماس .

تُعمم الدالة الكامنة كلاً من المحدد والدالة الدائمة ، وتنعكس هذه العمومية في الصعوبة الحسابية لتقييم هاتين الدالتين. فبينما يمكن حساب المحدد في وقت متعدد الحدود باستخدام طريقة الحذف الغاوسي، فإن حساب الدالة الدائمة لمصفوفة عامة يُعد مسألة كاملة من فئة ♯P ، حتى عند تقييدها بـ${\displaystyle 0}$–${\displaystyle 1}$المصفوفات، وهي نتيجة تعود إلى فاليانت . ^{[ 2 ]}

يتم فهرسة العناصر الكامنة بواسطة الخصائص غير القابلة للاختزال للمجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{n}}$أو بشكل مكافئ باستخدام مخططات يونغ . يعتمد التعقيد الحسابي لتقييم عنصر كامن بشكل كبير على شكل المخطط المرتبط به. أظهرت النتائج المبكرة في نظرية التعقيد الجبري أن العناصر الكامنة المقابلة للعديد من عائلات التقسيمات هي عناصر كاملة من نوع VNP بمعنى Valiant، مما يعمم صعوبة العنصر الدائم. ^{[ 3 ]}

وقد توصل كورتيكابيان إلى تصنيف أكثر دقة، حيث أثبت وجود ثنائية تعقيد كاملة لعائلات العناصر الكامنة. ^{[ 4 ]} ليكن${\displaystyle b(\lambda )}$يشير إلى عدد المربعات الموجودة على يمين العمود الأول من مخطط يونغ لتقسيم${\displaystyle \lambda }$. لو${\displaystyle b(\lambda )}$إذا كانت محدودة لمجموعة من التقسيمات، فيمكن تقييم القيم الذاتية المقابلة في وقت متعدد الحدود.${\displaystyle b(\lambda )}$إذا كانت غير محدودة، فإنه وفقًا للافتراضات القياسية من نظرية التعقيد المُعَلم، لا توجد خوارزمية ذات زمن متعدد الحدود. علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle b(\lambda )}$ينمو حجم المصفوفة بشكل متعدد الحدود، وتقييم الدوال الكامنة المقابلة لها يُعدّ مسألة صعبة من فئة ♯P ومسألة كاملة من فئة VNP ، مما يُوسّع نتائج الصعوبة الكلاسيكية للأعمال الدائمة والسابقة لبورغيسر وبريلينسكي وبريلينسكي. ^{[ 3 ] [ 5 ]} وقد عززت أعمال لاحقة هذه النتائج من خلال إظهار أن العديد من الدوال الكامنة تظل صعبة من فئة ♯P حتى عند تقييمها على فئات محدودة من المصفوفات، بما في ذلك المصفوفات الثنائية (0-1) والمدخلات ذات القيود الهيكلية مثل مصفوفات التجاور للرسوم البيانية. ^{[ 6 ]}

تشير هذه النتائج إلى أنه، باستثناء المحدد، فإن معظم الدوال الكامنة غير التافهة غير قابلة للمعالجة حسابيًا. يلعب تعقيد الدوال الكامنة دورًا في نظرية التعقيد الجبري ، ويرتبط ببرامج بحثية أوسع نطاقًا مثل نظرية التعقيد الهندسي ، حيث تُستخدم خصائص نظرية التمثيل للدوال الكامنة لدراسة الحدود الدنيا للدالة الدائمة والدوال ذات الصلة. ^{[ 5 ]}

• دي إي ليتلوود ؛ إيه آر ريتشاردسون (1934). "خصائص المجموعات والجبر" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ . 233 ( 721-730 ): 99-124 . رمز Bibcode : 1934RSPTA.233...99L . doi : 10.1098/rsta.1934.0015 .
• دي إي ليتلوود (1950). نظرية خصائص المجموعات وتمثيلات المصفوفات للمجموعات (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة أكسفورد (أعيد طبعه بواسطة الجمعية الأمريكية للرياضيات، 2006). ص  81.