نظرية الاضطراب k·p

وفقًا لميكانيكا الكم (في تقريب الإلكترون الواحد )، تتميز الإلكترونات شبه الحرة في أي مادة صلبة بدوال موجية تمثل حالات ذاتية لمعادلة شرودنغر الثابتة التالية :

${\displaystyle \left({\frac {p^{2}}{2m}}+V\right)\psi =E\psi }$

حيث p هو مؤثر الزخم الكمومي ، وV هو الجهد ، و m هي كتلة الإلكترون في الفراغ. (تتجاهل هذه المعادلة تأثير الدوران المداري ؛ انظر أدناه.)

في المواد الصلبة البلورية ، تكون V دالة دورية ، ولها نفس دورية الشبكة البلورية . تثبت نظرية بلوخ أن حلول هذه المعادلة التفاضلية يمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle \psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$

حيث k هو متجه (يسمى متجه الموجة )، و n هو مؤشر منفصل (يسمى مؤشر النطاق )، و u _{n ، k} هي دالة لها نفس الدورية مثل الشبكة البلورية.

لكل قيمة معطاة لـ n ، تُسمى الحالات المرتبطة بها نطاقًا . في كل نطاق، توجد علاقة بين متجه الموجة k وطاقة الحالة E _{_{n , k}}، تُسمى تشتت النطاق . يُعد حساب هذا التشتت أحد التطبيقات الأساسية لنظرية الاضطراب k · p .

الدالة الدورية u _{n , k} تحقق معادلة شرودنغر التالية (ببساطة، توسيع مباشر لمعادلة شرودنغر بدالة موجية من نوع بلوخ): ^{[ 1 ]}

${\displaystyle H_{\mathbf {k}}u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }}$

حيث يكون الهاميلتوني

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V}$

لاحظ أن k متجه يتكون من ثلاثة أعداد حقيقية بأبعاد تساوي طولها العكسي ، بينما p متجه من المؤثرات؛ وللتوضيح،

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} =k_{x}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}})+k_{y}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}})+k_{z}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}})}$

على أي حال، نكتب هذه الدالة الهاميلتونية كمجموع حدين:

$// {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}}$

هذا التعبير هو أساس نظرية الاضطراب . الهاميلتوني "غير المضطرب" هو H₀ _، والذي يساوي في الواقع الهاميلتوني الدقيق عند k  =  0 (أي عند النقطة غاما ). "الاضطراب" هو الحد${\displaystyle H_{\mathbf {k} }'}$يُطلق على التحليل الناتج اسم نظرية الاضطراب k·p ، نسبةً إلى الحد المتناسب مع k·p . وتتمثل نتيجة هذا التحليل في تعبير عن E _{_{n , k}} و u _{_{n , k}} بدلالة الطاقات والدوال الموجية عند k  =  0.

لاحظ أن مصطلح "الاضطراب"${\displaystyle H_{\mathbf {k} }'}$يتناقص حجم k تدريجيًا كلما اقتربت قيمة k من الصفر. لذا، تكون نظرية الاضطراب k·p أكثر دقةً عند القيم الصغيرة لـ k . مع ذلك، إذا أُضيفت حدود كافية إلى متسلسلة الاضطراب ، فإن النظرية قد تكون دقيقةً إلى حد معقول لأي قيمة لـ k في منطقة بريلوين بأكملها .

بالنسبة لحزمة غير متدهورة (أي حزمة لها طاقة مختلفة عند k  =  0 عن أي حزمة أخرى)، مع قيمة قصوى عند k  =  0، وبدون اقتران الدوران المداري ، فإن نتيجة نظرية الاضطراب k · p هي (إلى أدنى رتبة غير تافهة ): ^{[ 1 ]}

${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m}}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{n',0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n,0}\rangle {E_{n,0}-E_{n',0}}}u_{n',0}}$

$// {ص} |u_{n',0}\rangle |^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}}}$

بما أن k عبارة عن متجه من الأعداد الحقيقية (بدلاً من متجه من المؤثرات الخطية الأكثر تعقيدًا)، يمكن إعادة كتابة عنصر المصفوفة في هذه التعبيرات على النحو التالي:

${\displaystyle \langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle =\mathbf {k} \cdot \langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }$

لذلك، يمكن حساب الطاقة عند أي قيمة k باستخدام عدد قليل من المعاملات المجهولة، وهي E _{n ,0} و${\displaystyle \langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }$تُسمى هذه الأخيرة "عناصر المصفوفة البصرية"، وهي مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بعزوم ثنائي القطب الانتقالي . وعادةً ما يتم استنتاج هذه المعلمات من البيانات التجريبية.

عمليًا، غالبًا ما يشمل المجموع على n نطاقًا واحدًا أو نطاقين فقط، نظرًا لأهميتهما (بسبب المقام). مع ذلك، لتحسين الدقة، خاصةً عند قيم k الكبيرة ، يجب تضمين نطاقات أكثر، بالإضافة إلى حدود أكثر في التوسع الاضطرابي من تلك المذكورة أعلاه.

وبإضافة تفاعل الدوران المداري ، تكون معادلة شرودنغر لـ u هي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }}$

حيث ^{[ 7 ]}

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar }{m}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times (\mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma }}}$

أين${\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$هو متجه يتكون من مصفوفات باولي الثلاث . يمكن إخضاع هذا الهاميلتوني لنفس نوع تحليل نظرية الاضطراب المذكور أعلاه.

بالنسبة للنطاقات المتدهورة أو شبه المتدهورة، ولا سيما نطاقات التكافؤ في بعض المواد مثل زرنيخيد الغاليوم ، يمكن تحليل المعادلات باستخدام طرق نظرية الاضطراب المتدهور . ^{[ 1 ] [ 2 ]} تشمل نماذج هذا النوع " نموذج لوتينجر-كون " (المعروف أيضًا باسم "نموذج كون-لوتينجر")، ^{[ 8 ]} و" نموذج كين ". ^{[ 7 ]}

بشكل عام، هاميلتوني فعال${\displaystyle H^{\rm {eff}}}$يتم تقديمها، ويمكن التعبير عن عناصر مصفوفتها، من الدرجة الأولى، على النحو التالي:

${\displaystyle H_{\mathbf {k} ,mn}^{\rm {eff}}=\langle u_{m,0}|H_{0}|u_{n,0}\rangle +\mathbf {k} \cdot \langle u_{m,0}|\nabla _{\mathbf {k} }H_{\mathbf {k} }'|u_{n,0}\rangle }$

بعد حلها، يتم الحصول على الدوال الموجية ونطاقات الطاقة.