طريقة ماكورماك

في ديناميكا الموائع الحسابية ، تُعدّ طريقة ماكورماك (MacCormack) من أكثر طرق التقطيع استخدامًا لحلّ المعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية عدديًا. وقد طوّر روبرت دبليو ماكورماك هذه الطريقة من الدرجة الثانية للفروق المحدودة عام ١٩٦٩. ^{[ ١ ]} تتميز طريقة ماكورماك ببساطتها وسهولة فهمها وبرمجتها. ^{[ ٢ ]}

صُممت طريقة ماكورماك لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية من الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial f(u)}{\partial x}}=0}$

لتحديث هذه المعادلة خطوة زمنية واحدة${\displaystyle \Delta t}$على شبكة ذات مسافات${\displaystyle \Delta x}$في خلية الشبكة${\displaystyle i}$، تستخدم طريقة ماكورماك "خطوة تنبؤ" و "خطوة تصحيح"، كما هو موضح أدناه ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&u_{i}^{p}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left(f_{i+1}^{n}-f_{i}^{n}\right)\\&u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{p})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(f_{i}^{p}-f_{i-1}^{p})\end{aligned}}}$

لتوضيح الخوارزمية، ضع في اعتبارك المعادلة القطعية من الدرجة الأولى التالية

${\displaystyle \qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}$

يتم تطبيق طريقة ماكورماك على المعادلة المذكورة أعلاه في خطوتين؛ خطوة تنبؤية تليها خطوة تصحيحية .

خطوة التنبؤ: في خطوة التنبؤ، يتم استخدام قيمة "مؤقتة" لـ${\displaystyle u}$على مستوى الوقت${\displaystyle n+1}$(يرمز إليه بـ${\displaystyle u_{i}^{p}}$يتم تقدير ) على النحو التالي

${\displaystyle u_{i}^{p}=u_{i}^{n}-a{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left(u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}\right)}$

تم الحصول على المعادلة أعلاه عن طريق استبدال المشتقات المكانية والزمانية في معادلة القطع الزائد من الدرجة الأولى السابقة باستخدام الفروق الأمامية .

خطوة التصحيح: في خطوة التصحيح، القيمة المتوقعة${\displaystyle u_{i}^{p}}$يتم تصحيحها وفقًا للمعادلة

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n+1/2}-a{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i}^{p}-u_{i-1}^{p}\right)}$

لاحظ أن خطوة التصحيح تستخدم تقريبات الفروق المحدودة العكسية للمشتقة المكانية. الخطوة الزمنية المستخدمة في خطوة التصحيح هي${\displaystyle \Delta t/2}$على النقيض من${\displaystyle \Delta t}$يُستخدم في خطوة التنبؤ.

استبدال${\displaystyle u_{i}^{n+1/2}}$المصطلح بواسطة المتوسط ​​الزمني

${\displaystyle u_{i}^{n+1/2}={\frac {u_{i}^{n}+u_{i}^{p}}{2}}}$

للحصول على خطوة التصحيح كـ

${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {u_{i}^{n}+u_{i}^{p}}{2}}-a{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i}^{p}-u_{i-1}^{p}\right)}$

• طريقة لاكس-ويندروف
• مخطط الريح المعاكسة
• المعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية