فجوة الكتلة

في نظرية الحقل الكمومي ، تُعرف فجوة الكتلة بأنها الفرق في الطاقة بين أدنى حالة طاقة ، وهي الفراغ، وحالة الطاقة التي تليها مباشرة. طاقة الفراغ تساوي صفرًا بحكم التعريف، وبافتراض أن جميع حالات الطاقة يمكن اعتبارها جسيمات في موجات مستوية، فإن فجوة الكتلة هي كتلة أخف جسيم.

بما أن طاقات حالات الطاقة الذاتية الدقيقة (أي غير المضطربة) منتشرة وبالتالي فهي ليست حالات ذاتية من الناحية الفنية، فإن التعريف الأكثر دقة هو أن فجوة الكتلة هي الحد الأدنى الأكبر لطاقة أي حالة متعامدة مع الفراغ.

ينشأ نظير فجوة الكتلة في فيزياء الأجسام المتعددة على شبكة منفصلة من هاميلتوني ذي فجوة .

بالنسبة لحقل كمومي ذي قيمة حقيقية معينة${\displaystyle \phi (x)}$، أين${\displaystyle x=({\boldsymbol {x}},t)}$يمكننا القول إن النظرية تحتوي على فجوة في الكتلة إذا كانت دالة النقطتين تتمتع بالخاصية التالية:

$${\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}$$

مع${\displaystyle \Delta _{0}>0}$كونها أدنى قيمة طاقة في طيف الهاميلتوني، وبالتالي فجوة الكتلة. هذه الكمية، التي يسهل تعميمها على مجالات أخرى، هي ما يُقاس عادةً في حسابات الشبكة. وقد ثبت بهذه الطريقة أن نظرية يانغ-ميلز تُظهر فجوة كتلة على الشبكة. ^{[ 1 ] [ 2 ]} القيمة المقابلة المرتبة زمنيًا، أي المُوَصِّل ، ستكون لها الخاصية التالية:

$${\displaystyle \lim _{p\rightarrow 0}\Delta (p)=\mathrm {constant} }$$

مع كون الثابت محدودًا. ومن الأمثلة النموذجية على ذلك الجسيم الحر ذو الكتلة، وفي هذه الحالة، يكون للثابت قيمة 1/ m² ^. وفي الحالة نفسها، يكون مُوَصِّل الجسيم عديم الكتلة شاذًا.

يُمكن ملاحظة مثال على فجوة الكتلة التي تنشأ في النظريات عديمة الكتلة، حتى على المستوى الكلاسيكي، في الانكسار التلقائي للتناظر أو آلية هيغز . في الحالة الأولى، يجب التعامل مع ظهور إثارات عديمة الكتلة، وهي بوزونات غولدستون ، التي تُزال في الحالة الثانية بسبب حرية القياس . ويحافظ التكميم على خاصية حرية القياس هذه.

تُظهر نظرية الحقل القياسي عديم الكتلة من الدرجة الرابعة فجوة في الكتلة حتى على المستوى الكلاسيكي . لننظر في المعادلة

$${\displaystyle \Box \phi +\lambda \phi ^{3}=0.}$$

لهذه المعادلة حل دقيق

$${\displaystyle \phi (x)=\mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{\frac {1}{4}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,-1\right)}$$ -أين${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \theta }$هي ثوابت التكامل، و sn هي دالة جاكوبي الإهليلجية — بشرط

$${\displaystyle p^{2}=\mu ^{2}{\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}.}$$

على المستوى الكلاسيكي، تظهر فجوة في الكتلة، بينما على المستوى الكمومي، يكون لدينا سلسلة من الإثارات ، وتُحفظ هذه الخاصية للنظرية بعد التكميم في حالة اقتراب الزخم من الصفر. ^{[ 3 ]}

رغم أن حسابات الشبكة تشير إلى أن نظرية يانغ-ميلز تتضمن بالفعل فجوة كتلة وسلسلة من الإثارات، إلا أن البرهان النظري لا يزال مفقودًا. هذه إحدى مسائل معهد كلاي للألفية ، ولا تزال مسألة مفتوحة. ينبغي أن تكون هذه الحالات في نظرية يانغ-ميلز حالات فيزيائية، تُسمى كرات الغلوون ، وأن تكون قابلة للملاحظة في المختبر.

إذا كان تمثيل كالين-ليمان الطيفي صحيحًا، وفي هذه المرحلة نستبعد نظريات القياس ، فإن دالة الكثافة الطيفية يمكن أن تأخذ شكلًا بسيطًا للغاية مع طيف منفصل يبدأ بفجوة كتلة

$${\displaystyle \rho (\mu ^{2})=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}\delta (\mu ^{2}-m_{n}^{2})+\rho _{c}(\mu ^{2})}$$

كون${\displaystyle \rho _{c}(\mu ^{2})}$مساهمة الجزء متعدد الجسيمات من الطيف. في هذه الحالة، سيأخذ المولد الشكل البسيط التالي

$${\displaystyle \Delta (p)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {Z_{n}}{p^{2}-m_{n}^{2}+i\epsilon }}+\int _{4m_{N}^{2}}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2}){\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }}}$$

كون${\displaystyle 4m_{N}^{2}}$تقريبًا نقطة البداية لقطاع الجسيمات المتعددة. الآن، باستخدام حقيقة أن

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})=1}$$

نتوصل إلى الاستنتاج التالي فيما يتعلق بالثوابت في الكثافة الطيفية

$${\displaystyle 1=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}+\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2})}$$.

لا يمكن أن يكون هذا صحيحًا في نظرية القياس . بل يجب إثبات أن تمثيل كالين-ليمان للمُوَصِّل ينطبق أيضًا على هذه الحالة. غياب مساهمات الجسيمات المتعددة يعني أن النظرية تافهة ، إذ لا تظهر أي حالات مُقيدة فيها، وبالتالي لا يوجد تفاعل، حتى لو كانت النظرية تحتوي على فجوة كتلة. في هذه الحالة، لدينا مباشرةً المُوَصِّل بمجرد وضع${\displaystyle \rho _{c}(\mu ^{2})=0}$في الصيغ أعلاه.

• نظرية كولمان-ماندولا
• نظرية المجال القياسي

• سادون، لورينزو. يانغ-ميلز وفجوة الكتلة. محاضرة فيديو توضح طبيعة مشكلة فجوة الكتلة ضمن صياغة يانغ-ميلز. مؤرشفة بتاريخ 5 نوفمبر 2020 على موقع Wayback Machine.
• فجوات الكتلة لنظريات الحقول القياسية على موقع Dispersive Wiki
• "محاضرة مكتوبة حول مشكلة فجوة الكتلة في نظرية يانغ-ميلز الكمومية ثلاثية الأبعاد" . يوتيوب . فرانسيس فيلاتورو. 1 أغسطس 2012.