النموذج الأدنى (الفيزياء)

في النماذج الدنيا، تأخذ الشحنة المركزية لجبر فيراسورو قيمًا من النوع

${\displaystyle c_{p,q}=1-6{(p-q)^{2} \over pq}\ .}$

أين${\displaystyle p,q}$هي أعداد صحيحة أولية فيما بينها بحيث${\displaystyle p,q\geq 2}$ثم تكون الأبعاد المطابقة للتمثيلات المنحلة هي

${\displaystyle h_{r,s}={\frac {(pr-qs)^{2}-(p-q)^{2}}{4pq}}\ ,\quad {\text{with}}\ r,s\in \mathbb {N} ^{*}\ ,}$

وهم يطيعون الهويات

${\displaystyle h_{r,s}=h_{q-r,p-s}=h_{r+q,s+p}\ .}$

تتكون أطياف النماذج الدنيا من تمثيلات غير قابلة للاختزال، ومتدهورة، ذات وزن أدنى لجبر فيراسورو، والتي تكون أبعادها المطابقة من النوع${\displaystyle h_{r,s}}$مع

${\displaystyle 1\leq r\leq q-1\quad ,\quad 1\leq s\leq p-1\ .}$

مثل هذا التمثيل${\displaystyle {\mathcal {R}}_{r,s}}$هي مجموعة مشاركة لوحدة فيرما بواسطة عدد لا نهائي من وحداتها الفرعية غير التافهة. وهي وحدوية إذا وفقط إذا${\displaystyle |p-q|=1}$عند فرض رسوم مركزية معينة، هناك${\displaystyle {\frac {1}{2}}(p-1)(q-1)}$تمثيلات مميزة من هذا النوع. تُسمى مجموعة هذه التمثيلات، أو مجموعة أبعادها المطابقة، جدول كاكس ذي المعاملات${\displaystyle (p,q)}$عادةً ما يتم رسم جدول كاكس على شكل مستطيل بحجم${\displaystyle (q-1)\times (p-1)}$حيث يظهر كل تمثيل مرتين بسبب العلاقة

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{r,s}={\mathcal {R}}_{q-r,p-s}\ .}$

قواعد دمج التمثيلات المتعددة المنحلة${\displaystyle {\mathcal {R}}_{r,s}}$تُشفّر القيود من جميع متجهاتها الصفرية. وبالتالي، يمكن استنتاجها من قواعد دمج التمثيلات المنحلة البسيطة، التي تُشفّر القيود من المتجهات الصفرية الفردية. ^{[ 2 ]} وبشكل صريح، فإن قواعد الدمج هي

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{r_{1},s_{1}}\times {\mathcal {R}}_{r_{2},s_{2}}=\sum _{r_{3}{\overset {2}{=}}|r_{1}-r_{2}|+1}^{\min(r_{1}+r_{2},2q-r_{1}-r_{2})-1}\ \sum _{s_{3}{\overset {2}{=}}|s_{1}-s_{2}|+1}^{\min(s_{1}+s_{2},2p-s_{1}-s_{2})-1}{\mathcal {R}}_{r_{3},s_{3}}\ ,}$

حيث تتم عمليات الجمع بزيادات قدرها اثنان.

لأي عددين صحيحين أوليين فيما بينهما${\displaystyle p,q}$بحيث${\displaystyle p,q\geq 2}$، يوجد نموذج قطري أدنى يحتوي طيفه على نسخة واحدة من كل تمثيل مميز في جدول Kac:

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{A-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{r=1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .}$

ال${\displaystyle (p,q)}$و${\displaystyle (q,p)}$النماذج متطابقة.

تتضمن عملية الدمج بين حقلين جميع الحقول المسموح بها بموجب قواعد الدمج للتمثيلات المقابلة.

نموذج مصغر من سلسلة D مع الشحنة المركزية${\displaystyle c_{p,q}}$موجود إذا${\displaystyle p}$أو${\displaystyle q}$هو زوجي وعلى الأقل${\displaystyle 6}$باستخدام التناظر${\displaystyle p\leftrightarrow q}$ نفترض أن${\displaystyle q}$إذا كان زوجيًا، فإذن${\displaystyle p}$هذا غريب. الطيف

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 0\operatorname {mod} 4,\ q\geq 8}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}2}^{q-2}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 2\operatorname {mod} 4,\ q\geq 6}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,}$

حيث المجموع على${\displaystyle r}$يتم تشغيلها بزيادات قدرها اثنان. في أي طيف معين، يكون لكل تمثيل تعددية واحدة، باستثناء تمثيلات النوع${\displaystyle {\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}}$لو${\displaystyle q\equiv 2\ \mathrm {mod} \ 4}$والتي لها تعدد اثنين. تظهر هذه التمثيلات بالفعل في كلا الحدين في صيغتنا للطيف.

تتضمن عملية الدمج (OPE) لحقلين جميع الحقول المسموح بها وفقًا لقواعد دمج التمثيلات المقابلة، والتي تحافظ على خاصية القطرية : ينتج عن عملية الدمج لحقل قطري واحد وحقل غير قطري واحد حقول غير قطرية فقط، بينما ينتج عن عملية الدمج لحقلين من النوع نفسه حقول قطرية فقط. ^{[ 4 ]} وفقًا لهذه القاعدة، نسخة واحدة من التمثيل${\displaystyle {\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}}$ تُعتبر النسخة قطرية، والنسخة الأخرى غير قطرية.

توجد ثلاث سلاسل من النماذج الدنيا من سلسلة E. كل سلسلة موجودة لقيمة معينة من${\displaystyle q\in \{12,18,30\},}$لأي${\displaystyle p\geq 2}$وهو عدد أولي مشترك مع${\displaystyle q}$(هذا يعني في الواقع${\displaystyle p\geq 5}$باستخدام الترميز${\displaystyle |{\mathcal {R}}|^{2}={\mathcal {R}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}}$، وكانت قراءة الأطياف كالتالي:

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,12}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{1,s}\oplus {\mathcal {R}}_{7,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{4,s}\oplus {\mathcal {R}}_{8,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{5,s}\oplus {\mathcal {R}}_{11,s}\right|^{2}\right\}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,18}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{9,s}\oplus 2{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\ominus 4\left|{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\oplus \bigoplus _{r\in \{1,5,7\}}\left|{\mathcal {R}}_{r,s}\oplus {\mathcal {R}}_{18-r,s}\right|^{2}\right\}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,30}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|\bigoplus _{r\in \{1,11,19,29\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\oplus \left|\bigoplus _{r\in \{7,13,17,23\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\right\}\ .}$

النموذج الأدنى من سلسلة A مع المؤشرات${\displaystyle (p,q)}$يتطابق مع المجموعة المشاركة التالية من نماذج WZW : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\frac {SU(2)_{k}\times SU(2)_{1}}{SU(2)_{k+1}}}\ ,\quad {\text{where}}\quad k={\frac {q}{p-q}}-2\ .}$

بافتراض${\displaystyle p>q}$المستوى${\displaystyle k}$يكون عددًا صحيحًا إذا وفقط إذا${\displaystyle p=q+1}$أي إذا وفقط إذا كان النموذج الأدنى أحاديًا.

توجد تجليات أخرى لبعض النماذج الدنيا، قطرية كانت أم لا، كمجموعات مشاركة لنماذج WZW، وليست بالضرورة قائمة على المجموعة${\displaystyle SU(2)}$[ ^{2 ]​}

لأي رسوم مركزية${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$، هناك نظرية حقل توافقي قطري يتكون طيفه من جميع التمثيلات المنحلة،

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\bigoplus _{r,s=1}^{\infty }{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .}$

عندما تميل الشحنة المركزية إلى${\displaystyle c_{p,q}}$تميل النماذج الدنيا المعممة إلى النموذج الأدنى المقابل من سلسلة A. ^{[ 8 ]} وهذا يعني على وجه الخصوص أن التمثيلات المنحلة التي لا توجد في جدول Kac تنفصل.

بما أن نظرية ليوفيل تختزل إلى نموذج أدنى معمّم عندما تُعتبر الحقول متحللة، ^{[ 8 ]} فإنها تختزل كذلك إلى نموذج أدنى من سلسلة A عندما تُرسل الشحنة المركزية إلى${\displaystyle c_{p,q}}$.

علاوة على ذلك، فإن النماذج الدنيا من السلسلة A لها حد محدد جيدًا كما${\displaystyle c\to 1}$نظرية الحقل المطابق القطري ذات الطيف المتصل تسمى نظرية رونكل-واتس، ^{[ 9 ]} والتي تتطابق مع حد نظرية ليوفيل عندما${\displaystyle c\to 1^{+}}$[ ^{10 ]​}

توجد ثلاث حالات لنماذج مبسطة ناتجة عن نموذجين مبسطين. ^{[ 11 ]} وعلى مستوى أطيافها، تكون العلاقات كالتالي:

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{3,10}^{\text{D-series}}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{3,4}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{5,12}^{\text{E-series}}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,7}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{7,30}^{\text{E-series}}\ .}$

لو${\displaystyle q\equiv 0{\bmod {4}}}$، سلسلة A وسلسلة D${\displaystyle (p,q)}$لكل نموذج من النماذج الدنيا امتداد فرميوني. يتضمن هذان الامتدادان الفرميونيان حقولاً ذات لفات نصفية صحيحة، وهما مرتبطان ببعضهما البعض من خلال عملية إزاحة التكافؤ. ^{[ 12 ]}