المدة (التمويل)

طُرح مفهوم المدة الزمنية من قِبل فريدريك ماكولاي في دراسة أجراها المكتب الوطني للبحوث الاقتصادية عام ١٩٣٨. وقد عرّف المتوسط ​​المرجح زمنيًا للقيم الحالية للتدفقات النقدية، واستخدمه لتلخيص توقيت السندات وحساسيتها لسعر الفائدة. ^{[ ١ ]} وفي مجال الدراسات الاكتوارية، ربط فرانك ريدينغتون المدة الزمنية بالتحصين ، وأضاف التحدب لتحسين الحماية من التقلبات الكبيرة في العوائد. ^{[ ٢ ]}

في ظل هيكل آجال أسعار الفائدة، يحافظ خصم كل دفعة بسعرها الفوري على ترجيح القيمة الحالية، ويوفر تحوطًا من الدرجة الأولى ضد أي تحول طفيف متوازٍ لمنحنى الصفر. هذه هي صيغة فيشر-ويل . ^{[ 3 ]} ولمعالجة التحركات غير المتوازية، يُبلغ الممارسون عن الحساسيات الموضعية عند آجال استحقاق مختارة باستخدام مدد أسعار الفائدة الرئيسية . وتؤدي خصائص الخيارات إلى مدة فعالة أو معدلة حسب الخيارات، تُقدر من خلال تحولات طفيفة في منحنى نموذج التسعير مع ثبات هامش الربح المعدل حسب الخيارات . وتُعد هذه الاستخدامات معيارية في منهجيات المؤشرات والتقارير. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

في النصوص الحديثة، قد يحمل مصطلح "المدة" معاني مختلفة ولكنها مترابطة. مدة ماكولاي هي متوسط ​​الوقت المرجح بالقيمة الحالية حتى السداد. أما المدة المعدلة فهي النسبة المئوية للتغير في السعر نتيجة لتغير طفيف في العائد المعلن والفائدة المركبة. ومدة النقود أو الدولار هي${\displaystyle P\times D_{\text{mod}}}$تُعبّر DV01 و PV01 و PVBP عن تغير السعر لكل نقطة أساس. في سوق السندات الحكومية البريطانية، يُطلق على المدة المعدلة غالبًا اسم "التقلب" في أدلة المؤشرات ونشرات الحقائق. ^{[ 6 ] [ 5 ] [ 7 ]}

تخيل لوحًا خشبيًا طويلًا موضوعًا على خط زمني يبدأ اليوم. كل تدفق نقدي مستقبلي يُمثل ثقلًا صغيرًا موضوعًا على اللوح في وقت حدوث التدفق. الأوزان الأثقل تُقابل تدفقات نقدية ذات قيم حالية أكبر . إذا حركت دعامة واحدة أسفل اللوح حتى تصل إلى نقطة توازن النظام، فإن نقطة التوازن هذه تُمثل المركز الزمني لجميع الأوزان.

إذا تركز معظم الوزن في الجزء البعيد من اللوح، فإن نقطة التوازن تقع بعيدًا عن الوضع الحالي، ويكون السند أكثر حساسية لتغيرات العائد. أما إذا تركز الوزن بالقرب من البداية من خلال كوبونات عالية أو آجال استحقاق قصيرة، فإن نقطة التوازن تتحرك نحو الداخل، وتقل الحساسية. يتوافق هذا المركز الزمني مع مدة ماكولاي.

الآن، قم بإمالة الأرض بمقدار ضئيل جدًا. سينخفض ​​اللوح قليلًا، وبالنسبة لهذا الميل الطفيف، يكون الانخفاض الرأسي عند نقطة التوازن متناسبًا تقريبًا مع الميل. تعكس هذه الاستجابة المتناسبة مدة العقد المعدلة، مما يُعطي التغير الأساسي في السعر مقابل تغير طفيف في العائد.

مع زيادة الميل، لا تبقى الحركة متناسبة لأن اللوح يتبع منحنى. يفسر الانحناء الإضافي في الاستجابة التحدب ، ويوضح سبب أهمية الحد من الدرجة الثانية في تحركات العائد الكبيرة أو في أنماط التدفق النقدي التي تجعل المنحنى أكثر وضوحًا.

إذا لم يكن ميل الأرض منتظمًا، بل ارتفع أو انخفض خلال سنوات محددة، فإن أجزاءً مختلفة من اللوح الخشبي تتحرك بمقادير متفاوتة. تتوافق هذه الصورة مع التحولات في هيكل آجال الاستحقاق، وتحفز استخدام مقاييس مثل مدة فيشر-ويل ومدد أسعار الفائدة الرئيسية، حيث تعتمد الحساسية على آجال الاستحقاق التي تتحرك.

• سندات بدون قسيمة

افترض النضج${\displaystyle T=3}$سنوات وعائدات${\displaystyle y=5\%}$مع احتساب الفائدة المركبة السنوية (${\displaystyle m=1}$). ثم $${\displaystyle D_{\text{Mac}}=T=3,\qquad D_{\text{mod}}={\frac {T}{1+y/m}}={\frac {3}{1+0.05}}\approx 2.857\,.}$$ تغيير في العائد بمقدار 25 نقطة أساس (${\displaystyle \Delta y=0.0025}$) يعطي $${\displaystyle {\frac {\Delta P}{P}}\approx -\,D_{\text{mod}}\,\Delta y\approx -\,2.857\times 0.0025\approx -\,0.71\%\,.}$$

• سندات ذات قسائم متساوية

لنفترض سندًا لمدة عامين بعائد سنوي قدره 5% وقسيمة.${\displaystyle y=6\%}$(التراكم السنوي). القيم الحالية للتدفقات النقدية: $${\displaystyle \mathrm {PV} _{1}={\frac {5}{1.06}}\approx 4.717,\qquad \mathrm {PV} _{2}={\frac {105}{1.06^{2}}}\approx 93.450\,.}$$ أوزان السعر والتدفق النقدي: $${\displaystyle P=\mathrm {PV} _{1}+\mathrm {PV} _{2}\approx 98.167,\qquad w_{1}={\frac {\mathrm {PV} _{1}}{P}}\approx 0.048,\quad w_{2}={\frac {\mathrm {PV} _{2}}{P}}\approx 0.952\,.}$$ مدة عرض فيلم ماكولاي: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}=1\cdot w_{1}+2\cdot w_{2}\approx 1\cdot 0.048+2\cdot 0.952\approx 1.952\,.}$$ المدة المعدلة: $${\displaystyle D_{\text{mod}}={\frac {D_{\text{Mac}}}{1+y}}={\frac {1.952}{1.06}}\approx 1.842\,.}$$ ارتفاع العائد بمقدار 50 نقطة أساس (${\displaystyle \Delta y=0.005}$) يعني $${\displaystyle {\frac {\Delta P}{P}}\approx -\,D_{\text{mod}}\,\Delta y\approx -\,1.842\times 0.005\approx -\,0.92\%\,.}$$

عندما لا يكون هيكل المدة ثابتًا، فإن خصم كل دفعة بمعدلها الخاص ذي القسيمة الصفرية يحافظ على فكرة الترجيح في إحصائية ماكولاي ويؤدي إلى تحسين فيشر-ويل للتحولات المتوازية لمنحنى المعدل الصفري. يتم تحليل التحركات غير المتوازية باستخدام مدد المعدلات الرئيسية في أقسام لاحقة. ^{[ 4 ]}

إذا كان التسعير يستخدم معدلًا مركبًا مستمرًا${\displaystyle r}$، ثم $${\displaystyle P(r)\;=\;\sum _{i=1}^{n}C_{i}\,\mathrm {e} ^{-rt_{i}},\qquad {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} r}}\;=\;-\,\sum _{i=1}^{n}t_{i}\,C_{i}\,\mathrm {e} ^{-rt_{i}}.}$$ مع الأوزان${\displaystyle w_{i}(r)=C_{i}\,\mathrm {e} ^{-rt_{i}}/P(r)}$، $${\displaystyle D_{mod}(r)=-\,{\frac {1}{P(r)}}\,{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} r}}\;=\;\sum _{i}t_{i}\,w_{i}(r)\;=\;D_{\text{Mac}}.}$$ وهكذا تتطابق مدة التعديل ومدة ماكولاي في ظل التركيب المستمر. ^{[ 8 ]}

عندما لا يكون هيكل المدة ثابتًا، يتم خصم كل تدفق نقدي بمعدل الكوبون الصفري الخاص به.${\displaystyle z(t)}$. من أجل إزاحة متوازية${\displaystyle a}$إلى منحنى الصفر، $${\displaystyle P(a)\;=\;\sum _{i=1}^{n}C_{i}\exp \!{\Bigl (}-\!\int _{0}^{t_{i}}[z(u)+a]\,\mathrm {d} u{\Bigr )}\;=\;\sum _{i=1}^{n}C_{i}\,\mathrm {e} ^{-at_{i}}\,\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{t_{i}}z(u)\,\mathrm {d} u}.}$$ حدد القيم المخفضة الفورية${\displaystyle {\widetilde {\mathrm {PV} }}_{i}=C_{i}\,\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{t_{i}}z(u)\,\mathrm {d} u}}$والأوزان${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}={\widetilde {\mathrm {PV} }}_{i}/P(0)}$التمايز عند${\displaystyle a=0}$أعطِ $${\displaystyle -\,{\frac {1}{P(0)}}\,{\frac {\partial P}{\partial a}}{\Big |}_{a=0}\;=\;{\frac {\sum _{i}t_{i}\,{\widetilde {\mathrm {PV} }}_{i}}{\sum _{i}{\widetilde {\mathrm {PV} }}_{i}}}\;=\;\sum _{i}t_{i}\,{\tilde {w}}_{i}\;=\;D_{\text{FW}},}$$ مدة فيشر-ويل، التي تحافظ على ترجيح القيمة الحالية مع هيكل زمني كامل. ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle {\text{Money duration}}\;=\;P\times D_{\text{mod}},\qquad {\text{DV01}}\;=\;{\text{PVBP}}\;=\;P\times D_{\text{mod}}\times 10^{-4}.}$$ تُستخدم هذه الهويات على نطاق واسع في إعداد التقارير الخاصة بالمحافظ الاستثمارية وفي الأنظمة واللوائح التنظيمية. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

بالنسبة للتدفقات النقدية الثابتة والإيجابية:

• تزداد مدة الاستحقاق مع تاريخ الاستحقاق النهائي، وتنخفض مع ارتفاع العائد.
• تؤدي القسائم ذات القيمة الأعلى إلى تقصير مدة الاستحقاق مقارنةً بالقسائم ذات القيمة الصفرية التي لها نفس مدة الاستحقاق.
• مدة المحفظة هي المتوسط ​​المرجح بالقيمة الحالية لمدد مكوناتها:

$${\displaystyle D_{\text{port}}={\dfrac {\sum _{j}P_{j}D_{j}}{\sum _{j}P_{j}}}\,.}$$ مقابل تغيير طفيف في المحصول${\displaystyle \Delta y}$،${\displaystyle \Delta P/P\approx -D_{\text{mod}}\,\Delta y}$[ ^{4 ]​}

لنفترض أن التدفقات النقدية هي${\displaystyle C_{i}}$في بعض الأحيان${\displaystyle t_{i}}$(سنين)،${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$اكتب القيم الحالية${\displaystyle \mathrm {PV} _{i}}$والسعر${\displaystyle P}$مثل $${\displaystyle P\;=\;\sum _{i=1}^{n}\mathrm {PV} _{i},\qquad \mathrm {PV} _{i}\;=\;C_{i}\,(1+y/m)^{-mt_{i}}.}$$ حدد الأوزان${\displaystyle w_{i}=\mathrm {PV} _{i}/P}$، والتي مجموعها يساوي واحدًا. مدة ماكولي هي $${\displaystyle D_{\text{Mac}}\;=\;\sum _{i=1}^{n}t_{i}\,w_{i}\;=\;{\frac {\sum _{i=1}^{n}t_{i}\,\mathrm {PV} _{i}}{\sum _{i=1}^{n}\mathrm {PV} _{i}}}.}$$

بالنسبة للأدوات ذات التدفقات النقدية الثابتة والإيجابية والفترات الزمنية${\displaystyle t_{1}\leq \cdots \leq t_{n}}$، $${\displaystyle t_{1}\;\leq \;D_{\text{Mac}}\;\leq \;t_{n},}$$ لا يتحقق التساوي إلا عند وجود دفعة واحدة. وبالتالي، فإن سندًا بدون فوائد يستحق في${\displaystyle T}$لديه${\displaystyle D_{\text{Mac}}=T}$بينما يمتلك السند ذو القسيمة الثابتة${\displaystyle D_{\text{Mac}}}$^{[ 4 ] [ 6 ]}​

بموجب عائد حتى تاريخ الاستحقاق المعلن${\displaystyle y}$مركب${\displaystyle m}$مرات في السنة، $${\displaystyle D_{\text{mod}}\;=\;{\frac {D_{\text{Mac}}}{\,1+y/m\,}},}$$ وهذا يربط مفهوم المتوسط ​​الزمني بحساسية السعر من الدرجة الأولى المستخدمة في التحوط. إذا كان الخصم يستخدم أسعار الصرف الفورية${\displaystyle z(t)}$عند كل استحقاق، يعطي نفس الشكل المتوسط ​​المرجح مع القيم الحالية المخصومة بالسعر الفوري مدة فيشر-ويل؛ عندما يكون المنحنى مسطحًا وتتطابق الاصطلاحات، فإنه يساوي${\displaystyle D_{\text{Mac}}}$[ ^{8 ] [ 3 ] [ 4 ]​}

يُحسب متوسط ​​العمر المرجح باستخدام قيمة رأس المال فقط دون خصم، بينما يُحسب متوسط ​​مدة ماكولي باستخدام القيمة الحالية ويشمل كلاً من الكوبونات ورأس المال. في حالة القروض ذات الفائدة فقط أو القروض ذات الدفعات الثابتة الصغيرة، قد يكون الرقمان متقاربين، إلا أنهما يختلفان عمومًا لأن مدة القرض تعكس الخصم وتوقيت الكوبونات. ^{[ 6 ] [ 4 ]}

عندما يتم التعبير عن الناتج بالتركيب المستمر بمعدل${\displaystyle r}$، مدة ماكولي تساوي المدة المعدلة: $${\displaystyle P(r)\;=\;\sum _{i=1}^{n}C_{i}\,\mathrm {e} ^{-rt_{i}},\qquad -\,{\frac {1}{P(r)}}\,{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} r}}\;=\;\sum _{i=1}^{n}t_{i}\,{\frac {C_{i}\,\mathrm {e} ^{-rt_{i}}}{P(r)}}\;=\;D_{\text{Mac}}\,,}$$ لذلك في ظل التركيب المستمر${\displaystyle D_{\text{mod}}=D_{\text{Mac}}}$[ ^{8 ]​}

في معظم الأسواق، يتم تحديد العوائد باستخدام${\displaystyle m}$فترات التراكم السنوية. مع${\displaystyle y}$العائد الاسمي حتى تاريخ الاستحقاق و${\displaystyle P(y)=\sum _{i}C_{i}(1+y/m)^{-mt_{i}}}$، $${\displaystyle D_{\text{mod}}\;=\;{\frac {D_{\text{Mac}}}{\,1+y/m\,}}\,.}$$ يربط هذا المفهوم المتوسط ​​الزمني بالمرونة المستخدمة في التحوط والإبلاغ. ^{[ 4 ] [ 6 ]}

مدة ماكولاي لها وحدات زمنية. أما المدة المعدلة فهي بلا وحدات وتعمل كمرونة جزئية. بالنسبة لتغيير طفيف${\displaystyle \Delta y}$في العائد السنوي (بالصيغة العشرية)، $${\displaystyle {\frac {\Delta P}{P}}\;\approx \;-\,D_{\text{mod}}\,\Delta y\,.}$$ مقابل تغيير قدره 100 نقطة أساس${\displaystyle (\Delta y=0.01)}$النسبة المئوية التقريبية لتغير السعر هي${\displaystyle D_{\text{mod}}\times 1\%}$[ ^{4 ]​}

ينطبق نموذج مدة ماكولاي على التدفقات النقدية الثابتة. أما بالنسبة للأدوات التي تتغير تدفقاتها النقدية بتغير أسعار الفائدة، مثل الأوراق المالية القابلة للاستدعاء أو السداد المبكر، فيتم تقدير الحساسية من خلال المدة الفعالة باستخدام تحولات طفيفة صعودًا وهبوطًا في منحنى العائد ضمن نموذج التسعير. في هذه الحالات${\displaystyle D_{\text{mod}}}$^{[ 6 ]} يتم استبدالها بالمقياس الفعال للإبلاغ عن المخاطر والتحوط.

يُعرَّف زمن الاستحقاق المُعدَّل كمشتق، لذا تقل الدقة مع ازدياد تغير العائد. في حالة الصدمات الكبيرة، يُحسِّن الحد من الدرجة الثانية (التحدب) التقريب، أو يُمكن إعادة تسعير الأداة مباشرةً عند العائد أو المنحنى الجديد. يُقدِّم قسم "التحدب وتأثيرات الدرجة الثانية" التقريب التربيعي القياسي ومثالًا عمليًا. ^{[ 4 ] [ 6 ]}

يكون حد التحدب صغيرًا عند تحركات العائد الطفيفة جدًا. ويصبح ذا أهمية عند التحركات الأكبر، أو عند استخدام أدوات ذات آجال استحقاق طويلة أو ذات كوبونات منخفضة، وعندما تُظهر الأوراق المالية تحدبًا سلبيًا نتيجةً للخيارات المضمنة. في هذه الحالات، يتم تقدير المدة الفعالة والتحدب الفعال باستخدام الفروق المحدودة من نموذج تسعير الخيارات. ^{[ 6 ] [ 4 ] [ 12 ]}

• يؤثر اختيار آجال الاستحقاق الرئيسية وطريقة استيفاء المنحنى على التقديرات. ويؤدي استخدام نفس الاستيفاء للتسعير والصدمات إلى تحسين الاتساق الداخلي. ^{[ 4 ]}
• ينبغي أن تكون التحولات صغيرة حتى تظل التقريبات من الدرجة الأولى دقيقة. أما الصدمات الأكبر فتتطلب التحدب أو إعادة التسعير المباشر.
• قم بالإبلاغ عن كل من مجموعة مؤشرات DV01 الرئيسية ومؤشر DV01 الموازي. توفر المجاميع تحققًا متبادلًا من أن تعرضات فئات المؤشرات الرئيسية تتطابق مع مخاطر سعر الفائدة الإجمالية. ^{[ 6 ]}

في العديد من منهجيات القياس المعياري، تُحسب قيم DV01 الرئيسية في ظل هامش ثابت مُعدّل حسب الخيارات. وبموجب هذا الاصطلاح، يكون مجموع قيم DV01 الرئيسية مساوياً تقريباً للمدة المُعدّلة حسب الخيارات لحركة موازية، مما يوفر تحققاً عملياً من التعرضات المُبلغ عنها. ^{[ 13 ]}

يُخصم هذا الإجراء كل تدفق نقدي بسعره الفوري الخاص بدلاً من عائد واحد حتى تاريخ الاستحقاق. مع أسعار فائدة صفرية${\displaystyle z(t)}$والتدفقات النقدية${\displaystyle C_{i}}$في بعض الأحيان${\displaystyle t_{i}}$، $${\displaystyle P\;=\;\sum _{i=1}^{n}C_{i}\,\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{t_{i}}z(u)\,\mathrm {d} u},\qquad D_{\text{FW}}\;=\;{\frac {1}{P}}\,\sum _{i=1}^{n}t_{i}\,C_{i}\,\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{t_{i}}z(u)\,\mathrm {d} u}.}$$ بالنسبة لإزاحة متوازية صغيرة لمنحنى الصفر،${\displaystyle D_{\text{FW}}}$يُعطي استجابة السعر من الدرجة الأولى. وهو يساوي مدة ماكولاي عندما يكون المنحنى مسطحًا ويكون التراكم ثابتًا. ^{[ 4 ] [ 3 ]}

مدة استحقاق النقود (وتسمى أيضاً مدة استحقاق الدولار) تعبر عن الحساسية بوحدات السعر لكل تغيير بمقدار وحدة واحدة في العائد: $${\displaystyle {\text{Money duration}}\;=\;P\times D_{\text{mod}}\,.}$$ قيمة سعر نقطة الأساس (PVBP)، والتي تسمى أيضًا DV01، هي تغير السعر لحركة موازية بمقدار نقطة أساس واحدة في العائد: $${\displaystyle {\text{PVBP}}\;=\;{\text{DV01}}\;=\;P\times D_{\text{mod}}\times 10^{-4}\,.}$$ غالباً ما تُذكر تقارير المحفظة والمخاطر إجمالي مخاطر المعدل بوحدات DV01. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 4 ]}

عندما تعتمد التدفقات النقدية على أسعار الفائدة، تُؤخذ الأسعار من نموذج يعتمد على تحركات طفيفة صعودًا وهبوطًا في منحنى العائد. ويتم تقدير المدة الفعلية من خلال الفرق المركزي. $${\displaystyle D_{\text{eff}}\;\approx \;{\frac {P_{-}-P_{+}}{2\,P_{0}\,\Delta y}},\qquad P_{\pm }\;=\;{\text{model price with the curve shifted by }}\pm \Delta y\,.}$$ يتم الإبلاغ عن التحدب الفعال إلى جانب هذا المقياس للأدوات المتأثرة بالخيارات. ^{[ 6 ] [ 4 ]}

بالنسبة لأدوات الائتمان، غالباً ما يتم قياس الحساسية لتغير موازٍ في هامش الائتمان${\displaystyle s}$فوق منحنى المرجع، مع تثبيت المنحنى الأساسي: $${\displaystyle D_{\text{spread}}\;=\;-\,{\frac {1}{P}}\,{\frac {\partial P}{\partial s}},\qquad {\text{SPV01}}\;=\;P\times D_{\text{spread}}\times 10^{-4}\,.}$$ عندما تستخدم عملية التقييم هامشًا معدلًا حسب الخيارات (OAS)، فإن الرقم المُبلغ عنه هو مدة OAS، والتي تُقدَّر من خلال تعديلات طفيفة على هامش OAS ضمن نموذج التسعير. ^{[ 14 ] [ 10 ] [ 6 ]}

نسبة شيرمان هي أداة إرشادية عملية تربط بين العائد على السند أو المؤشر وحساسيته لسعر الفائدة. وهي العائد السنوي لكل وحدة مدة، وغالبًا ما تُفسَّر على أنها الارتفاع الموازي في العائد على مدار عام واحد والذي من شأنه أن يعوض عائد الدخل . ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}${\displaystyle y}$ليكن العائد السنوي (بالصيغة العشرية) و${\displaystyle D}$مقياس المدة مثل المدة المعدلة أو المدة المعدلة حسب الخيار. ومن الأشكال الشائعة ما يلي: $${\displaystyle {\text{Sherman ratio}}\;=\;{\frac {y}{D}}\,.}$$ باستخدام صيغة التغيير الصغير${\displaystyle \Delta P/P\approx -D\,\Delta y}$، يبلغ الارتفاع الموازي الذي يحقق نقطة التعادل لمدة عام واحد والذي من شأنه أن يقضي على الدخل تقريبًا${\displaystyle \Delta y\approx y/D}$على سبيل المثال، مؤشر ذو عائد${\displaystyle 2\%}$والمدة${\displaystyle 10}$نسبة${\displaystyle 0.20}$مما يشير إلى أن ارتفاعًا بنحو 20 نقطة أساس على مدار عام من شأنه أن يعوض الدخل. ^{[ 18 ] [ 19 ]} تعتمد هذه النسبة على تعريف العائد (على سبيل المثال، العائد الأدنى أو العائد المعدل حسب الخيارات)، وعلى المدة المختارة، وتتجاهل التحدب والتراجع وتغيرات فروق الأسعار، لذا فهي دليل تقريبي وليست مقياسًا رسميًا للمخاطر . ^{[ 17 ]}

عمليًا، لا تعتمد عوائد الدخل الثابت على مدى فترة زمنية محددة على حساسية السعر فحسب، بل تعتمد أيضًا على الدخل وشكل هيكل آجال الاستحقاق . يُعرف "العائد" بأنه الدخل الذي يحققه الأصل المالي إذا لم يتغير منحنى العائد، بينما يُعرف "الانخفاض" بأنه تأثير السعر الناتج عن انتقال السند أو المقايضة إلى أجل استحقاق أقصر على منحنى عائد ثابت. ^{[ 20 ] [ 21 ]} لنفترض${\displaystyle y}$يشير إلى العائد السنوي الحالي و${\displaystyle D}$و${\displaystyle C}$المدة المعدلة والتحدب. على مدى أفق زمني قصير${\displaystyle h}$سنوات، تقريب بسيط للأفق الزمني والعائد هو $${\displaystyle {\text{Total return}}\;\approx \;y\,h\;+\;{\text{roll-down}}\;-\;D\,\Delta y\;+\;{\tfrac {1}{2}}\,C\,(\Delta y)^{2},}$$ أين${\displaystyle \Delta y}$يمثل التغير الموازي في العائد ذي الصلة على مدى الأفق الزمني. ويعتمد حد الانحدار على الميل المحلي للمنحنى، ويتلاشى على المنحنى المسطح. ^{[ 20 ]}

بالنسبة لأدوات الائتمان، غالبًا ما يقيس المديرون مخاطر فروق الأسعار باستخدام مؤشر مدة الاستحقاق مضروبًا في فرق السعر (DTS)، والذي يُعرَّف بأنه مدة فرق السعر الفعلية مضروبة في فرق السعر المعدل حسب الخيارات. يُقاس مؤشر DTS التعرض لفرق السعر وفقًا لمستوى فرق السعر الحالي، ويعكس بشكل أفضل ميل فروق الأسعار إلى التحرك تناسبيًا بدلًا من التحرك بشكل متوازٍ. ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}$${\displaystyle {\text{DTS}}\;=\;D_{\text{spread}}\times {\text{spread}}\,.}$$ يُستخدم مؤشر DTS في بناء المؤشرات، وحدود المحفظة، وتقارير المخاطر إلى جانب مدة الفارق ومؤشر DV01 لأسعار الفائدة. ^{[ 25 ]}

هناك طريقة أخرى لتقييم الائتمان تحاكي نسبة شيرمان من خلال مقارنة هامش الربح بمدة الاستحقاق. "هامش الربح لكل دورة مدة استحقاق" (يُسمى أحيانًا نقطة التعادل في هامش الربح) هو $${\displaystyle {\frac {\text{spread}}{D_{\text{eff}}}}\,,}$$ يُفسَّر ذلك على أنه اتساع متوازٍ في الفارق السعري يُعادل دخل الفارق السعري لسنة واحدة على منحنى ثابت. ^{[ 26 ] [ 27 ]} هذه أداة تقييم سريعة لمقارنة القطاعات أو فئات التصنيف، لكنها تتجاهل تأثيرات الهجرة، والتخلف عن السداد، والتحدب، وشكل المنحنى، لذا ينبغي اعتبارها دليلاً تقريبياً لا نموذجاً للمخاطر. ^{[ 27 ]}

يُحدد مديرو المحافظ الاستثمارية قيمة DV01 مستهدفة للمحفظة، ويُعدّلونها باستخدام أدوات مالية سائلة كالسندات الحكومية والعقود الآجلة ومقايضات أسعار الفائدة . ثم يُحددون مستوى التعرض عبر آجال الاستحقاق باستخدام قيم DV01 ذات أسعار الفائدة الرئيسية، بحيث لا يتركز الخطر في نقطة واحدة على منحنى العائد. قد تشترك هياكل "الدمبل" و"الرصاصة" في نفس قيمة DV01 المتوازية، لكنها تختلف في التحدب وفي مستوى التعرض لأسعار الفائدة الرئيسية. ^{[ 4 ] [ 13 ]}

تُطابق عملية التحصين قيمة الأصول ومدتها مع قيمة الالتزامات ومدتها، بحيث لا تُحدث التحولات المتوازية الصغيرة تغييرًا يُذكر في الفائض. ويؤدي خصم كل تدفق نقدي بسعره الفوري إلى تحسين فيشر-ويل لهيكل زمني مُحدد. وتُطبق صناديق التقاعد وشركات التأمين هذه الأفكار في إدارة الأصول والالتزامات، وتُراقب تعرضات DV01 ومعدلات الفائدة الرئيسية بالنسبة للالتزامات. ^{[ 3 ] [ 28 ] [ 29 ]}

ينشر مزودو المؤشرات بيانات مدة الاستحقاق، والتحدب، والتعرض لمعدلات الأسعار الرئيسية لكل مؤشر. تُستخدم هذه البيانات لتوجيه عمليات المحاكاة السلبية، وإدارة المخاطر، وتحديد مصادرها، كما تُمكّن من مقارنة قيم DV01 للمحفظة وقيم DV01 لمعدلات الأسعار الرئيسية مباشرةً مع تلك الخاصة بمعيار مرجعي مُختار. تحسب العديد من المنهجيات قيم DV01 لمعدلات الأسعار الرئيسية في ظل هامش ثابت مُعدّل حسب الخيارات، وتُشير إلى أن مجموعها قريب من مدة الاستحقاق المُعدّلة حسب الخيارات لحركة موازية. ^{[ 13 ] [ 30 ] [ 5 ]}

تقيس البنوك مخاطر أسعار الفائدة في محافظها المصرفية باستخدام حساسية القيمة الاقتصادية القائمة على المدة، وتُبلغ عن هذه المخاطر حسب مدة الاستحقاق. تُبرز المعايير الإشرافية حدود المقاييس الخطية في ظل الصدمات الكبيرة أو غير المتوازية، وتُلزم باستخدام مقاييس وسيناريوهات تكميلية. يُفصح مديرو الأصول عن قيمة DV01 للمحفظة، وعند الاقتضاء، قيمة DV01 للفروقات الائتمانية، في التقارير التنظيمية. ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 10 ]}

يمكن لعقود المقايضة والعقود الآجلة ومقايضات العائد الإجمالي للسندات رفع أو خفض قيمة DV01 الموازية أو استهداف فئات أسعار الفائدة الرئيسية دون تداول السندات الأساسية. ويعتمد الاختيار على السيولة واستخدام الميزانية العمومية ومخاطر الأساس بين المشتقات والتدفقات النقدية المحوطة. ^{[ 33 ] [ 4 ]}

تُعدّ مدة التداول أداةً أساسية. قد تؤدي تحركات أسعار الفائدة الكبيرة، وإعادة تشكيل منحنى العائد، وخيارات التداول المضمنة، وتغيرات فروق الأسعار إلى انحراف التحوطات القائمة على مدة التداول فقط عن أهدافها. في هذه الحالات، يُضيف الممارسون خاصية التحدب، أو يستخدمون مدة التداول بناءً على سعر الفائدة الرئيسي وفروق الأسعار، أو يُعيدون تسعيرها مباشرةً في النموذج. ^{[ 6 ] [ 31 ]}

يُستمد تقريب المدة من حد خطي في متسلسلة تايلور للسعر مقابل العائد. ومع ازدياد الصدمة، يزداد الخطأ وتصبح خاصية التحدب مهمة. يقوم الممارسون بإضافة خاصية التحدب أو إعادة التسعير مباشرة عندما تكون التحركات كبيرة. ^{[ 4 ]}

غالباً ما تتداخل في تغيرات السوق عوامل المستوى والميل والانحناء. وقد يؤدي تحديد مدة واحدة إلى تقدير خاطئ للمخاطر عند إعادة تشكيل المنحنى. تعمل مدة سعر الفائدة الرئيسي على توزيع التعرض عبر آجال استحقاق مختلفة، وتواءم التحوط مع الحركة الملحوظة. ^{[ 37 ] [ 32 ]}

عندما تتغير التدفقات النقدية بتغير أسعار الفائدة، كما هو الحال في الأوراق المالية القابلة للاستدعاء أو السداد المبكر، قد يُظهر منحنى السعر-العائد تحدبًا سلبيًا، وتعتمد المدة المقاسة على خيارات النموذج. تُقدّر المدة الفعالة والتحدب الفعال الحساسية للتغيرات الطفيفة صعودًا وهبوطًا ضمن نموذج التسعير. ^{[ 6 ] [ 4 ]}

تتطلب مقاييس فيشر-ويل ومقاييس المعدل الرئيسي منحنى سعر الفائدة الفوري. ويؤدي اختيار الأدوات، وإعادة التوزيع، والاستيفاء إلى تغيير عوامل الخصم، وبالتالي الحساسيات المقاسة. ويؤدي استخدام منحنى واحد لكل من التسعير والصدمات إلى تحسين الاتساق الداخلي. ^{[ 38 ] [ 30 ] [ 5 ]}

تعتمد الأرقام المُبلغ عنها على العائد وطريقة احتساب الفائدة المركبة، وعلى ما إذا كان السعر صافيًا أم غير صافي. مدة النقد تساوي السعر مضروبًا في المدة المعدلة وفقًا للطريقة المذكورة. يعتمد DV01 على الكمية المُعدّلة، على سبيل المثال، سعر الفائدة الاسمي، أو سعر الفائدة الصفري، أو العائد حتى تاريخ الاستحقاق. ينبغي استخدام طريقة ووحدة قياس موحدتين للمقارنات. ^{[ 34 ] [ 30 ]}

لا يعكس زمن مدة سعر الفائدة مخاطر فروق أسعار الائتمان. يقيس كل من زمن الفارق وقيمة PV01 للفارق حساسية أداة التحوط للتغيرات في فروق أسعار الائتمان مع ثبات منحنى العائد الأساسي. قد يؤدي اختلاف مخاطر الأساس بين أداة التحوط والتعرض، على سبيل المثال بين عقد آجل وسند أو بين مقايضات وسندات جهات إصدار مختلفة، إلى تعريض أداة التحوط للخطر حتى عند مطابقة قيمة DV01 الموازية. ^{[ 31 ] [ 4 ]}

ل${\displaystyle C=0}$مع${\displaystyle N=mT}$: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}\;=\;T,\qquad D_{\text{mod}}\;=\;{\frac {T}{1+r}},\qquad {\text{DV01}}\;=\;F\,(1+r)^{-N}\,{\frac {T}{1+r}}\times 10^{-4}.}$$^{[ 4 ]}

ل${\displaystyle F=0}$و${\displaystyle q=(1+r)^{-N}}$: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}^{\text{annuity}}\;=\;{\frac {1}{m}}\!\left[{\frac {1+r}{r}}\;-\;{\frac {N\,q}{1-q}}\right].}$$^{[ 6 ]}

لسندات الاسمية${\displaystyle C=rF}$لذا${\displaystyle P=F}$و${\displaystyle q=(1+r)^{-N}}$: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}^{\text{par}}\;=\;{\frac {1}{m}}\,{\frac {1+r}{r}}\,(1-q)\,.}$$^{[ 4 ]}

مع مراعاة نفس الشروط المذكورة أعلاه: $${\displaystyle {\text{DV01}}^{\text{par}}\;=\;F\,{\frac {1-q}{m\,r}}\times 10^{-4}\,.}$$^{[ 4 ]}

ل${\displaystyle N\to \infty }$مع${\displaystyle C>0}$و${\displaystyle F=0}$: $${\displaystyle P={\frac {C}{r}},\qquad D_{\text{Mac}}={\frac {1}{m}}{\frac {1+r}{r}},\qquad D_{\text{mod}}={\frac {1}{mr}},\qquad {\text{DV01}}={\frac {P}{mr}}\times 10^{-4}.}$$^{[ 8 ]}

يترك${\displaystyle q=(1+r)^{-1}}$. ثم $${\displaystyle S_{0}\;=\;\sum _{k=1}^{N}q^{k}\;=\;{\frac {q\,(1-q^{N})}{1-q}}\,.}$$ تظهر هذه المتطابقة في الاشتقاقات القياسية للسعر وهي مفيدة في التطبيقات. ^{[ 8 ]}

مع${\displaystyle q=(1+r)^{-1}}$: $${\displaystyle S_{1}\;=\;\sum _{k=1}^{N}k\,q^{k}\;=\;{\frac {q{\bigl (}1-(N+1)q^{N}+Nq^{N+1}{\bigr )}}{(1-q)^{2}}}\,.}$$ يدعم هذا تحديد مدة الصلاحية بصيغة مغلقة لقسائم المستوى. ^{[ 8 ]}

مع${\displaystyle q=(1+r)^{-1}}$: $${\displaystyle S_{2}\;=\;\sum _{k=1}^{N}k^{2}q^{k}\;=\;{\frac {q\!\left(N^{2}q^{N}-2N^{2}q^{N+1}+N^{2}q^{N+2}+2Nq^{N}-2Nq^{N+1}-q+q^{N}+q^{N+1}-1\right)}{(1-q)^{3}}}\,.}$$ وهذا يدعم التحدب ذي الشكل المغلق. ^{[ 4 ]}

باستخدام المتطابقات المذكورة أعلاه لسند ذي قسيمة ثابتة: $${\displaystyle C\;=\;{\frac {1}{m^{2}(1+r)^{2}\,P}}\,{\Bigl [}\,C\,(S_{1}+S_{2})\;+\;N(N+1)\,F\,(1+r)^{-N}\,{\Bigr ]}.}$$^{[ 4 ] [ 6 ]}

للحصول على نتوء متناظر${\displaystyle \pm \Delta y}$بالنسبة للعائد المذكور: $${\displaystyle D_{\text{mod}}\;\approx \;-\,{\frac {P_{+}-P_{-}}{2\,P_{0}\,\Delta y}}\,.}$$ يُعد هذا فحصًا شائعًا للمدة التحليلية ويكمن وراء المدة الفعالة. ^{[ 6 ]}

للحصول على ارتفاع يتم تطبيقه فقط على التينور${\displaystyle \tau _{k}}$: $${\displaystyle {\text{KRD}}(\tau _{k})\;\approx \;-\,{\frac {P_{+}^{(k)}-P_{-}^{(k)}}{2\,P_{0}\,\Delta y}}\,.}$$ يُستخدم هذا للإبلاغ عن الحساسية حسب فئة النضج. ^{[ 4 ]}

وجه${\displaystyle F=100}$قسيمة${\displaystyle 20\%}$سنويًا، تُدفع مرتين سنويًا.${\displaystyle C=10}$العائد الاسمي${\displaystyle y=4\%}$مع${\displaystyle m=2}$لذا${\displaystyle r=0.02}$، و${\displaystyle N=4}$السعر عبر مجموع التدفق النقدي: $${\displaystyle P\;=\;\sum _{i=1}^{4}{\frac {10}{(1.02)^{i}}}\;+\;{\frac {100}{(1.02)^{4}}}\;\approx \;130.462\,.}$$ ماكولاي والمدة المعدلة: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}\;\approx \;1.777{\text{ years}},\qquad D_{\text{mod}}\;=\;{\frac {1.777}{1.02}}\;\approx \;1.743\,.}$$ DV01 لكل زوج قاعدي واحد: $${\displaystyle {\text{DV01}}\;=\;130.462\times 1.743\times 10^{-4}\;\approx \;0.0227\,.}$$

وجه${\displaystyle F=1000}$قسيمة${\displaystyle 5\%}$سنوياً${\displaystyle C=50}$العائد السنوي${\displaystyle y=6.5\%}$مع${\displaystyle m=1}$لذا${\displaystyle r=0.065}$، و${\displaystyle N=5}$. سعر: $${\displaystyle P\;=\;50\sum _{t=1}^{4}{\frac {1}{(1.065)^{t}}}\;+\;{\frac {1050}{(1.065)^{5}}}\;\approx \;937.665\,.}$$ ماكولاي والمدة المعدلة: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}\;\approx \;4.529{\text{ years}},\qquad D_{\text{mod}}\;=\;{\frac {4.529}{1.065}}\;\approx \;4.253\,.}$$ DV01 لكل زوج قاعدي واحد: $${\displaystyle {\text{DV01}}\;=\;937.665\times 4.253\times 10^{-4}\;\approx \;0.399\,.}$$

• تفترض الصيغ المغلقة أعلاه عددًا صحيحًا من فترات القسيمة${\displaystyle N}$بالنسبة للفترات الكسرية، احسب${\displaystyle D_{\text{Mac}}}$من جدول التدفقات النقدية المؤرخ، ثم قم بتطبيقه${\displaystyle D_{\text{mod}}=D_{\text{Mac}}/(1+r)}$[ ^{6 ] [ 4 ]​}
• يعتمد معدل DV01 المُبلغ عنه على الكمية المُعدّلة (سعر الفائدة الاسمي، أو سعر الفائدة الصفري، أو العائد حتى تاريخ الاستحقاق) وعلى ما إذا كان السعر نظيفًا أم غير نظيف. استخدم اصطلاحًا شائعًا عند مقارنة الأرقام. ^{[ 4 ] [ 6 ]}