التقدير الأمثل

في الإحصاء التطبيقي، يُعد التقدير الأمثل طريقة معكوسة للمصفوفة منتظمة تعتمد على نظرية بايز . ويُستخدم هذا الأسلوب بكثرة في علوم الأرض ، وخاصةً في قياسات الغلاف الجوي . وتبدو مسألة معكوسة المصفوفة كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {A} {\vec {x}}={\vec {y}}}$

المفهوم الأساسي هو تحويل المصفوفة A إلى احتمال شرطي والمتغيرات،${\displaystyle {\vec {x}}}$و${\displaystyle {\vec {y}}}$تحويلها إلى توزيعات احتمالية بافتراض إحصاءات غاوسية واستخدام مصفوفات التغاير المحددة تجريبياً.

عادةً، يُتوقع أن تكون إحصائيات معظم القياسات غاوسية . على سبيل المثال، بالنسبة لـ${\displaystyle P({\vec {y}}|{\vec {x}})}$يمكننا أن نكتب:

${\displaystyle P({\vec {y}}|{\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{mn/2}|{\boldsymbol {S_{y}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}({\boldsymbol {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})\right]}$

حيث يمثل m و n عدد العناصر في${\displaystyle {\vec {x}}}$و${\displaystyle {\vec {y}}}$على التوالى${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$هي المصفوفة المطلوب حلها (النموذج الخطي أو النموذج الخطي الأمامي) و${\displaystyle {\boldsymbol {S_{y}}}}$هي مصفوفة التغاير للمتجه${\displaystyle {\vec {y}}}$ويمكن القيام بذلك بالمثل لـ${\displaystyle {\vec {x}}}$:

${\displaystyle P({\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{m/2}|{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\widehat {x_{a}}})^{T}{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x_{a}}})\right]}$

هنا${\displaystyle P({\vec {x}})}$يُعتبر هذا التوزيع ما يسمى بالتوزيع "القبلي": ${\displaystyle {\widehat {x_{a}}}}$يشير إلى القيم المسبقة لـ${\displaystyle {\vec {x}}}$بينما${\displaystyle {\boldsymbol {S_{x_{a}}}}}$هي مصفوفة التغاير الخاصة بها.

الميزة الرائعة في التوزيعات الغاوسية هي أنها لا تتطلب سوى معلَمَين لوصفها، وبالتالي يمكن تحويل المسألة بأكملها مرة أخرى إلى مصفوفات. بافتراض أن${\displaystyle P({\vec {x}}|{\vec {y}})}$يأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle P({\vec {x}}|{\vec {y}})={\frac {1}{(2\pi )^{mn/2}|{\boldsymbol {S_{x}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\widehat {x}})^{T}{\boldsymbol {S_{x}}}^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x}})\right]}$

${\displaystyle P({\vec {y}})}$يمكن إهمالها لأنه، بالنسبة لقيمة معينة لـ${\displaystyle {\vec {x}}}$إنه ببساطة حد قياس ثابت. الآن من الممكن إيجاد القيمة المتوقعة لكل من${\displaystyle {\vec {x}}}$،${\displaystyle {\widehat {x}}}$، وبالنسبة لمصفوفة التغاير الخاصة بها، يتم ذلك عن طريق مساواة${\displaystyle P({\vec {x}}|{\vec {y}})}$و${\displaystyle P({\vec {y}}|{\vec {x}})P({\vec {x}})}$ينتج عن ذلك المعادلات التالية:

${\displaystyle {\boldsymbol {S_{x}}}=({\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}^{-1}}}{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {S_{x_{a}}^{-1}}})^{-1}}$

${\displaystyle {\widehat {x}}={\widehat {x_{a}}}+{\boldsymbol {S_{x}}}{\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}({\vec {y}}-{\boldsymbol {A}}{\widehat {x_{a}}})}$

لأننا نستخدم التوزيعات الغاوسية، فإن القيمة المتوقعة تعادل القيمة المحتملة القصوى، وبالتالي فإن هذا أيضًا شكل من أشكال تقدير الاحتمال الأقصى .

في التقدير الأمثل، تُعاد عادةً مصفوفة إضافية إلى جانب مصفوفة التغاير، بالإضافة إلى متجه الكميات المسترجعة. تُسمى هذه المصفوفة أحيانًا مصفوفة الدقة أو نواة المتوسط، ويتم حسابها كما يلي:

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}=({\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}^{-1})^{-1}{\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}{\boldsymbol {A}}}$

يُبيّن لنا هذا، بالنسبة لعنصر مُحدد من المتجه المُسترجع، مقدار العناصر الأخرى المُختلطة في المتجه. في حالة استرجاع معلومات المقطع الجانبي، يُشير عادةً إلى دقة الارتفاع لارتفاع مُحدد. على سبيل المثال، إذا احتوت متجهات الدقة لجميع الارتفاعات على عناصر غير صفرية (ضمن هامش خطأ عددي) في أقرب أربعة جيران لها، فإن دقة الارتفاع تُساوي ربع حجم الشبكة الفعلي فقط.

• كلايف د. رودجرز (1976). "استخلاص درجة حرارة الغلاف الجوي وتركيبه من القياسات عن بُعد للإشعاع الحراري". مراجعات الجيوفيزياء وفيزياء الفضاء . 14 (4): 609. Bibcode : 1976RvGSP..14..609R . doi : 10.1029/RG014i004p00609 .

• كلايف د. رودجرز (2000). الطرق العكسية لرصد الغلاف الجوي: النظرية والتطبيق . وورلد ساينتيفيك.

• كلايف د. رودجرز (2002). "الاستشعار عن بعد للغلاف الجوي: المشكلة العكسية". وقائع المدرسة الربيعية الرابعة لأكسفورد/RAL في مجال الرصد الكمي للأرض . جامعة أكسفورد.