نقاط بادوا

في الاستيفاء متعدد الحدود لمتغيرين ، تُعد نقاط بادوا أول مثال معروف (والوحيد حتى الآن) لمجموعة نقاط أحادية الحل (أي أن متعدد الحدود المستوفي فريد) مع نمو ضئيل لثابت ليبيغ الخاص بها ، والذي ثبت أنه${\displaystyle O(\log ^{2}n)}$[ ^{1 ]} يعود اسمهم إلى جامعة بادوا ، حيث تم اكتشافهم في الأصل ^{. [ 2 ]}

يتم تعريف النقاط في المجال${\displaystyle [-1,1]\times [-1,1]\subset \mathbb {R} ^{2}}$من الممكن استخدام النقاط ذات الاتجاهات الأربعة، التي تم الحصول عليها من خلال دورات متتالية بزاوية 90 درجة: وبهذه الطريقة نحصل على أربع مجموعات مختلفة من نقاط بادوا.

يمكننا اعتبار نقطة بادوا بمثابة " عينة " من منحنى بارامتري ، يُسمى منحنى التوليد ، والذي يختلف قليلاً لكل عائلة من العائلات الأربع، بحيث تكون النقاط لدرجة الاستيفاء${\displaystyle n}$والعائلة${\displaystyle s}$يمكن تعريفها على النحو التالي:

${\displaystyle {\text{Pad}}_{n}^{s}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\xi _{1},\xi _{2})\rbrace =\left\lbrace \gamma _{s}\left({\frac {k\pi }{n(n+1)}}\right),k=0,\ldots ,n(n+1)\right\rbrace .}$

في الواقع، تقع نقاط بادوا بالضبط على نقاط تقاطع المنحنى مع نفسه، وعلى نقاط تقاطع المنحنى مع حدود المربع.${\displaystyle [-1,1]^{2}}$عدد عناصر المجموعة${\displaystyle \operatorname {Pad} _{n}^{s}}$يكون${\textstyle |\اسم المشغل {Pad} _{n}^{s}|={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$علاوة على ذلك، بالنسبة لكل مجموعة من نقاط بادوا، تقع نقطتان على رؤوس متتالية للمربع${\displaystyle [-1,1]^{2}}$،${\displaystyle 2n-1}$تقع النقاط على حواف المربع، وتقع النقاط المتبقية على نقاط التقاطع الذاتي للمنحنى المولد داخل المربع. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

المنحنيات المولدة الأربعة هي منحنيات بارامترية مغلقة في الفترة${\displaystyle [0,2\pi ]}$وهي حالة خاصة من منحنيات ليساجو .

يعتمد التمثيل الصريح لكثير الحدود الأساسي لاغرانج على النواة المُستنسخة${\displaystyle K_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$،${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2})}$و${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2})}$، من الفضاء${\displaystyle \Pi _{n}^{2}([-1,1]^{2})}$مزود بالمنتج الداخلي

${\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int _{[-1,1]^{2}}f(x_{1},x_{2})g(x_{1},x_{2}){\frac {dx_{1}}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}}{\frac {dx_{2}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}}}$

محدد بواسطة

${\displaystyle K_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{k}{\hat {T}}_{j}(x_{1}){\hat {T}}_{k-j}(x_{2}){\hat {T}}_{j}(y_{1}){\hat {T}}_{k-j}(y_{2})}$

مع${\displaystyle {\hat {T}}_{j}}$يمثل متعدد حدود تشيبيشيف المعياري من الدرجة${\displaystyle j}$(إنه،${\displaystyle {\hat {T}}_{0}=T_{0}}$و${\displaystyle {\hat {T}}_{p}={\sqrt {2}}T_{p}}$، أين${\displaystyle T_{p}(\cdot )=\cos(p\arccos(\cdot ))}$هي متعددة حدود تشيبيشيف الكلاسيكية من النوع الأول من الدرجة${\displaystyle p}$[ ^{3 ]} بالنسبة للعائلات الأربع لنقاط بادوا، والتي يمكننا الإشارة إليها ^بـ${\displaystyle \operatorname {Pad} _{n}^{s}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\xi _{1},\xi _{2})\rbrace }$،${\displaystyle s=\lbrace 1,2,3,4\rbrace }$، صيغة الاستيفاء من الرتبة${\displaystyle n}$من الوظيفة${\displaystyle f\colon [-1,1]^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$على نقطة الهدف العامة${\displaystyle \mathbf {x} \in [-1,1]^{2}}$ثم

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}^{s}f(\mathbf {x} )=\sum _{\mathbf {\xi } \in \operatorname {Pad} _{n}^{s}}f(\mathbf {\xi } )L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )}$

أين${\displaystyle L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )}$هي متعددة حدود لاغرانج الأساسية

${\displaystyle L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )=w_{\mathbf {\xi } }(K_{n}(\mathbf {\xi } ,\mathbf {x} )-T_{n}(\xi _{i})T_{n}(x_{i})),\quad s=1,2,3,4,\quad i=2-(s\mod 2).}$

الأوزان${\displaystyle w_{\mathbf {\xi } }}$تُعرَّف بأنها

${\displaystyle w_{\mathbf {\xi } }={\frac {1}{n(n+1)}}\cdot {\begin{cases}{\frac {1}{2}}{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is a vertex point}}\\1{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is an edge point}}\\2{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is an interior point.}}\end{cases}}}$

• قائمة المنشورات المتعلقة بنقاط بادوا وبعض برامج الاستيفاء .