لعبة سوليتير بيغ

لعبة سوليتير ، أو سولو نوبل ، أو سولو جولي ، أو سوليتير الرخام ، أو ببساطة سوليتير، هي لعبة لوحية فردية تعتمد على تحريك قطع خشبية على لوحة بها ثقوب. تستخدم بعض المجموعات كرات زجاجية في لوحة بها تجاويف. تُعرف اللعبة باسم سوليتير في بريطانيا، وباسم سوليتير القطع الخشبية في الولايات المتحدة، حيث يشير مصطلح "سوليتير" إلى مجموعة ألعاب الورق .

يمكن تتبع أول دليل على وجود هذه اللعبة إلى بلاط لويس الرابع عشر ، وتحديدًا عام ١٦٩٧، من خلال نقشٍ أنجزه كلود أوغست بيريه بعد عشر سنوات، يصور آن دو روهان-شابو ، أميرة سوبيز، مع اللغز بجانبها. يحتوي عدد أغسطس ١٦٩٧ من المجلة الأدبية الفرنسية "ميركور غالانت" على وصفٍ للوحة وقواعد اللعبة ونماذج من المسائل. وهذا هو أول ذكرٍ معروفٍ للعبة في المطبوعات.

في اللعبة القياسية، تُملأ اللوحة بأكملها بالأوتاد باستثناء الفتحة المركزية. والهدف هو، من خلال القيام بحركات صحيحة، إفراغ اللوحة بالكامل باستثناء وتد واحد في الفتحة المركزية.

سبورة

لوحة لعبة سوليتير الإنجليزية

لوحة لعبة سوليتير الأوروبية

يوجد لوحان تقليديان ('⚫' كوتد ابتدائي، '⚪' كثقب ابتدائي):

إنجليزي	أوروبي
لوحة لعبة سوليتير الإنجليزية	لوحة لعبة سوليتير الأوروبية

يلعب

تتمثل الحركة الصحيحة في القفز فوق وتد مجاور بشكل عمودي إلى حفرة تبعد موضعين ثم إزالة الوتد الذي تم القفز فوقه.

في الرسوم التوضيحية التالية، يشير الرمز ⚪ إلى ثقب فارغ، بينما يشير الرمز ⚫ إلى وتد في ثقب، محاط بدائرة سوداء عند قرب تحريكه، ودائرة حمراء عند تحريكه للتو. أما الثقب الذي أُخرج منه الوتد فهو باللون الأزرق الفاتح، بينما يشير ثقب أحمر بداخله علامة X حمراء إلى ثقب الوتد الذي تم تحريكه وإزالته.

وبالتالي فإن الحركات الصحيحة في كل اتجاه من الاتجاهات الأربعة المتعامدة هي:

قبل
→
انتقل إلى اليمين
قبل
→
انتقل إلى اليسار
قبل
→
اقفز للأسفل
قبل
→
اقفز للأعلى

على رقعة الشطرنج الإنجليزية، قد تكون الحركات الثلاث الأولى كالتالي:

يبدأ

→

بعد النقلة الأولى

→

بعد النقلة الثانية

→

بعد النقلة الثالثة

استراتيجية

توجد حلول عديدة ومختلفة للمشكلة القياسية، وإحدى طرق التدوين المستخدمة لوصفها هي تعيين حروف للثقوب (على الرغم من أنه يمكن استخدام الأرقام أيضًا):

إنجليزي	أوروبي
أ ب ج د هـ و g h i j k l m لا يوجد op x P O N M L KJ I H G الاحتياطي الفيدرالي سي بي إيه تدوين السبورة الإنجليزية	أ ب ج y d e f z g h i j k l m لا يوجد op x P O N M L KJ I H G Z F E D Y سي بي إيه تدوين مجلس الإدارة الأوروبي

يُستخدم هذا التدوين المعكوس، من بين أسباب أخرى، لأنه على اللوحة الأوروبية، تتمثل إحدى مجموعات الألعاب البديلة في البدء بثقب في موضع ما والانتهاء بورد واحد في موضعه المعكوس. أما على اللوحة الإنجليزية، فإن الألعاب البديلة المكافئة هي البدء بثقب والانتهاء بورد في الموضع نفسه.

لا يوجد حل لرقعة الشطرنج الأوروبية ذات الثقب الأولي في المنتصف، إذا كانت الحركات المسموح بها هي الحركات المتعامدة فقط. ويمكن توضيح ذلك بسهولة كما يلي، استنادًا إلى حجة هانز زانتيما . قسّم مواقع الرقعة إلى مواقع A وB وC كما يلي (يُخصص لكل "قطر" الحرف نفسه، وتتكرر هذه المواقع بالتسلسل ABC):

أ ب ج

أ ب ج أ ب

أ ب ج أ ب ج أ

ب ج أ ب ج أ ب

ج أ ب ج أ ب ج

ب ج أ ب ج

أ ب ج

تصنيف المجلس الأوروبي إلى فئات أ، ب، وج

في البداية، مع وجود الموضع المركزي فقط شاغرًا، يكون عدد المواضع المغطاة في المجموعة A هو 12، وعدد المواضع المغطاة في المجموعة B هو 12، وكذلك عدد المواضع المغطاة في المجموعة C هو 12. بعد كل نقلة، يزداد أو ينقص عدد المواضع المغطاة في المجموعة A بمقدار واحد، وكذلك عدد المواضع المغطاة في المجموعتين B وC. لذا، بعد عدد زوجي من النقلات، تكون جميع هذه الأعداد الثلاثة زوجية، وبعد عدد فردي من النقلات، تكون جميعها فردية. وبالتالي، لا يمكن الوصول إلى وضع نهائي يحتوي على وتد واحد فقط، لأن ذلك يتطلب أن يكون أحد هذه الأعداد واحدًا (موضع الوتد، وهو عدد فردي)، بينما يكون العددان الآخران صفرًا، أي عدد زوجي.

ومع ذلك، توجد عدة تكوينات أخرى يمكن فيها اختزال ثقب أولي واحد إلى وتد واحد.

إحدى التكتيكات التي يمكن استخدامها هي تقسيم اللوحة إلى مجموعات من ثلاثة، ثم إزالة كل مجموعة باستخدام وتد إضافي واحد، وهو المحفز، الذي يقفز للخارج ثم يعود للخلف . في المثال أدناه، يمثل الرمز * المحفز.

يبدأ

→

يبرز المحفز

→

عملية تطهير متوسطة

→

المحفز يتراجع

يمكن استخدام هذه التقنية مع خط مكون من 3، وكتلة مكونة من 2.3، وشكل حرف L مكون من 6 أوتاد بقاعدة طولها 3 وعمود طوله 4.

تتضمن الألعاب البديلة الأخرى البدء بثقبين فارغين والانتهاء بوضع وتدين فيهما. وكذلك البدء بثقب واحد هنا والانتهاء بوضع وتد واحد هناك . على لوحة اللعب الإنجليزية، يمكن أن يكون الثقب في أي مكان، ولا يمكن أن ينتهي الوتد الأخير إلا في مكان يسمح بمضاعفات العدد ثلاثة. وبالتالي ، فإن الثقب الموجود في المربع a لا يترك إلا وتدًا واحدًا في المربع a أو p أو O أو C.

دراسات حول لعبة سوليتير ذات الأوتاد

تم إجراء تحليل شامل للعبة. ^{[ 1 ]} وقد قدم هذا التحليل مفهومًا يُسمى دالة الباغودا ، وهي أداة قوية لإظهار عدم جدوى مسألة لعبة سوليتير الأوتاد المعممة المعطاة.

يتم صياغة حل لإيجاد دالة الباغودا، التي تثبت عدم جدوى مشكلة معينة، كمسألة برمجة خطية ويمكن حلها في وقت متعدد الحدود. ^{[ 2 ]}

تناولت ورقة بحثية نُشرت عام 1990 مسائل Hi-Q المعممة التي تعادل مسائل لعبة سوليتير الوتد، وأظهرت اكتمالها من فئة NP . ^{[ 3 ]}

صاغت ورقة بحثية صدرت عام 1996 مسألة لعبة سوليتير ذات الأوتاد كمسألة تحسين توافقي ، وناقشت خصائص المنطقة الممكنة المسماة "مخروط سوليتير". ^{[ 4 ]}

في عام 1999، تم حل لعبة سوليتير الأوتاد بالكامل على جهاز كمبيوتر باستخدام بحث شامل في جميع الاحتمالات الممكنة. وقد تحقق ذلك من خلال الاستفادة من التناظرات، والتخزين الفعال لتشكيلات اللوحة، والتجزئة. ^{[ 5 ]}

في عام 2001 تم تطوير طريقة فعالة لحل مسائل لعبة سوليتير الأوتاد. ^{[ 2 ]}

أظهرت دراسة غير منشورة من عام ١٩٨٩ حول نسخة معممة من اللعبة على رقعة الشطرنج الإنجليزية أن لكل مسألة محتملة في اللعبة المعممة ٢^ ^٩ حلاً مختلفاً محتملاً، باستثناء حالات التناظر، لأن رقعة الشطرنج الإنجليزية تحتوي على ٩ مربعات فرعية مختلفة بحجم ٣×٣. ومن نتائج هذا التحليل وضع حد أدنى لحجم مسائل "الوضع المعكوس" الممكنة، حيث تُترك الخلايا المشغولة في البداية فارغة والعكس صحيح. يجب أن يحتوي أي حل لمثل هذه المسألة على ١١ حركة على الأقل، بغض النظر عن التفاصيل الدقيقة للمسألة.

يمكن إثبات باستخدام الجبر المجرد أنه لا يوجد سوى 5 وضعيات ثابتة على اللوحة حيث يمكن أن تنتهي اللعبة بنجاح بقطعة واحدة. ^{[ 6 ]}

حلول لعبة اللغة الإنجليزية

أقصر حل للعبة الإنجليزية القياسية يتضمن 18 حركة، مع احتساب القفزات المتعددة كحركات فردية:

أقصر حل للعبة سوليتير الإنجليزية
السابق lj ck Pf DP جي آي جيه إتش mGI أنا جي LJHljh سي كيه بيكو فاراد إقرار إم جي آي أوافق dpFDPp ثور يمكن تبديل ترتيب بعض الحركات. لاحظ أنه إذا اعتبرتَ ⚫ ثقبًا و⚪ وتدًا، يمكنك حل اللغز باتباع الحل عكسيًا، بدءًا من الصورة الأخيرة وصولًا إلى الأولى. مع ذلك، يتطلب هذا أكثر من 18 حركة.

تم التوصل إلى هذا الحل في عام 1912 بواسطة إرنست بيرغولت، وثبت أنه أقصر حل ممكن بواسطة جون بيزلي في عام 1964. ^{[ 7 ]}

تتضمن الحلول الأخرى القائمة التالية. وفي هذه الحلول، يكون الترميز المستخدم هو

قائمة حفر البداية
القولون
قائمة أوتاد الهدف النهائي
علامة يساوي
نقطة البداية ونقطة النهاية (تُترك النقاط التي تم تجاوزها كتمرين للقارئ)
، أو / ( يتم استخدام الشرطة المائلة لفصل "الأجزاء" مثل عملية التطهير السداسية )

x:x=ex,lj,ck,Pf,DP,GI,JH,mG,GI,ik,gi,LJ,JH,Hl,lj,jh,CK,pF,AC,CK,Mg,gi,ac,ck,kI,dp,pF,FD,DP,Pp,ox x:x=ex,lj,xe/hj,Ki,jh/ai,ca,fd,hj,ai,jh/MK,gM,hL,Fp,MK,pF/CK,DF,AC,JL,CK,LJ/PD,GI,mG,JH,GI,DP/Ox j:j=lj,Ik,jl/hj,Ki,jh/mk,Gm,Hl,fP,mk,Pf/ai,ca,fd,hj,ai,jh/MK,gM,hL,Fp,MK,pF/CK,DF,AC,JL,CK,LJ/Jj i:i=ki,Jj,ik/lj,Ik,jl/AI,FD,CA,HJ,AI,JH/mk,Hl,Gm,fP,mk,Pf/ai,ca,fd,hj,ai,jh/gi,Mg,Lh,pd,gi,dp/Ki e:e=xe/lj,Ik,jl/ck,ac,df,lj,ck,jl/GI,lH,mG,DP,GI,PD/AI,FD,CA,JH,AI,HJ/pF,MK,gM,JL,MK,Fp/hj,ox,xe d:d=fd,xe,df/lj,ck,ac,Pf,ck,jl/DP,KI,PD/GI,lH,mG,DP,GI,PD/CK,DF,AC,LJ,CK,JL/MK,gM,hL,pF,MK,Fp/pd ب:b=jb,lj/ck,ac,Pf,ck/DP,GI,mG,JH,GI,PD/LJ,CK,JL/MK,gM,hL,pF,MK,Fp/xo,dp,ox/xe/AI/BJ,JH,Hl,lj,jb ب:x=jb,lj/ck,ac,Pf,ck/DP,GI,mG,JH,GI,PD/LJ,CK,JL/MK,gM,hL,pF,MK,Fp/xo,dp,ox/xe/AI/BJ,JH,Hl,lj,ex أ:a=ca,jb,ac/lj,ck,jl/Ik,pP,KI,lj,Ik,jl/GI,lH,mG,DP,GI,PD/CK,DF,AC,LJ,CK,JL/dp,gi,pd,Mg,Lh,gi/ia أ:p=ca,jb,ac/lj,ck,jl/Ik,pP,KI,lj,Ik,jl/GI,lH,mG,DP,GI,PD/CK,DF,AC,LJ,CK,JL/dp,gi,pd,Mg,Lh,gi/dp

هجوم بالقوة الغاشمة على لعبة سوليتير الإنجليزية القياسية

المكان الوحيد الذي يمكن أن ينتهي به الأمر بوجود وتد منفرد هو المركز، أو منتصف أحد الحواف؛ في القفزة الأخيرة، سيكون هناك دائمًا خيار لاختيار ما إذا كنت تريد الانتهاء في المركز أو الحافة.

فيما يلي جدول يوضح عدد ( مواضع اللوحة الممكنة ) مواضع اللوحة الممكنة بعد n قفزة، وإمكانية تحريك الوتد نفسه للقيام بقفزة أخرى ( عدد القفزات الإضافية ). من المثير للاهتمام ملاحظة أن أقصر طريقة للخسارة في اللعبة هي ست حركات، وأن الحل ( باستثناء الدوران والانعكاس ) فريد. مثال على ذلك: 4 ← 16؛ 23 ← 9؛ 14 ← 16؛ 17 ← 15؛ 19 ← 17؛ 31 ← 23. (في هذه الصيغة، تُرقّم الأوتاد من اليسار إلى اليمين، بدءًا من 0، ثم نزولًا في كل صف، وصولًا إلى أقصى اليسار بعد ترقيم كل صف).

ملاحظة: إذا كان من الممكن تدوير موضع واحد على اللوحة و/أو قلبه إلى موضع آخر على اللوحة، فسيتم اعتبار موضعي اللوحة متطابقين.

ن	PBP	NFJ
1	1	0
2	2	0
3	8	0
4	39	0
5	171	0
6	719	1
7	2757	0
8	9751	0
9	31,312	0
10	89,927	1

ن	PBP	NFJ
11	229,614	1
12	517,854	0
13	1,022,224	5
14	1,753,737	10
15	2,598,215	7
16	3,312,423	27
17	3,626,632	47
18	3,413,313	121
19	2,765,623	373
20	1,930,324	925

ن	PBP	NFJ
21	1,160,977	1972
22	600,372	3346
23	265,865	4356
24	100,565	4256
25	32250	3054
26	8688	1715
27	1917	665
28	348	182
29	50	39
30	7	6

ن	PBP	NFJ
31	2	2

بما أنه لا يمكن أن يكون هناك سوى 31 قفزة، فإن أجهزة الكمبيوتر الحديثة تستطيع بسهولة فحص جميع أوضاع اللعبة في وقت معقول. ^{[ 8 ]}

تم إدخال التسلسل "PBP" أعلاه كـ A112737 في OEIS . لاحظ أن إجمالي عدد مواقع اللوحة التي يمكن الوصول إليها (مجموع التسلسل) هو 23,475,688، بينما يبلغ إجمالي عدد مواقع اللوحة الممكنة 8,589,934,590 (33 بت - 1) (2^33)، لذا يمكن الوصول إلى حوالي 2.2% فقط من جميع مواقع اللوحة الممكنة بدءًا من الموقع المركزي الشاغر.

من الممكن أيضاً توليد جميع مواقع رقعة اللعب. وقد تم الحصول على النتائج أدناه باستخدام مجموعة أدوات mCRL2 (انظر مثال peg_solitaire في التوزيعة).

ن	PBP
1	1
2	4
3	12
4	60
5	296
6	1338
7	5648
8	21842

ن	PBP
9	77,559
10	249,690
11	717,788
12	1,834,379
13	4,138,302
14	8,171,208
15	14,020,166
16	20,773,236

ن	PBP
17	26,482,824
18	28,994,876
19	27,286,330
20	22,106,348
21	15,425,572
22	9,274,496
23	4,792,664
24	2,120,101

ن	PBP
25	800,152
26	255,544
27	68,236
28	14727
29	2529
30	334
31	32
32	5

في النتائج أدناه، تم توليد جميع مواقع اللوحة التي تم الوصول إليها بالفعل بدءًا من المركز الفارغ وانتهاءً بالثقب المركزي.

ن	حقيقي
1	1
2	4
3	12
4	60
5	292
6	1292
7	5012
8	16,628

ن	حقيقي
9	49,236
10	127,964
11	285,740
12	546,308
13	902,056
14	1,298,248
15	1,639,652
16	1,841,556

ن	حقيقي
17	1,841,556
18	1,639,652
19	1,298,248
20	902,056
21	546,308
22	285,740
23	127,964
24	49,236

ن	حقيقي
25	16,628
26	5012
27	1292
28	292
29	60
30	12
31	4
32	1

حلول للعبة الأوروبية

توجد 3 مواضع ابتدائية غير متطابقة لها حلول. ^{[ 9 ]} وهي:

1)

٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦

0

1

2

3

4

5

6

المركز الأول القابل للحل في أوروبا

الحل المحتمل: [2:2-0:2, 2:0-2:2, 1:4-1:2, 3:4-1:4, 3:2-3:4, 2:3-2:1, 5:3-3:3, 3:0-3:2, 5:1-3:1, 4:5-4:3, 5:5-5:3, 0:4-2:4, 2:1-4:1, 2:4-4:4, 5:2-5:4, 3:6-3:4, 1:1-1:3, 2:6-2:4, 0:3-2:3, 3:2-5:2, 3:4-3:2, 6:2-4:2, 3:2-5:2, 4:0-4:2, 4:3-4:1, 6:4-6:2, 6:2-4:2، 4:1-4:3، 4:3-4:5، 4:6-4:4، 5:4-3:4، 3:4-1:4، 1:5-1:3، 2:3-0:3، 0:2-0:4]

2)

٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦

0

1

2

3

4

5

6

المركز الأول القابل للحل في أوروبا 2

الحل المحتمل: [1:1-1:3، 3:2-1:2، 3:4-3:2، 1:4-3:4، 5:3-3:3، 4:1-4:3، 2:1-4:1، 2:6-2:4، 4:4-4:2، 3:4-1:4، 3:2-3:4، 5:1-3:1، 4:6-2:6، 3:0-3:2، 4:5-2:5، 0:2-2:2، 2:6-2:4، 6:4-4:4، 3:4-5:4، 2:3-2:1، 2:0-2:2، 1:4-3:4، 5:5-5:3، 6:3-4:3، 4:3-4:1، 6:2-4:2] 3:2-5:2، 4:0-4:2، 5:2-3:2، 3:2-1:2، 1:2-1:4، 0:4-2:4، 3:4-1:4، 1:5-1:3، 0:3-2:3]

3)

٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦

0

1

2

3

4

5

6

المركز الثالث القابل للحل في أوروبا

الحل المحتمل: [2:1-2:3, 0:2-2:2, 4:1-2:1, 4:3-4:1, 2:3-4:3, 1:4-1:2, 2:1-2:3, 0:4-0:2, 4:4-4:2, 3:4-1:4, 6:3-4:3, 1:1-1:3, 4:6-4:4, 5:1-3:1, 2:6-2:4, 1:4-1:2, 0:2-2:2, 3:6-3:4, 4:3-4:1, 6:2-4:2, 2:3-2:1, 4:1-4:3, 5:5-5:3, 2:0-2:2, 2:2-4:2, 3:4-5:4, 4:3-4:1، 3:0-3:2، 6:4-4:4، 4:0-4:2، 3:2-5:2، 5:2-5:4، 5:4-3:4، 3:4-1:4، 1:5-1:3]

أنواع اللوحات

لُعبت لعبة سوليتير الأوتاد على لوحات بأحجام مختلفة، مع أن الحجمين المذكورين أعلاه هما الأكثر شيوعًا. كما لُعبت على لوحة مثلثة، مع السماح بالقفز في جميع الاتجاهات الثلاثة. طالما أن النسخة تتمتع بـ"التكافؤ" المناسب وكبيرة بما يكفي، فمن المرجح أن تكون قابلة للحل. في عام 2025، قام اليوتيوبر مايكل ستيفنز بعرض كل هذه النسخ على لوحة واحدة، وأطلق عليها اسم "أومني جامب". ^{[ 10 ]}

يحتوي أحد الأشكال المثلثية الشائعة على خمسة أوتاد في كل ضلع. لا يمكن إيجاد حل يصل فيه الوتد الأخير إلى الفتحة الفارغة الأصلية إذا كانت الفتحة في أحد المواضع المركزية الثلاثة. يمكن حل وضعية الفتحة الفارغة في الزاوية في عشر حركات، ووضعية الفتحة الفارغة في منتصف الضلع في تسع حركات (بيل 2008).

أقصر حل للمتغير المثلثي
يبدأ 11-13 14-12 4-13 1-4 3-8 10-3 7-2 12-14 15-13-6-1-4-13 أقصر حل للمتغير المثلثي

لعبة فيديو

في 26 يونيو 1992، صدرت لعبة فيديو مستوحاة من لعبة سوليتير التقليدية لجهاز غيم بوي . حملت اللعبة اسم "سوليتير" فقط، وقد طورتها شركة هيكت. في أمريكا الشمالية، أصدرتها شركة دي تي إم سي تحت اسم "قفزة لازلو" .

تتضمن لعبة البروفيسور لايتون والصندوق الشيطاني ستة ألغاز تطلب من اللاعب حل لوحة لعبة سوليتير الإنجليزية من مواقع أولية مختلفة، وآخرها هو التكوين التقليدي.

في الثقافة الشعبية

لعبة Shivers ، وهي لعبة ألغاز تعتمد على النقر والتوجيه ذات طابع رعب ، تتضمن العديد من الألغاز/الألعاب التي يتعين على اللاعب إكمالها. اللغز المسمى " الداما الصينية " هو في الواقع لعبة سوليتير الأوتاد.

تُقدّم سلسلة مطاعم كراكر باريل هذه اللعبة على جميع طاولاتها. اللوحة المستخدمة مثلثة الشكل وتحتوي على 15 فتحة.

في فيلم Cowboy Bebop ، يقضي الخصم الرئيسي، فينسنت فولاجو، معظم وقت فراغه في لعب لعبة سوليتير. ويُخزَّن ناقل هجومه الإرهابي البيولوجي المخطط له ، وهو نوع من الروبوتات النانوية ، داخل كرات لعبة سوليتير.

مراجع

↑ بيرلكامب، إي آر ؛ كونواي، جيه إتش ؛ جاي، آر كيه (2001) [1981]، طرق رابحة لألعابك الرياضية (الطبعة الثانية )، إيه كيه بيترز/سي آر سي برس، رقم ISBN 978-1568811307، OCLC 316054929
1 2 كيومي، م.؛ ماتسوي، ت. (2001)، "خوارزميات قائمة على البرمجة العددية الصحيحة لمسائل لعبة سوليتير"، وقائع المؤتمر الدولي الثاني للحاسوب والألعاب (CG 2000): خوارزميات قائمة على البرمجة العددية الصحيحة لمسائل لعبة سوليتير ، سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب، المجلد 2063، الصفحات 229-240 ، CiteSeerX 10.1.1.65.6244 ، doi : 10.1007/3-540-45579-5_15 ، ISBN 978-3-540-43080-3
↑ أوهارا، ر.؛ إيواتا، س. (1990). "مسألة Hi-Q المعممة هي مسألة NP-كاملة". معاملات IEICE . 73 : 270-273 .
↑ أفيس، د .؛ ديزا، أ. (2001)، "حول مخروط سوليتير وعلاقته بتدفقات السلع المتعددة"، البرمجة الرياضية ، 90 (1): 27-57 ، doi : 10.1007/PL00011419 ، S2CID 7852133
^ ايشلر. جاغر. لودفيج (1999)، c't 07/1999 Spielverderber، Solitaire mit dem Computer lösen (بالألمانية)، المجلد. 7، ص. 218
↑ "الرياضيات و Brainvita" ، ملاحظات حول الرياضيات ، 28 أغسطس 2012 ، تم الاطلاع عليه في 6 سبتمبر 2018
↑ للاطلاع على برهان بيزلي، انظر كتاب طرق الفوز ، المجلد رقم 4 (الطبعة الثانية).
↑ "solboard" . github . 2020-08-31 . تم الاسترجاع في 2020-08-31 . تطبيق حساب القوة الغاشمة للعبة سوليتير الأوتاد
^ ميشيل براسين (ديسمبر 1981)، “Découvrez... le solitaire”، Jeux & Stratégie (بالفرنسية)
↑ فيديو Vsauce على يوتيوب عن لعبة Peg Solitaire. https://www.youtube.com/shorts/HdX6dNIlCQI
↑ انظر إلى لوحات التقاطع المعممة في: صفحة لعبة سوليتير جورج بيغ

للمزيد من القراءة

بيزلي، جون د. (1985)، خبايا لعبة بيغ سوليتير ، مطبعة جامعة أكسفورد ، رقم ISBN 978-0198532033
بيل، جي آي (2008)، "حل لعبة سوليتير المثلثية"، مجلة متواليات الأعداد الصحيحة ، 11 : المقالة 08.4.8، arXiv : math.CO/0703865 ، Bibcode : 2007math......3865B.
بروين، إن جي دي (1972)، "لعبة سوليتير وعلاقتها بالحقل المنتهي" (ملف PDF) ، مجلة الرياضيات الترفيهية ، 5 : 133-137 ، مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2022-10-09
كروس، دي سي ( 1968)، "لعبة سوليتير المربعة وتنوعاتها"، مجلة الرياضيات الترفيهية ، 1 : 121-123
غاردنر، م. ، "الألعاب الرياضية"، مجلة ساينتفك أمريكان206 (6): 156–166، يونيو 1962؛ 214 (2): 112–113، فبراير 1966؛ 214 (5): 127، مايو 1966.
جيفرسون، كريس؛ وآخرون (أكتوبر 2006)، "نمذجة وحل لعبة سوليتير الإنجليزية"، الحوسبة وبحوث العمليات ، 33 (10): 2935-2959 ، CiteSeerX 10.1.1.5.7805 ، doi : 10.1016/j.cor.2005.01.018

روابط خارجية

بوغومولني، ألكسندر، "لعبة سوليتير الأوتاد ونظرية الزمر" ، مجموعة متنوعة من الألغاز والمسائل الرياضية التفاعلية ، تم الاطلاع عليه في 7 سبتمبر 2018
وايت بيكسلز (24 أكتوبر 2017)، لعبة سوليتير الأوتاد: حل متناظر سهل التذكر (فيديو)، يوتيوب، مؤرشف من الأصل بتاريخ 11 ديسمبر 2021

[conway-1] بيرلكامب، إي آر ؛ كونواي، جيه إتش ؛ جاي، آر كيه (2001) [1981]، طرق رابحة لألعابك الرياضية (الطبعة الثانية )، إيه كيه بيترز/سي آر سي برس، رقم ISBN 978-1568811307، OCLC 316054929

[kiyomi-2] 1 2 كيومي، م.؛ ماتسوي، ت. (2001)، "خوارزميات قائمة على البرمجة العددية الصحيحة لمسائل لعبة سوليتير"، وقائع المؤتمر الدولي الثاني للحاسوب والألعاب (CG 2000): خوارزميات قائمة على البرمجة العددية الصحيحة لمسائل لعبة سوليتير ، سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب، المجلد 2063، الصفحات 229-240 ، CiteSeerX 10.1.1.65.6244 ، doi : 10.1007/3-540-45579-5_15 ، ISBN 978-3-540-43080-3

[uehara-3] أوهارا، ر.؛ إيواتا، س. (1990). "مسألة Hi-Q المعممة هي مسألة NP-كاملة". معاملات IEICE . 73 : 270-273 .

[avis-4] أفيس، د .؛ ديزا، أ. (2001)، "حول مخروط سوليتير وعلاقته بتدفقات السلع المتعددة"، البرمجة الرياضية ، 90 (1): 27-57 ، doi : 10.1007/PL00011419 ، S2CID 7852133

[spielverderber-5] ايشلر. جاغر. لودفيج (1999)، c't 07/1999 Spielverderber، Solitaire mit dem Computer lösen (بالألمانية)، المجلد. 7، ص. 218

[6] "الرياضيات و Brainvita" ، ملاحظات حول الرياضيات ، 28 أغسطس 2012 ، تم الاطلاع عليه في 6 سبتمبر 2018

[7] للاطلاع على برهان بيزلي، انظر كتاب طرق الفوز ، المجلد رقم 4 (الطبعة الثانية).

[solboard-8] "solboard" . github . 2020-08-31 . تم الاسترجاع في 2020-08-31 . تطبيق حساب القوة الغاشمة للعبة سوليتير الأوتاد

[9] ميشيل براسين (ديسمبر 1981)، “Découvrez... le solitaire”، Jeux & Stratégie (بالفرنسية)

[10] فيديو Vsauce على يوتيوب عن لعبة Peg Solitaire. https://www.youtube.com/shorts/HdX6dNIlCQI

[11] انظر إلى لوحات التقاطع المعممة في: صفحة لعبة سوليتير جورج بيغ

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗