بيتري ديوال

مضلع بيتري للمجسم ذي الاثني عشر وجهًا هو مضلع عشري معكوس . عند النظر إليه من محور التناظر الخماسي للمجسم، يبدو كمضلع عشري منتظم. كل زوج من الأضلاع المتتالية ينتمي إلى مضلع خماسي واحد (ولكن لا يوجد مضلع ثلاثي ينتمي إلى مضلع خماسي).

في نظرية الرسم البياني الطوبولوجية ، فإن الرسم البياني المزدوج لـ Petrie للرسم البياني المضمن (على مشعب ثنائي الأبعاد مع جميع الوجوه أقراص) هو رسم بياني مضمن آخر تكون فيه مضلعات Petrie للتضمين الأول وجوهاً له. ^{[ 1 ]}

يُطلق على الثنائي بيتري أيضًا اسم بيتريال ، وهو الثنائي بيتري للرسم البياني المضمن${\displaystyle G}$قد يُشار إليه بـ${\displaystyle G^{\pi }}$[ ^{2 ]} يمكن الحصول عليه من نظام دوران موقّع أو تمثيل الرسم ^{البياني} الشريطي للتضمين عن طريق لف كل حافة من حواف التضمين.

كما هو الحال في الرسم البياني الثنائي المعتاد ، فإن تكرار عملية بيتري الثنائية مرتين يعيدنا إلى تمثيل السطح الأصلي. على عكس الرسم البياني الثنائي المعتاد (وهو تمثيل لرسم بياني مختلف عمومًا على نفس السطح)، فإن بيتري الثنائي هو تمثيل لنفس الرسم البياني على سطح مختلف عمومًا. ^{[ 1 ]}

الازدواجية السطحية وازدواجية بيتري هما اثنتان من عمليات ويلسون الست ، وتولدان معًا مجموعة هذه العمليات. ^{[ 3 ]}

يؤدي تطبيق ثنائية بيتري على متعدد السطوح المنتظم إلى إنتاج خريطة منتظمة . ^{[ 2 ]} عدد الوجوه المائلة ذات h -gonal هو g /2 h ، حيث g هي رتبة المجموعة ، و h هو عدد كوكسيتر للمجموعة.

على سبيل المثال، يحتوي الشكل الثنائي لبيتري للمكعب ( وهو رسم بياني ثنائي الأجزاء بثمانية رؤوس واثني عشر ضلعًا، مُضمّن على كرة ذات ستة أوجه مربعة) على أربعة أوجه سداسية ^{[ 4 ]} ، وهي خطوط استواء المكعب. من الناحية الطوبولوجية، يُشكّل هذا الشكل تضمينًا لنفس الرسم البياني على سطح حلقي. ^{[ 1 ]}

الخرائط المنتظمة التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة هي كما يلي.

• يحتوي رباعي الأوجه البتريالي ، {3,3} ^π ، على 4 رؤوس و6 حواف و3 أوجه مربعة مائلة. وبخاصية أويلر ، χ ، التي تساوي 1، فهو مطابق طوبولوجيًا لنصف المكعب ، {4,3}/2.
• المكعب البتريالي ، {4,3} ^π ، له 8 رؤوس، و12 ضلعًا، و4 سداسيات مائلة، ملونة هنا بالأحمر والأخضر والأزرق والبرتقالي. وبخاصية أويلر التي تساوي صفرًا، يمكن رؤيته أيضًا في الوجوه السداسية الأربعة للتبليط السداسي كنوع {6,3} _(2,0) .
• يحتوي المجسم الثماني الأوجه البتريالي ، {3,4} ^π ، على 6 رؤوس و12 ضلعًا و4 أوجه سداسية مائلة. وله خاصية أويلر تساوي -2، وله تحويل إلى التبليط السداسي الزائدي من الرتبة 4 ، من النوع {6,4} ₃ .
• يحتوي المجسم ذو الاثني عشر وجهًا البتريل ، {5,3} ^π ، على 20 رأسًا، و30 حافة، و6 أوجه عشرية مائلة، وخاصية أويلر −4، المرتبطة بالتبليط الزائدي من النوع {10,3} ₅ .
• يحتوي المجسم العشري الوجوه البتريالي ، {3,5} ^π ، على 12 رأسًا و30 حافة و6 وجوه عشرية مائلة، وخاصية أويلر −12، المرتبطة بالتبليط الزائدي من النوع {10,5} ₃ .

البتلات العادية

اسم	رباعي الأوجه البتلي	مكعب بتريال	ثماني السطوح البتلي	مجسم ذو اثني عشر وجهًا بتليًا	مجسم عشروني الوجوه بتريل
رمز	{3,3} π , {4,3} 3	{4,3} π , {6,3} 4	π {3,4} ، π {6,4} 3	{5,3} π , {10,3}	{3,5} π , {10,5}
(v,e,f), χ	(4,6,3)، χ = 1	(8,12,4)، χ = 0	(6,12,4)، χ = −2	(20,30,6)، χ = −4	(12,30,6)، χ = −12
وجوه	3 مربعات مائلة	4 سداسيات مائلة		6 أشكال عشرية مائلة
صورة
الرسوم المتحركة
شخصيات ذات صلة	{4,3} 3 = {4,3}/2 = {4,3} (2,0)	{6,3} 3 = {6,3} (2,0)	{6,4} 3 = {6,4} (4,0)	{10,3} 5	{10,5} 3

يوجد أيضًا 4 بتلات لمجسمات كبلر-بوينسو :

• يحتوي المجسم الاثني عشري الكبير البتريل ، {5,5/2} ^π ، على 12 رأسًا و30 حافة و10 أوجه سداسية مائلة مع خاصية أويلر ، χ ، تساوي -8.
• يحتوي المجسم النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهًا ، {5/2,5} ^π ، على 12 رأسًا و30 حافة و10 أوجه سداسية مائلة مع χ يساوي -8.
• يحتوي المجسم العشري الوجوه الكبير البتريالي ، {3,5/2} ^π ، على 12 رأسًا، و30 حافة، و6 أوجه عشرية مائلة مع χ يساوي -12.
• يحتوي المجسم النجمي الكبير ذو الاثني عشر وجهًا ، {5/2,3} ^π ، على 20 رأسًا و30 حافة و6 أوجه عشرية مائلة مع χ يساوي -4.

بتلات نجمية منتظمة

اسم	مجسم اثني عشري كبير بتلاتي	مجسم صغير نجمي الشكل ذو اثني عشر وجهًا	مجسم عشروني الوجوه كبير بتلي	مجسم نجمي كبير ذو اثني عشر وجهًا
رمز	{5,5/2} π , {6,5/2}	{5/2,5} π , {6,5}	{3,5/2} π , {10/3,5/2}	{5/2,3} π , {10/3,3}
(v,e,f), χ	(12،30،10)، χ = -8	(12،30،10)، χ = -8	(12,30,6)، χ = -12	(20،30،6)، χ = -4
وجوه	10 أشكال سداسية مائلة		ستة مخططات عشرية مائلة (مخطط عشري أزرق واحد محدد)
صورة
الرسوم المتحركة