مشكلة التعميم المتعدد

تُشير مشكلة التعميم المتعدد إلى قصورٍ مُفترض ^{[ 1 ]} في المنطق التقليدي عن وصف الاستدلالات الصحيحة التي تتضمن مُكمِّمات متعددة . على سبيل المثال، من البديهي أنه إذا:

هناك قطة يخشاها كل فأر

وبناءً على ذلك، يترتب منطقياً ما يلي:

جميع الفئران تخاف من قطة واحدة على الأقل .

يسمح بناء الجملة في المنطق التقليدي باستخدام مُحدِّد كمي واحد فقط، أي أن هناك أربعة أنواع من الجمل: "كل أ هي ب"، و"لا يوجد أ هو ب"، و"بعض أ هو ب"، و"بعض أ ليس ب". بما أن الجمل السابقة تحتوي كل منها على مُحدِّدَين كميين ("بعض" و"كل" في الجملة الأولى، و"كل" و"واحد على الأقل" في الجملة الثانية)، فلا يمكن تمثيلها بشكل كافٍ في المنطق التقليدي. أفضل ما يمكن للمنطق التقليدي فعله هو دمج المُحدِّد الكمي الثاني من كل جملة في الحد الثاني، مما يجعل العبارتين اللتين تبدوان مصطنعتين "يخشاهما كل فأر" و"يخاف من قطة واحدة على الأقل". هذا في الواقع "يُخفي" هذه المُحدِّدات الكمية، الضرورية لصحة الاستدلال، داخل الحدود الموصولة. لذا، فإن الجملة "يخشى كل فأر قطًا ما" تُعطى نفس الشكل المنطقي للجملة "قط ما جائع". وبالتالي، فإن الشكل المنطقي في لغة الترجمة هو:

بعض العلامات A هي علامات B

كل علامات C هي علامات D

وهذا غير صحيح بشكل واضح.

كان كتاب " Begriffsschrift " لغوتلوب فريجه (1879) أول حساب منطقي قادر على التعامل مع هذه الاستدلالات ، وهو سلف منطق المسندات الحديث ، الذي تناول المُكمِّمات باستخدام ربط المتغيرات. وبتواضع، لم يدّعِ فريجه أن منطقه أكثر تعبيرًا من الحسابات المنطقية الموجودة آنذاك، لكنّ المعلقين على منطق فريجه يعتبرون هذا أحد إنجازاته الرئيسية.

باستخدام حساب التفاضل والتكامل الحديث ، نكتشف بسرعة أن العبارة غامضة.

هناك قطة يخشاها كل فأر

قد يعني ذلك (يخشى كل فأر قطة ما) (يمكن إعادة صياغتها على النحو التالي: كل فأر يخشى قطة ما )، أي

لكل فأر m، يوجد قط c، بحيث يخاف m من c،

${\displaystyle \forall m\,(\,{\text{Mouse}}(m)\rightarrow \exists c\,({\text{Cat}}(c)\land {\text{Fears}}(m,c))\,)}$

وفي هذه الحالة تكون النتيجة بديهية.

لكن يمكن أن يعني ذلك أيضًا أن هناك قطة (يخشاها كل فأر) (يمكن إعادة صياغتها على النحو التالي: هناك قطة تخشاها جميع الفئران )، أي

يوجد قط واحد c، بحيث يكون الفأر m خائفًا من c لكل فأر m.

${\displaystyle \exists c\,(\,{\text{Cat}}(c)\land \forall m\,({\text{Mouse}}(m)\rightarrow {\text{Fears}}(m,c))\,)}$

يوضح هذا المثال أهمية تحديد نطاق هذه المحددات الكمية مثل " لكل" و "يوجد" .

• باتريك سوبس ، مقدمة في المنطق ، دار نشر دي. فان نوستراند، 1957، رقم ISBN 978-0-442-08072-3.
• أ. ج. هاميلتون، المنطق للرياضيين ، مطبعة جامعة كامبريدج، 1978، رقم ISBN 0-521-29291-3.
• بول هالموس وستيفن جيفانت، المنطق في الجبر ، MAA، 1998، ISBN 0-88385-327-2.