مسائل تتضمن متتابعات حسابية

تُعتبر المشكلات التي تتضمن المتتابعات الحسابية ذات أهمية في نظرية الأعداد ، ^{[ 1 ]} والتوافقية ، وعلوم الحاسوب ، من وجهتي النظر النظرية والتطبيقية.

أوجد عدد عناصر أكبر مجموعة جزئية من {1, 2, ..., m } التي لا تحتوي على متتابعة عددية من k حدًا مختلفًا (يرمز لها بـ A_{_k} ( m )) . لا يشترط أن تكون عناصر المتتابعات الممنوعة متتالية. على سبيل المثال، A _{_k} (10) = 8، لأن المجموعة {1, 2, 3, 5, 6, 8 , 9, 10} لا تحتوي على متتابعة حسابية طولها 4، بينما تحتوي جميع المجموعات الجزئية المكونة من 9 عناصر من {1, 2, ..., 10} على متتابعة حسابية طولها 4.                

في عام 1936، طرح بول إردوش وبال توران سؤالاً يتعلق بهذا العدد ^{[ 2 ]} ، ورصد إردوش جائزة قدرها 1000 دولار لمن يجيب عليه. وقد حصل إندري سيميريدي على الجائزة بعد نشر حلٍّ في عام 1975، وهو ما يُعرف الآن بنظرية سيميريدي .

تنص نظرية سيميريدي على أن مجموعة الأعداد الطبيعية ذات الكثافة التقاربية العليا غير الصفرية تحتوي على متواليات حسابية محدودة، من أي طول k عشوائي .

وضع إردوش تخمينًا أكثر عمومية يترتب عليه أن

تحتوي متتالية الأعداد الأولية على متواليات حسابية بأي طول.

وقد أثبت بن جرين وتيرينس تاو هذه النتيجة في عام 2004، وهي تُعرف الآن باسم نظرية جرين-تاو . ^{[ 3 ]}

انظر أيضًا إلى نظرية ديريشليه حول المتتابعات الحسابية .

اعتبارًا من عام 2020، أطول سلسلة حسابية معروفة للأعداد الأولية يبلغ طولها 27: ^{[ 4 ]}

224584605939537911 + 81292139·23#· n ، حيث n = 0 إلى 26. ( 23# = 223092870 )

حتى عام 2011، بلغ طول أطول متتالية حسابية معروفة من الأعداد الأولية المتتالية 10. وقد تم اكتشافها عام 1998. ^{[ 5 ] [ 6 ]} تبدأ المتتالية بعدد مكون من 93 رقمًا

100 99697 24697 14247 63778 66555 87969 84032 95093 24689

19004 18036 03417 75890 43417 03348 88215 90672 29719

وله فرق مشترك قدره 210.

تتناول نظرية الأعداد الأولية للمتتابعات الحسابية التوزيع التقاربي للأعداد الأولية في المتتابعة الحسابية.

• أوجد أصغر قيمة لـ l _n بحيث يمكن تغطية أي مجموعة من n من البواقي modulo p بواسطة متتابعة حسابية طولها l _n . ^{[ 7 ]}
• بالنسبة لمجموعة معينة S من الأعداد الصحيحة، أوجد أقل عدد من المتتابعات الحسابية التي تغطي S
• بالنسبة لمجموعة معينة S من الأعداد الصحيحة، أوجد أقل عدد من المتتابعات الحسابية غير المتداخلة التي تغطي S
• أوجد عدد الطرق لتقسيم المجموعة {1،  ...، n } إلى متتابعات حسابية. ^{[ 8 ]} 
• أوجد عدد الطرق لتقسيم المجموعة {1،  ...، n } إلى متتابعات حسابية طولها 2 على الأقل ولها نفس الدورة. ^{[ 9 ]} 
• انظر أيضًا نظام التغطية

• التوافقية الحسابية
• برايم جريد