مجموعة التبديل من الرتبة 3
في نظرية الزمر المنتهية الرياضية ، تعمل زمرة التبديل من الرتبة 3 بشكل متعدٍ على مجموعة بحيث يكون لمثبت نقطة ما 3 مدارات . بدأ هيغمان ( 1964 ، 1971 ) دراسة هذه الزمر. وقد اكتُشفت العديد من الزمر البسيطة المتفرقة كزمر تبديل من الرتبة 3.
تصنيف
جميع مجموعات التبديل الأولية من الرتبة 3 تنتمي إلى إحدى الفئات التالية:
- صنّف كاميرون (1981) تلك الأنواع على النحو التالي:حيث يكون الموضع T لـ T 0 بسيطًا، و T 0 عبارة عن مجموعة متعدية من الدرجة √ n .
- صنف ليبك (1987) تلك التي تحتوي على مجموعة فرعية عادية أبيلية أولية منتظمة
- صنّف باناي (1971-1972) تلك التي تكون قاعدتها مجموعة متناوبة بسيطة
- صنف كانتور وليبلر (1982) تلك التي تكون قاعدتها مجموعة كلاسيكية بسيطة
- قام ليبيك وساكسل (1986) بتصنيف أولئك الذين يكون أساسهم مجموعة استثنائية بسيطة أو مجموعة متفرقة.
أمثلة
إذا كانت G أي زمرة متعدية من الرتبة 4 تؤثر على مجموعة S ، فإن تأثيرها على أزواج عناصر S يُشكل زمرة تبديل من الرتبة 3. [ 1 ] على وجه الخصوص، فإن معظم الزمر المتناوبة، والزمر المتناظرة، وزمر ماثيو لها تأثيرات متعدية من الرتبة 4، وبالتالي يمكن تحويلها إلى زمر تبديل من الرتبة 3.
إن المجموعة الخطية العامة الإسقاطية التي تعمل على الخطوط في فضاء إسقاطي ذي بُعد لا يقل عن 3 هي مجموعة تبديل من الرتبة 3.
العديد من مجموعات التبديل الثلاثي هي مجموعات تبديل من الرتبة 3 (في تأثير التبديلات).
من الشائع أن يكون مُثبِّت النقطة لمجموعة تبديل من الرتبة 3، والذي يؤثر على أحد المدارات، مجموعة تبديل من الرتبة 3 أيضًا. وهذا يُنتج عدة "سلاسل" من مجموعات التبديل من الرتبة 3، مثل سلسلة سوزوكي والسلسلة التي تنتهي بمجموعات فيشر .
بعض مجموعات التبديل غير العادية من الرتبة 3 (العديد منها من ( Liebeck & Saxl 1986 ) ) مدرجة أدناه.
في كل صف من الجدول أدناه، ضمن الجدول في العمود المُسمى "الحجم"، يُمثل الرقم الموجود على يسار علامة المساواة درجة مجموعة التبديلات المذكورة في ذلك الصف. أما في الجدول، فيُظهر المجموع الموجود على يمين علامة المساواة أطوال مدارات مُثبت نقطة من مجموعة التبديلات. على سبيل المثال، يُشير التعبير 15 = 1 + 6 + 8 في الصف الأول من الجدول تحت العنوان إلى أن درجة مجموعة التبديلات في ذلك الصف هي 15، وأن أطوال مدارات مُثبت نقطة من مجموعة التبديلات هي 1 و6 و8 على التوالي.
| مجموعة | مثبت النقطة | مقاس | تعليقات |
|---|---|---|---|
| A 6 = L 2 (9) = Sp 4 (2)' = M 10 ' | S 4 | 15 = 1 + 6 + 8 | أزواج من النقاط، أو مجموعات من 3 كتل من 2، في تمثيل التبديل ذي 6 نقاط؛ فئتان |
| 9 | L 2 (8):3 | 120 = 1 + 56 + 63 | خط إسقاطي P 1 (8)؛ فئتان |
| ١٠ | (A 5 × A 5 ):4 | 126 = 1 + 25 + 100 | مجموعات من كتلتين من 5 في تمثيل التبديل الطبيعي ذي العشر نقاط |
| L 2 (8) | 7:2 = Dih(7) | 36 = 1 + 14 + 21 | أزواج النقاط في P 1 (8) |
| L 3 (4) | أ 6 | 56 = 1 + 10 + 45 | الأشكال البيضاوية المفرطة في P 2 (4)؛ ثلاث فئات |
| L 4 (3) | PSp 4 (3):2 | 117 = 1 + 36 + 80 | الاستقطابات التبسيطية لـ P 3 (3)؛ فئتان |
| G 2 (2)' = U 3 (3) | PSL 3 (2) | 36 = 1 + 14 + 21 | سلسلة سوزوكي |
| U 3 (5) | 7 | ٥٠ = ١ + ٧ + ٤٢ | التأثير على رؤوس مخطط هوفمان-سينغلتون ؛ ثلاث فئات |
| U 4 (3) | L 3 (4) | 162 = 1 + 56 + 105 | فصلان |
| Sp 6 (2) | G 2 (2) = U 3 (3):2 | 120 = 1 + 56 + 63 | مجموعة شيڤالي من النوع G 2 التي تعمل على جبر الأوكتونيون فوق GF(2) |
| Ω 7 (3) | G 2 (3) | 1080 = 1 + 351 + 728 | مجموعة شيڤالي من النوع G 2 التي تؤثر على الأوكتونيونات التخيلية لجبر الأوكتونيونات على GF(3)؛ فئتان |
| U 6 (2) | U 4 (3):2 2 | 1408 = 1 + 567 + 840 | المُثبِّت النقطي هو صورة التمثيل الخطي الناتج عن "إنزال" التمثيل المركب لمجموعة ميتشل (مجموعة انعكاس مركبة) بتردد 2؛ ثلاث فئات |
| م 11 | م 9 :2 = 3 2 :SD 16 | 55 = 1 + 18 + 36 | أزواج النقاط في تمثيل التبديل ذي 11 نقطة |
| م 12 | م 10 :2 = أ 6 .2 2 = PΓL(2,9) | 66 = 1 + 20 + 45 | أزواج من النقاط، أو أزواج من الكتل المتكاملة لـ S(5,6,12)، في تمثيل التبديل ذي 12 نقطة؛ فئتان |
| م 22 | 2 4 :A 6 | 77 = 1 + 16 + 60 | كتل من S(3,6,22) |
| J 2 | U 3 (3) | 100 = 1 + 36 + 63 | سلسلة سوزوكي ؛ التأثير على رؤوس مخطط هول-يانكو |
| مجموعة هيغمان-سيمز HS | م 22 | 100 = 1 + 22 + 77 | التأثير على رؤوس الرسم البياني لهيغمان-سيمز |
| م 22 | 7 | 176 = 1 + 70 + 105 | فصلان |
| م 23 | م 21 :2 = ل 3 (4):2 2 = PΣL(3,4) | 253 = 1 + 42 + 210 | أزواج النقاط في تمثيل التبديل المكون من 23 نقطة |
| م 23 | 2 4 :A 7 | 253 = 1 + 112 + 140 | كتل من S(4,7,23) |
| مجموعة ماكلوغلين McL | U 4 (3) | 275 = 1 + 112 + 162 | التأثير على رؤوس مخطط ماكلوغلين |
| م 24 | م 22 :2 | 276 = 1 + 44 + 231 | أزواج النقاط في تمثيل التبديل ذي 24 نقطة |
| G 2 (3) | U 3 (3):2 | 351 = 1 + 126 + 244 | فصلان |
| G 2 (4) | J 2 | 416 = 1 + 100 + 315 | سلسلة سوزوكي |
| م 24 | م 12 :2 | 1288 = 1 + 495 + 792 | أزواج من الأعداد الاثني عشرية المتكاملة في تمثيل التبديل ذي 24 نقطة |
| مجموعة سوزوكي سوزوكي | G 2 (4) | 1782 = 1 + 416 + 1365 | سلسلة سوزوكي |
| G 2 (4) | U 3 (4):2 | 2016 = 1 + 975 + 1040 | |
| ثاني أكسيد الكربون | PSU 6 (2):2 | 2300 = 1 + 891 + 1408 | |
| مجموعة رودفاليس رو | 2 F 4 (2) | 4060 = 1 + 1755 + 2304 | |
| Fi 22 | 2.PSU 6 (2) | 3510 = 1 + 693 + 2816 | 3- عمليات النقل |
| Fi 22 | Ω 7 (3) | 14080 = 1 + 3159 + 10920 | فصلان |
| Fi 23 | 2. Fi 22 | 31671 = 1 + 3510 + 28160 | 3- عمليات النقل |
| G 2 (8).3 | SU 3 (8).6 | 130816 = 1 + 32319 + 98496 | |
| Fi 23 | PΩ 8 + (3).S 3 | 137632 = 1+28431+109200 | |
| Fi 24 ' | Fi 23 | 306936 = 1 + 31671 + 275264 | 3- عمليات النقل |
ملحوظات
- ↑ المدارات الثلاثة هي: الزوج الثابت نفسه؛ تلك الأزواج التي لها عنصر واحد مشترك مع الزوج الثابت؛ وتلك الأزواج التي ليس لها عنصر مشترك مع الزوج الثابت.
مراجع
- باناي، إيتشي (1971-1972)، "المجموعات الفرعية القصوى ذات الرتبة المنخفضة للمجموعات المتناظرة والمتناوبة المنتهية"، مجلة كلية العلوم، جامعة طوكيو، القسم الأول أ، الرياضيات ، 18 : 475-486 ، الرقم الدولي الموحد للدوريات 0040-8980 ، MR 0357559
- بروير، الإمارات العربية المتحدة؛ كوهين، صباحا؛ Neumaier، Arnold (1989)، الرسوم البيانية للمسافة العادية ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [النتائج في الرياضيات والمجالات ذات الصلة (3)]، المجلد. 18، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-50619-5، MR 1002568
- كاميرون، بيتر ج. (1981)، "مجموعات التبديل المنتهية والمجموعات البسيطة المنتهية"، نشرة جمعية لندن الرياضية ، 13 (1): 1-22 ، CiteSeerX 10.1.1.122.1628 ، doi : 10.1112/blms/13.1.1 ، ISSN 0024-6093 ، MR 0599634
- هيغمان ، دونالد ج. (1964)، “مجموعات التقليب المحدودة من الرتبة 3” (PDF) ، Mathematische Zeitschrift ، 86 (2): 145–156 ، دوى : 10.1007 / BF01111335 ، hdl : 2027.42 / 46298 ، ISSN 0025-5874 ، السيد 0186724 ، S2CID 51836896
- هيغمان، دونالد ج. (1971)، "دراسة استقصائية لبعض الأسئلة والنتائج المتعلقة بمجموعات التبديل من الرتبة 3" ، وقائع المؤتمر الدولي للرياضيين (نيس، 1970) ، المجلد 1، غوتييه-فيلار، الصفحات 361-365 ، MR 0427435 ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 25-11-2017 ، تم استرجاعه بتاريخ 26-11-2010
- كانتور، ويليام م.؛ ليبلر، روبرت أ. (1982)، "تمثيلات التبديل من الرتبة 3 للمجموعات الكلاسيكية المنتهية" (ملف PDF) ، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 271 (1): 1-71 ، doi : 10.2307/1998750 ، ISSN 0002-9947 ، JSTOR 1998750 ، MR 0648077
- ليبك، مارتن و. (1987)، "مجموعات التبديل الأفينية من الرتبة الثالثة"، وقائع الجمعية الرياضية بلندن ، السلسلة الثالثة، 54 (3): 477-516 ، CiteSeerX 10.1.1.135.7735 ، doi : 10.1112/plms/s3-54.3.477 ، ISSN 0024-6115 ، MR 0879395
- ليبك، مارتن دبليو ؛ ساكسل، جان (1986)، "مجموعات التبديلات الأولية المنتهية من الرتبة الثالثة"، نشرة جمعية لندن الرياضية ، 18 (2): 165-172 ، doi : 10.1112/blms/18.2.165 ، ISSN 0024-6093 ، MR 0818821
- المجموعات المنتهية