تبديل ستيرلينغ

في الرياضيات التوافقية ، يُعرف تبديل ستيرلينغ من الرتبة k بأنه تبديل للمجموعة المتعددة 1، 1، 2، 2، ...، k ، k (مع وجود نسختين من كل قيمة من 1 إلى k ) مع خاصية إضافية تتمثل في أنه لكل قيمة i تظهر في التبديل، تكون أي قيم بين النسختين من i أكبر من i . على سبيل المثال، تبديلات ستيرلينغ الخمسة عشر من الرتبة 3 هي

1,1,2,2,3,3; 1,2,2,1,3,3; 2,2,1,1,3,3;    

1,1,2,3,3,2; 1,2,2,3,3,1; 2,2,1,3,3,1;    

1,1,3,3,2,2; 1,2,3,3,2,1; 2,2,3,3,1,1;    

1,3,3,1,2,2; 1,3,3,2,2,1; 2,3,3,2,1,1;    

3,3,1,1,2,2; 3,3,1,2,2,1; 3,3,2,2,1,1.    

عدد تباديل ستيرلينغ من الرتبة k يُعطى بواسطة المضروب المزدوج (2 k − 1)!!.  

تم تقديم تباديل ستيرلينغ بواسطة جيسيل وستانلي ^{[ 1 ]} لإثبات أن بعض الأعداد التي تظهر كمعاملات في التعبيرات الكسرية التي تتضمن أعداد ستيرلينغ هي أعداد غير سالبة. على وجه التحديد، بجعل الأعداد${\textstyle \left\langle \!\left\langle {n \atop k}\right\rangle \!\right\rangle }$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\left\{{n+m \atop m}\right\}x^{m}={\frac {\sum _{k=0}^{n}\left\langle \!\left\langle {n \atop k}\right\rangle \!\right\rangle x^{k+1}}{(1-x)^{2n+1}}}}$

حيث${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}}$تشير إلى أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني ، وقد أثبت جيسيل وستانلي ذلك.${\textstyle \left\langle \!\left\langle {n \atop k}\right\rangle \!\right\rangle }$يحسب عدد تباديل ستيرلينغ من الرتبة${\displaystyle n}$بالضبط${\displaystyle k}$الصعود. هذا الارتباط بأعداد ستيرلنغ هو ما يفسر اسم "تباديل ستيرلنغ". في الوقت نفسه، الأعداد${\textstyle \left\langle \!\left\langle {n \atop k}\right\rangle \!\right\rangle }$وتسمى هذه الأرقام بأعداد أويلر من الدرجة الثانية .

يمكن استخدام تباديل ستيرلينغ لوصف التسلسلات التي يمكن من خلالها إنشاء شجرة مستوية جذرية ذات k حافة، وذلك بإضافة الأوراق واحدة تلو الأخرى إلى الشجرة. فإذا رُقِّمت الحواف حسب ترتيب إضافتها، فإن تسلسل الأرقام في جولة أويلر للشجرة (المُشكَّلة بمضاعفة حواف الشجرة واجتياز أبناء كل عقدة من اليسار إلى اليمين) يُعد تبديلاً من تباديل ستيرلينغ. وعلى العكس، يصف كل تبديل من تباديل ستيرلينغ تسلسلاً لبناء الشجرة، حيث تكون الحافة التالية الأقرب إلى الجذر من الحافة المُسماة i هي الحافة التي يُحيط زوج قيمها بزوج قيم i في التبديل. ^{[ 2 ]}

تم تعميم تباديل ستيرلينغ لتشمل تباديل مجموعة متعددة تحتوي على أكثر من نسختين من كل قيمة. ^{[ 3 ]} كما درس الباحثون عدد تباديل ستيرلينغ التي تتجنب أنماطًا معينة. ^{[ 4 ]}

• اقتران لانغفورد ، وهو نوع مختلف من التبديل لنفس المجموعة المتعددة