موتر ثلاثي البؤرة

في مجال رؤية الحاسوب ، يُعدّ الموتر ثلاثي البؤر (أو الموتر الثلاثي ) مصفوفة رقمية ثلاثية الأبعاد (3×3×3 ) تُجسّد جميع العلاقات الهندسية الإسقاطية بين ثلاث مناظر. يربط هذا الموتر إحداثيات النقاط أو الخطوط المتناظرة في المناظر الثلاثة، وهو مستقل عن بنية المشهد ويعتمد فقط على الحركة النسبية (أي الوضع ) بين المناظر الثلاثة ومعاملات معايرتها الذاتية. لذا، يُمكن اعتبار الموتر ثلاثي البؤر تعميمًا للمصفوفة الأساسية في ثلاثة مناظر. تجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من أن الموتر يتكون من 27 عنصرًا، إلا أن 18 عنصرًا منها فقط مستقلة فعليًا.

يوجد أيضًا ما يُسمى بالموتر ثلاثي البؤر المُعاير ، الذي يربط إحداثيات النقاط والخطوط في ثلاث مناظر بمعاييرها الجوهرية، ويُشفّر الوضع النسبي للكاميرات حتى المقياس الكلي، بإجمالي 11 عنصرًا مستقلًا أو درجة حرية. تسمح درجات الحرية المُخفّضة بتقليل عدد التطابقات اللازمة لملاءمة النموذج، على حساب زيادة اللاخطية. ^{[ 1 ]}

يمكن أيضًا اعتبار الموتر مجموعة من ثلاث مصفوفات من الرتبة الثانية بحجم 3 × 3.${\displaystyle {\mathbf {T} }_{1},\;{\mathbf {T} }_{2},\;{\mathbf {T} }_{3}}$تُعرف باسم شرائح الارتباط الخاصة بها . بافتراض أن مصفوفات الإسقاط لثلاثة مناظر هي${\displaystyle {\mathbf {P} }=[{\mathbf {I} }\;|\;{\mathbf {0} }]}$،${\displaystyle {\mathbf {P} }'=[{\mathbf {A} }\;|\;{\mathbf {a} }_{4}]}$و${\displaystyle {\mathbf {P} ''}=[{\mathbf {B} }\;|\;{\mathbf {b} }_{4}]}$يمكن التعبير عن شرائح الارتباط للموتر المقابل بصيغة مغلقة كما يلي:${\displaystyle {\mathbf {T} }_{i}={\mathbf {a} }_{i}{\mathbf {b} }_{4}^{t}-{\mathbf {a} }_{4}{\mathbf {b} }_{i}^{t},\;i=1\ldots 3}$، أين ${\displaystyle {\mathbf {a} }_{i},\;{\mathbf {b} }_{i}}$تمثل هذه القيم الأعمدة ^رقم i من مصفوفات الكاميرا. ولكن عمليًا، يتم تقدير الموتر من خلال مطابقة النقاط والخطوط عبر المشاهد الثلاثة.

من أهم خصائص موتر البؤرة الثلاثية أنه يُنشئ علاقات خطية بين الخطوط والنقاط في ثلاث صور. وبشكل أكثر تحديدًا، بالنسبة لثلاثيات من النقاط المتناظرة${\displaystyle {\mathbf {x} }\;\leftrightarrow \;{\mathbf {x} }'\;\leftrightarrow \;{\mathbf {x} }''}$وأي خطوط مقابلة${\displaystyle {\mathbf {l} }\;\leftrightarrow \;{\mathbf {l} }'\;\leftrightarrow \;{\mathbf {l} }''}$من خلالها، تسري القيود الثلاثية الخطية التالية :

${\displaystyle ({\mathbf {l} }^{\prime t}\left[{\mathbf {T} }_{1},\;{\mathbf {T} }_{2},\;{\mathbf {T} }_{3}\right]{\mathbf {l} }'')[{\mathbf {l} }]_{\times }={\mathbf {0} }^{t}}$

${\displaystyle {\mathbf {l} }^{\prime t}\left(\sum _{i}x_{i}{\mathbf {T} }_{i}\right){\mathbf {l} }''=0}$

${\displaystyle {\mathbf {l} }^{\prime t}\left(\sum _{i}x_{i}{\mathbf {T} }_{i}\right)[{\mathbf {x} }'']_{\times }={\mathbf {0} }^{t}}$

${\displaystyle [{\mathbf {x} }']_{\times }\left(\sum _{i}x_{i}{\mathbf {T} }_{i}\right){\mathbf {l} }''={\mathbf {0} }}$

${\displaystyle [{\mathbf {x} }']_{\times }\left(\sum _{i}x_{i}{\mathbf {T} }_{i}\right)[{\mathbf {x} }'']_{\times }={\mathbf {0} }_{3\times 3}}$

أين${\displaystyle [\cdot ]_{\times }}$يرمز إلى مصفوفة الضرب الاتجاهي المتناظرة المائلة .

بمعرفة موتر البؤرة الثلاثية لثلاثة مناظر وزوج من النقاط المتطابقة في منظرين، يُمكن تحديد موقع النقطة في المنظر الثالث دون الحاجة إلى أي معلومات إضافية. يُعرف هذا بنقل النقطة ، وينطبق الأمر نفسه على الخطوط والمخروطيات. بالنسبة للمنحنيات العامة، يُمكن تحقيق النقل من خلال نموذج منحنى تفاضلي محلي لدوائر التماس (أي الانحناء)، والذي يُمكن نقله بعد ذلك كمخروطيات. ^{[ 2 ]} دُرِسَ نقل نماذج الرتبة الثالثة التي تعكس التواء الفضاء باستخدام موترات بؤرة ثلاثية مُعايرة، ^{[ 3 ]} ولكنه لا يزال يُمثل مشكلة مفتوحة بالنسبة لموترات البؤرة الثلاثية غير المُعايرة.

• هارتلي، ريتشارد آي. (1997). "الخطوط والنقاط في ثلاث مناظر وموتر البؤرة الثلاثية". المجلة الدولية لرؤية الحاسوب . 22 (2): 125-140 . doi : 10.1023/A:1007936012022 . S2CID 8979544 . 
• تور، بي إتش إس؛ زيسرمان، أ. (1997). "المعايرة والحساب القويان لموتر البؤرة الثلاثية". معالجة الصور والرؤية الحاسوبية . 15 (8): 591-607 . CiteSeerX 10.1.1.41.3172 . doi : 10.1016/S0262-8856(97)00010-3 . 

• تصور هندسة العدسات ثلاثية البؤرة (أصلاً من سيلفان بوغنوكس من INRIA Robotvis، يتطلب Java )