مسافة يونيسيتي

في علم التشفير ، تُعرف مسافة التفرد بأنها طول النص المشفر الأصلي اللازم لفك التشفير عن طريق تقليل عدد المفاتيح الزائفة المحتملة إلى الصفر في هجوم القوة الغاشمة . أي أنه بعد تجربة كل مفتاح ممكن ، يجب أن يكون هناك فك تشفير واحد منطقي فقط، أي الكمية المتوقعة من النص المشفر اللازمة لتحديد المفتاح بشكل كامل، بافتراض وجود تكرار في الرسالة الأساسية. ^{[ 1 ]}

عرّف كلود شانون مسافة التفرد في ورقته البحثية التي نشرها عام 1949 بعنوان " نظرية الاتصال لأنظمة السرية ". ^{[ 2 ]}

لنفترض هجومًا على النص المشفر "WNAIW" باستخدام شيفرة فيجنير بمفتاح مكون من خمسة أحرف. من الممكن نظريًا فك تشفير هذا النص إلى أي نص آخر - فكلمتا "RIVER" و"WATER" واردتان لبعض المفاتيح. هذه قاعدة عامة في تحليل الشفرات : بدون معلومات إضافية، يستحيل فك تشفير هذه الرسالة.

بالطبع، حتى في هذه الحالة، لن ينتج عن استخدام عدد محدود من المفاتيح المكونة من خمسة أحرف كلمات إنجليزية. بتجربة جميع المفاتيح الممكنة، لن نحصل فقط على كلمتي RIVER وWATER، بل على SXOOS وKHDOP أيضًا. من المرجح أن يكون عدد المفاتيح "الفعّالة" أقل بكثير من مجموعة جميع المفاتيح الممكنة. تكمن المشكلة في معرفة أي من هذه المفاتيح "الفعّالة" هو المفتاح الصحيح؛ أما البقية فهي غير صحيحة.

بشكل عام، وبافتراضات محددة حول حجم المفتاح وعدد الرسائل الممكنة، يوجد طول متوسط ​​للنص المشفر حيث يوجد مفتاح واحد فقط (في المتوسط) يُنتج رسالة قابلة للقراءة. في المثال أعلاه، نرى أحرفًا إنجليزية كبيرة فقط ، لذا إذا افترضنا أن النص الأصلي بهذا الشكل، فسيكون هناك 26 حرفًا ممكنًا لكل موضع في السلسلة. وبالمثل، إذا افترضنا مفاتيح مكونة من خمسة أحرف كبيرة، فسيكون هناك K=265 ^{مفتاحًا} ممكنًا، ولن يعمل معظمها.

يمكن توليد عدد هائل من الرسائل المحتملة، N، باستخدام هذه المجموعة المحدودة من الأحرف: N = 26L ^، حيث L هو طول الرسالة. مع ذلك، فإن مجموعة أصغر منها فقط تكون نصًا عاديًا قابلًا للقراءة بسبب قواعد اللغة، ربما M منها، حيث من المرجح أن تكون M أصغر بكثير من N. علاوة على ذلك، ترتبط M ارتباطًا مباشرًا بعدد المفاتيح الصحيحة، لذا، من بين K مفتاحًا محتملًا، فإن K × (M/N) منها فقط ستكون صحيحة. أحد هذه المفاتيح هو المفتاح الصحيح، أما البقية فهي خاطئة.

بما أن نسبة M/N تصبح صغيرة جدًا مع ازدياد طول الرسالة L، فإنه يوجد في النهاية قيمة L كبيرة بما يكفي لجعل عدد المفاتيح الزائفة يساوي صفرًا. وبعبارة أخرى، هذه هي قيمة L التي تجعل KM/N=1. وتُعرف هذه القيمة بـ L بمسافة التفرد.

يمكن تعريف مسافة التفرد بشكل مكافئ بأنها الحد الأدنى من النص المشفر المطلوب للسماح لخصم غير محدود حسابيًا باستعادة مفتاح التشفير الفريد. ^{[ 1 ]}

ويمكن بعد ذلك إثبات أن مسافة التفرد المتوقعة هي: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle U=H(k)/D}$

حيث U هي مسافة التفرد، وH ( k ) هي إنتروبيا فضاء المفاتيح (على سبيل المثال، 128 لـ 2 ^{^128} مفتاحًا متساوي الاحتمال، وأقل من ذلك إذا كان المفتاح عبارة مرور محفوظة). أما D فتُعرَّف بأنها تكرار النص الأصلي بالبتات لكل حرف.

يمكن لأبجدية مكونة من 32 حرفًا أن تحمل 5 بتات من المعلومات لكل حرف (لأن 32 =  2^ ⁵ ). وبشكل عام، يُحسب عدد بتات المعلومات لكل حرف بوحدة لوغاريتم ₂ (N) ، حيث N هو عدد الأحرف في الأبجدية، و log ₂ هو اللوغاريتم الثنائي . لذا، في اللغة الإنجليزية، يمكن لكل حرف أن ينقل 4.7 بتات من المعلومات بوحدة لوغاريتم ₂ (2^6) .

مع ذلك، يبلغ متوسط ​​كمية المعلومات الفعلية التي يحملها كل حرف في نص إنجليزي ذي معنى حوالي 1.5 بت فقط لكل حرف. لذا فإن فائض النص العادي هو D =  4.7 - 1.5 = 3.2. ^{[ 1 ]}   

باختصار، كلما زادت مسافة التفرد كان ذلك أفضل. بالنسبة لمفتاح تشفير لمرة واحدة ذي حجم غير محدود، ونظرًا للإنتروبيا غير المحدودة لمساحة المفاتيح، لدينا${\displaystyle U=\infty }$وهذا يتوافق مع كون الوسادة التي تستخدم لمرة واحدة غير قابلة للكسر.

تُعدّ مسافة التفرد مقياسًا نظريًا مفيدًا، لكنها لا تُقدّم معلومات كافية حول أمان تشفير الكتلة عند تعرضه لهجوم من مُهاجم ذي موارد محدودة في الواقع. لنفترض وجود تشفير كتلة بمسافة تفرد تساوي ثلاثة كتل نصية مشفرة. على الرغم من وجود معلومات كافية بوضوح لمُهاجم ذي قدرة حسابية غير محدودة للعثور على المفتاح الصحيح (بحث شامل بسيط)، إلا أن هذا قد يكون غير عملي من الناحية الحسابية.

يمكن زيادة مسافة التفرد بتقليل التكرار في النص الأصلي. إحدى طرق تحقيق ذلك هي استخدام تقنيات ضغط البيانات قبل التشفير، على سبيل المثال عن طريق إزالة حروف العلة الزائدة مع الحفاظ على سهولة القراءة. هذه فكرة جيدة على أي حال، لأنها تقلل من حجم البيانات المراد تشفيرها.

يمكن افتراض أن النصوص المشفرة التي تتجاوز مسافة التفرد لها حل فك تشفير واحد ذو معنى. أما النصوص المشفرة التي تقل مسافة التفرد عنها، فقد يكون لها عدة حلول فك تشفير محتملة. لا تُعد مسافة التفرد مقياسًا لكمية النص المشفر المطلوبة لتحليل الشفرات، بل هي مقياس لكمية النص المشفر المطلوبة لضمان وجود حل واحد معقول فقط لتحليل الشفرات.

• بروس شناير : كيفية التعرف على النص العادي (نشرة كريبتو-غرام الإخبارية، 15 ديسمبر 1998)
• تم حساب مسافة التفرد للتشفيرات الشائعة