نظرية الحد الأعلى

في الرياضيات، تنص نظرية الحد الأعلى على أن متعددات الوجوه الدورية تمتلك أكبر عدد ممكن من الأوجه بين جميع متعددات الوجوه المحدبة ذات بُعد وعدد رؤوس محددين. وهي إحدى النتائج الأساسية في التوافقية متعددة الأوجه .

كانت هذه العبارة تُعرف في الأصل باسم حد الأعلى ، وقد صاغها ثيودور موتزكين ، وأثبتها بيتر ماكمولين في عام 1970 ، ^{[ 1 ]} وتم تعزيزها من متعددات الوجوه إلى تقسيمات الكرة في عام 1975 بواسطة ريتشارد ب. ستانلي .

متعدد الوجوه الحلقي${\displaystyle \Delta (n,d)}$يمكن تعريفها بأنها الغلاف المحدب لـ${\displaystyle n}$الرؤوس على منحنى العزم ، مجموعة${\displaystyle d}$نقاط ذات أبعاد مع إحداثيات${\displaystyle (t,t^{2},t^{3},\dots )}$الاختيار الدقيق لأي منهما${\displaystyle n}$إن اختيار النقاط على هذا المنحنى لا يؤثر على البنية التوافقية لهذا متعدد السطوح. عدد${\displaystyle i}$الوجوه ذات الأبعاد${\displaystyle \Delta (n,d)}$يتم تحديده بالصيغة $${\displaystyle f_{i}(\Delta (n,d))={\binom {n}{i+1}}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq i<\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor }$$

و${\displaystyle (f_{0},\ldots ,f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor -1})}$تحديد كامل${\displaystyle (f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor },\ldots ,f_{d-1})}$عن طريق معادلات دين-سومرفيل . وينطبق نفس القانون لعدد الأوجه بشكل عام على أي متعدد الوجوه المتجاور .

تنص نظرية الحد الأعلى على أنه إذا${\displaystyle \Delta }$هي كرة تبسيطية ذات بُعد${\displaystyle d-1}$مع${\displaystyle n}$الرؤوس، ثم $${\displaystyle f_{i}(\Delta )\leq f_{i}(\Delta (n,d))\quad {\textrm {for}}\quad i=0,1,\ldots ,d-1.}$$ الفرق بين${\displaystyle d-1}$بالنسبة لأبعاد الكرة التبسيطية، و${\displaystyle d}$أما بالنسبة لبُعد متعدد السطوح الدوري، فيأتي من حقيقة أن سطح${\displaystyle d}$متعدد السطوح ذو الأبعاد n (مثل متعدد السطوح الدوري) هو${\displaystyle (d-1)}$تقسيم الكرة إلى أربعة أبعاد. وبناءً على ذلك، تنص نظرية الحد الأعلى على أن عدد أوجه أي متعدد سطوح لا يمكن أن يتجاوز عدد أوجه متعدد سطوح دوري أو متجاور له نفس البعد وعدد الرؤوس. ويعني هذا، تقاربياً، أن هناك على الأكثر${\displaystyle \scriptstyle O(n^{\lfloor d/2\rfloor })}$وجوه من جميع الأبعاد. تنطبق نفس الحدود أيضًا على متعددات الوجوه المحدبة غير البسيطة، حيث أن تغيير رؤوس متعدد الوجوه هذا (وأخذ الغلاف المحدب للرؤوس المضطربة) لا يمكن إلا أن يزيد من عدد الوجوه.

تم اقتراح الحد الأعلى للتخمين الخاص بالمضلعات التبسيطية من قبل موتزكين في عام 1957 وأثبته ماكمولين في عام 1970. وكان أحد العناصر الرئيسية في برهانه هو إعادة الصياغة التالية بدلالة متجهات h :

${\displaystyle h_{i}(\Delta )\leq {\tbinom {n-d+i-1}{i}}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq i\leq \left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor .}$

اقترح فيكتور كلي أن ينطبق هذا القول على جميع الكرات التبسيطية، وقد أثبت ستانلي ذلك بالفعل عام ١٩٧٥ ^{[ ٢ ]} باستخدام مفهوم حلقة ستانلي-رايزنر والأساليب الهومولوجية. للاطلاع على سرد تاريخي وافٍ لهذه النظرية، انظر مقال ستانلي "كيف تم إثبات حدس الحد الأعلى". ^{[ ٣ ]}