ازدواجية وولف

في مجال التحسين الرياضي ، تُعرف ثنائية وولف ، نسبةً إلى فيليب وولف ، بأنها نوع من المسائل الثنائية التي تكون فيها دالة الهدف والقيود دوالًا قابلة للتفاضل . وباستخدام هذا المفهوم، يمكن إيجاد حد أدنى لمسألة التصغير بفضل مبدأ الثنائية الضعيفة . ^{[ 1 ]}

بالنسبة لمسألة تصغير ذات قيود متباينة،

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {x}{\operatorname {minimize} }}&&f(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&g_{i}(x)\leq 0,\quad i=1,\dots ,m\end{aligned}}}$

مشكلة لاغرانج الثنائية هي

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {u}{\operatorname {maximize} }}&&\inf _{x}\left(f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)\right)\\&\operatorname {subject\;to} &&u_{i}\geq 0,\quad i=1,\dots ,m\end{aligned}}}$

حيث تكون دالة الهدف هي دالة لاغرانج الثنائية. بشرط أن تكون الدوال${\displaystyle f}$و${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{m}}$إذا كانت الدوال محدبة وقابلة للتفاضل باستمرار، فإن القيمة الدنيا تحدث عندما يكون التدرج مساوياً للصفر. المشكلة

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {x,u}{\operatorname {maximize} }}&&f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)=0\\&&&u_{i}\geq 0,\quad i=1,\dots ,m\end{aligned}}}$

تُسمى هذه المسألة مسألة وولف الثنائية. ^{[ 2 ]} تستخدم هذه المسألة شروط كاروش- كون-تاكر كقيد. كما تستخدم قيد المساواة.${\displaystyle \nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)}$هي غير خطية بشكل عام، لذا قد تكون مسألة وولف الثنائية مسألة تحسين غير محدبة. على أي حال، تتحقق الثنائية الضعيفة. ^{[ 3 ]}

• الازدواجية اللاغرانجية
• ازدواجية فينشل