تدوين الفهرس المجرد

تدوين الفهرس المجرد (يُشار إليه أيضًا بتدوين فهرس تسمية الخانات) ^{[ 1 ]} هو تدوين رياضي للموترات والسبينورات يستخدم الفهارس للإشارة إلى أنواعها، بدلاً من مكوناتها في أساس معين. [ ^{2 ] الفهارس} مجرد عناصر نائبة، لا ترتبط بأي أساس، وهي غير عددية على وجه الخصوص. لذا، يجب عدم الخلط بينها وبين حساب ريتشي . قدم روجر بنروز هذا التدوين كوسيلة لاستخدام الجوانب الرسمية لاتفاقية جمع أينشتاين للتعويض عن صعوبة وصف الانكماشات والتفاضل المتغير في تدوين الموترات المجرد الحديث، مع الحفاظ على التغاير الصريح للتعبيرات المعنية. ^{[ 3 ]}

يترك${\displaystyle V}$ليكن فضاءً متجهيًا ، و${\displaystyle V^{*}}$فضاءها الثنائي . لنأخذ على سبيل المثال موترًا متغايرًا من الرتبة 2${\displaystyle h\in V^{*}\otimes V^{*}}$. ثم${\displaystyle h}$يمكن تحديدها بصيغة ثنائية الخطية على${\displaystyle V}$بمعنى آخر، هي دالة لمتغيرين في${\displaystyle V}$والتي يمكن تمثيلها كزوج من الفتحات :

${\displaystyle h=h(-,-).}$

إن تدوين الفهرس المجرد هو مجرد تسمية للفتحات بأحرف لاتينية، والتي ليس لها أي دلالة باستثناء كونها تسميات للفتحات (أي أنها غير رقمية):

${\displaystyle h=h_{ab}.}$

يُعبَّر عن انكماش الموتر (أو أثره) بين موترين بتكرار علامة فهرس، حيث تكون إحدى العلامات متغايرة ( فهرس علوي يُقابل العامل).${\displaystyle V}$) وأحد التصنيفات متغير مشترك ( مؤشر أدنى يتوافق مع العامل${\displaystyle V^{*}}$وهكذا، على سبيل المثال،

${\displaystyle t_{ab}{}^{b}}$

هو أثر موتر${\displaystyle t=t_{ab}{}^{c}}$على آخر خانتين له. هذه الطريقة في تمثيل انكماشات الموتر بواسطة مؤشرات متكررة تشبه شكليًا اصطلاح جمع أينشتاين . ومع ذلك، نظرًا لأن المؤشرات غير عددية، فإنها لا تعني الجمع: بل إنها تتوافق مع عملية التتبع المجردة المستقلة عن الأساس (أو الاقتران الطبيعي ) بين عوامل الموتر من النوع${\displaystyle V}$وتلك من النوع${\displaystyle V^{*}}$.

الموتر المتجانس العام هو عنصر من حاصل ضرب موتر لنسخ من${\displaystyle V}$و${\displaystyle V^{*}}$، مثل

${\displaystyle V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

قم بتسمية كل عامل في هذا الضرب الموتري بحرف لاتيني في وضع مرتفع لكل متغير معاكس${\displaystyle V}$العامل، وفي موضع منخفض لكل متغير مشترك${\displaystyle V^{*}}$الموضع. وبهذه الطريقة، اكتب الناتج على النحو التالي:

${\displaystyle V^{a}V_{b}V_{c}V^{d}V_{e}}$

أو ببساطة

${\displaystyle V^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}.}$

يشير التعبيران الأخيران إلى نفس الكائن الذي يشير إليه التعبير الأول. ويتم تمثيل الموترات من هذا النوع باستخدام رموز مماثلة، على سبيل المثال:

$//$

بشكل عام، عندما يظهر عامل متغاير عكسي وعامل متغاير مشترك في حاصل ضرب موتر للفضاءات، توجد خريطة انكماش (أو أثر ) مرتبطة به. على سبيل المثال،

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V\otimes V^{*}}$

هو الأثر على أول مساحتين من حاصل الضرب الموتري.$${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$$هو الأثر الموجود في الفراغ الأول والأخير.

تُشار إلى عمليات التتبع هذه على الموترات بتكرار فهرس. وبالتالي، تُعطى خريطة التتبع الأولى بواسطة

$//$

والثاني بواسطة

$//$

لكل عملية ضرب موتر على فضاء متجهي واحد، توجد خرائط جدل مرتبطة بها . على سبيل المثال، خريطة الجدل

${\displaystyle \tau _{(12)}:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}$

يُبدّل عاملي الموتر (بحيث يكون تأثيره على الموترات البسيطة معطى بواسطة${\displaystyle \tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v}$بشكل عام، تتطابق خرائط التضفير تطابقاً تاماً مع عناصر المجموعة المتناظرة ، وذلك عن طريق تبديل عوامل الموتر. هنا،${\displaystyle \tau _{\sigma }}$يشير إلى خريطة التضفير المرتبطة بالتبديل${\displaystyle \sigma }$(ممثلة كحاصل ضرب تباديل دورية منفصلة ).

تُعدّ خرائط التضفير مهمة في الهندسة التفاضلية ، على سبيل المثال، للتعبير عن متطابقة بيانكي . لنفترض هنا${\displaystyle R}$يرمز إلى موتر ريمان ، الذي يُعتبر موترًا في${\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$تؤكد هوية بيانكي الأولى على ما يلي:

${\displaystyle R+\tau _{(123)}R+\tau _{(132)}R=0.}$

تتعامل رموز الفهرسة المجردة مع عملية التضفير كما يلي: في حاصل ضرب موتر معين، يتم تحديد ترتيب للفهارس المجردة (عادةً ما يكون هذا ترتيبًا معجميًا ). ثم يتم تمثيل الضفيرة في الرموز عن طريق تبديل تسميات الفهارس. وهكذا، على سبيل المثال، مع موتر ريمان

${\displaystyle R=R_{abc}{}^{d}\in V_{abc}{}^{d}=V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V,}$

تصبح هوية بيانكي

${\displaystyle R_{abc}{}^{d}+R_{cab}{}^{d}+R_{bca}{}^{d}=0.}$

يمكن أن يكون الموتر العام مضادًا للتناظر أو متناظرًا، وهناك تدوين مناسب لذلك.

سنوضح الترميز من خلال مثال. لنقم بتحويل الموتر من النوع (0،3) إلى موتر مضاد للتناظر${\displaystyle \omega _{abc}}$، أين${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$هي المجموعة المتناظرة على ثلاثة عناصر.

${\displaystyle \omega _{[abc]}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}{{\text{sgn}}(\sigma )}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

وبالمثل، يمكننا أن نجعلها متناظرة:

${\displaystyle \omega _{(abc)}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

• الترميز البياني لبنروز
• ترميز أينشتاين
• تدوين الفهرس
• الموتر
• موتر مضاد للتناظر
• رفع وخفض المؤشرات
• التغاير والتغاير العكسي للمتجهات