الهندسة التفاضلية

الهندسة
إسقاط كرة على مستوى​
الفروع إقليدي غير إقليدي بيضاوي الشكل كروي زائدي الهندسة غير الأرخميدية إسقاطي أفيني اصطناعي تحليلي جبري الحساب ديوفانتين التفاضلي ريمانيان سمبلكتيك التفاضلية المنفصلة معقد محدود منفصل/تركيبي رقمي محدب حسابي كسورية حدوث الهندسة غير التبادلية الهندسة الجبرية غير التبادلية
المفاهيم سمات البعد إنشاءات المسطرة والبوصلة زاوية منحنى قطري التعامد ( العمودي ) موازي قمة الرأس التطابق تشابه التماثل
صفر الأبعاد نقطة
أحادي البعد خط شريحة شعاع طول
ثنائي الأبعاد طائرة منطقة مضلع مثلث ارتفاع وتر نظرية فيثاغورس متوازي الأضلاع مربع المستطيل المعين المعين رباعي شبه منحرف طائرة ورقية دائرة القطر محيط منطقة
ثلاثي الأبعاد مقدار مكعب مكعب الشكل اسطوانة اثني عشر وجها عشريني الوجوه المجسم الثماني هرم الجسم الأفلاطوني جسم كروي رباعي السطوح
رباعي الأبعاد / آخر الأبعاد تيسيراكت هايبرسفير
الهندسة
حسب الاسم عايدة أريابهاتا أحمس الحسن بن الحسن أبولونيوس أرخميدس عطية بودايانا بولياي براهماجوبتا كارتان تشيرن كوكستر ديكارت إقليدس أويلر جاوس جروموف هيلبرت هويجنز جييستاديفا كاتيانا الخيام كلاين لوباتشيفسكي مانافا مينكوفسكي مينغاتو باسكال فيثاغورس باراميشفارا بوانكاريه ريمان ساكابي سيجزي الطوسي فيبلين فيراسينا يانغ هوي الياسمين تشانغ قائمة المهندسين
حسب الفترة قبل الميلاد أحمس بودايانا مانافا فيثاغورس إقليدس أرخميدس أبولونيوس 1-1400 تشانغ كاتيانا أريابهاتا براهماجوبتا فيراسينا الحسن بن الحسن سيجزي الخيام الياسمين الطوسي يانغ هوي باراميشفارا 1400-1700 جييستاديفا ديكارت باسكال هويجنز مينغاتو أويلر ساكابي عايدة 1700-1900 جاوس لوباتشيفسكي بولياي ريمان كلاين بوانكاريه هيلبرت مينكوفسكي كارتان فيبلين كوكستر تشيرن اليوم الحاضر عطية جروموف
ف ت هـ

الهندسة التفاضلية هي تخصص رياضي يدرس هندسة الأشكال الملساء والمساحات الملساء، أو ما يعرف بالمتعددات الملساء . وهي تستخدم تقنيات حساب التفاضل والتكامل والجبر الخطي والجبر الخطي المتعدد . يعود أصل هذا المجال إلى دراسة الهندسة الكروية منذ العصور القديمة . كما أنه يرتبط بعلم الفلك ومساحة الأرض ودراسة الهندسة الزائدية بواسطة لوباتشيفسكي لاحقًا . أبسط الأمثلة على المساحات الملساء هي المنحنيات والأسطح المستوية والفضائية في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، وشكل دراسة هذه الأشكال الأساس لتطوير الهندسة التفاضلية الحديثة خلال القرنين الثامن عشر والتاسع عشر.

منذ أواخر القرن التاسع عشر، تطورت الهندسة التفاضلية إلى مجال يهتم بشكل عام بالهياكل الهندسية على المتشعبات القابلة للتفاضل . الهيكل الهندسي هو الذي يحدد بعض مفاهيم الحجم أو المسافة أو الشكل أو الحجم أو أي هيكل تصلب آخر. على سبيل المثال، في الهندسة الريمانية يتم تحديد المسافات والزوايا، وفي الهندسة السمبلكتيكية يمكن حساب الأحجام، وفي الهندسة المطابقة يتم تحديد الزوايا فقط، وفي نظرية القياس يتم إعطاء مجالات معينة على الفضاء. ترتبط الهندسة التفاضلية ارتباطًا وثيقًا بـ، ويُنظر إليها أحيانًا على أنها تشمل، الطوبولوجيا التفاضلية ، والتي تهتم بخصائص المتشعبات القابلة للتفاضل والتي لا تعتمد على أي هيكل هندسي إضافي (انظر هذه المقالة لمزيد من المناقشة حول التمييز بين الموضوعين). ترتبط الهندسة التفاضلية أيضًا بالجوانب الهندسية لنظرية المعادلات التفاضلية ، والمعروفة أيضًا باسم التحليل الهندسي .

تجد الهندسة التفاضلية تطبيقات في جميع أنحاء الرياضيات والعلوم الطبيعية . أبرز ما استخدمه ألبرت أينشتاين في نظريته النسبية العامة ، ثم استخدمه الفيزيائيون لاحقًا في تطوير نظرية المجال الكمومي والنموذج القياسي لفيزياء الجسيمات . خارج الفيزياء، تجد الهندسة التفاضلية تطبيقات في الكيمياء والاقتصاد والهندسة ونظرية التحكم والرسومات الحاسوبية والرؤية الحاسوبية ، ومؤخرًا في التعلم الآلي .

يعود تاريخ وتطور الهندسة التفاضلية كموضوع إلى العصور القديمة الكلاسيكية على الأقل . وهي مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بتطور الهندسة بشكل عام، ومفهوم الفضاء والشكل، والطوبولوجيا ، وخاصة دراسة المتشعبات . في هذا القسم، نركز بشكل أساسي على تاريخ تطبيق الأساليب اللانهائية في الصغر على الهندسة، ثم على أفكار الفضاءات المماسية ، وفي النهاية تطوير الشكلية الحديثة للموضوع من حيث الموتر وحقول الموتر .

يمكن إرجاع دراسة الهندسة التفاضلية، أو على الأقل دراسة هندسة الأشكال الملساء، إلى العصور القديمة الكلاسيكية على الأقل . وعلى وجه الخصوص، كان الكثير معروفًا عن هندسة الأرض ، وهي هندسة كروية ، في زمن علماء الرياضيات اليونانيين القدماء . ومن المعروف أن إراتوستينس حسب محيط الأرض حوالي عام 200 قبل الميلاد، وحوالي عام 150 بعد الميلاد قدم بطليموس في جغرافيته الإسقاط المجسم لأغراض رسم خريطة لشكل الأرض. ^[1] ضمنيًا طوال هذا الوقت، تم استخدام المبادئ التي تشكل أساس الهندسة التفاضلية وحساب التفاضل والتكامل في علم المساحة ، وإن كان ذلك في شكل مبسط للغاية. على وجه التحديد، منذ كتاب العناصر لإقليدس، كان من المفهوم أن الخط المستقيم يمكن تعريفه بخاصيته المتمثلة في توفير أقصر مسافة بين نقطتين، وتطبيق نفس المبدأ على سطح الأرض يؤدي إلى استنتاج مفاده أن الدوائر العظمى ، التي تشبه محليًا الخطوط المستقيمة في المستوى المسطح فقط، توفر أقصر مسار بين نقطتين على سطح الأرض. في الواقع، يمكن اعتبار قياسات المسافة على طول هذه المسارات الجيوديسية بواسطة إراتوستينس وغيره مقياسًا بدائيًا لطول قوس المنحنيات، وهو مفهوم لم يشهد تعريفًا صارمًا من حيث حساب التفاضل والتكامل حتى القرن السابع عشر.

في ذلك الوقت، لم يكن هناك سوى تطبيقات ضئيلة لنظرية اللامتناهيات في الصغر لدراسة الهندسة، والتي كانت بمثابة مقدمة لدراسة هذا الموضوع القائمة على حساب التفاضل والتكامل الحديث. في كتاب العناصر لإقليدس ، تمت مناقشة فكرة مماس الخط للدائرة، وطبق أرخميدس طريقة الاستنفاد لحساب مساحات الأشكال الملساء مثل الدائرة ، وحجم الأجسام الصلبة الملساء ثلاثية الأبعاد مثل الكرة والمخاريط والأسطوانات. ^[1]

كان هناك تطور ضئيل في نظرية الهندسة التفاضلية بين العصور القديمة وبداية عصر النهضة . قبل تطوير حساب التفاضل والتكامل من قبل نيوتن ولايبنتز ، جاء التطور الأكثر أهمية في فهم الهندسة التفاضلية من تطوير جيراردوس مركاتور لإسقاط مركاتور كطريقة لرسم خريطة الأرض. كان لدى مركاتور فهم لمزايا وعيوب تصميم خريطته، وكان على وجه الخصوص مدركًا للطبيعة المطابقة لإسقاطه، بالإضافة إلى الفرق بين براغا ، وهي أقصر خطوط المسافة على الأرض، والاتجاه ، وهي مسارات الخطوط المستقيمة على خريطته. لاحظ مركاتور أن براغا كانت منحنية مائلة في هذا الإسقاط. ^[1] تعكس هذه الحقيقة عدم وجود خريطة تحافظ على المقاييس المترية لسطح الأرض على مستوى مسطح، وهي نتيجة لنظرية إيجريجيوم اللاحقة لغاوس .

بدأت أول معالجة منهجية أو صارمة للهندسة باستخدام نظرية اللامتناهيات في الصغر ومفاهيم من حساب التفاضل والتكامل حوالي عام 1600 عندما تم تطوير حساب التفاضل والتكامل لأول مرة من قبل جوتفريد لايبنتز وإسحاق نيوتن . في هذا الوقت، سمح العمل الأخير لرينيه ديكارت الذي قدم إحداثيات تحليلية للهندسة بوصف الأشكال الهندسية ذات التعقيد المتزايد بدقة. في هذا الوقت على وجه الخصوص، بدأ بيير دي فيرما ونيوتن ولايبنتز دراسة المنحنيات المستوية والتحقيق في مفاهيم مثل نقاط الانحراف ودوائر التذبذب ، والتي تساعد في قياس الانحناء . في الواقع، لاحظ لايبنتز بالفعل في أول ورقة بحثية له حول أسس حساب التفاضل والتكامل أن الحالة اللامتناهية في الصغر تشير إلى وجود نقطة انعطاف. بعد فترة وجيزة من هذا الوقت، قدم الأخوان برنولي ، جاكوب ويوهان مساهمات مبكرة مهمة في استخدام اللامتناهيات في الصغر لدراسة الهندسة. في محاضرات يوهان برنولي في ذلك الوقت، والتي جمعها لوبيتال لاحقًا في أول كتاب مدرسي عن حساب التفاضل ، يتم حساب المماسات لمنحنيات المستوى من أنواع مختلفة باستخدام الشرط ، وبالمثل يتم حساب نقاط الانحراف. ^[1] في نفس الوقت، يتم تحقيق التعامد بين الدوائر المتذبذبة لمنحنى المستوى واتجاهات الظل، ويتم كتابة أول صيغة تحليلية لنصف قطر الدائرة المتذبذبة، وهي في الأساس أول صيغة تحليلية لمفهوم الانحناء .${\displaystyle d^{2}y=0}$${\displaystyle dy=0}$

في أعقاب تطور الهندسة التحليلية والمنحنيات المستوية، بدأ أليكسيس كليروت دراسة منحنيات الفضاء في سن السادسة عشرة فقط. ^{[2] [1]} قدم كليروت في كتابه مفهوم الاتجاهات المماسية وشبه المماسية لمنحنيات الفضاء فيما يتعلق بالاتجاهات التي تقع على طول السطح الذي يقع عليه منحنى الفضاء. وبالتالي أظهر كليروت فهمًا ضمنيًا للفضاء المماس لسطح ودرس هذه الفكرة باستخدام حساب التفاضل والتكامل لأول مرة. والأهم من ذلك أن كليروت قدم مصطلحات الانحناء والانحناء المزدوج ، وهو في الأساس مفهوم الانحناءات الرئيسية التي درسها لاحقًا غاوس وآخرون.

في نفس الوقت تقريبًا، قدم ليونهارد أويلر ، وهو في الأصل طالب ليوهان برنولي، العديد من المساهمات المهمة ليس فقط في تطوير الهندسة، ولكن في الرياضيات على نطاق أوسع. ^[3] فيما يتعلق بالهندسة التفاضلية، درس أويلر مفهوم الجيوديسية على سطح مشتقًا أول معادلة جيوديسية تحليلية ، وقدم لاحقًا أول مجموعة من أنظمة الإحداثيات الجوهرية على سطح، ليبدأ نظرية الهندسة الجوهرية التي تستند إليها الأفكار الهندسية الحديثة. ^[1] في هذا الوقت تقريبًا، أدت دراسة أويلر للميكانيكا في ميكانيكا إلى إدراك أن الكتلة التي تسافر على طول سطح غير خاضعة لتأثير أي قوة ستجتاز مسارًا جيوديسيًا، وهو مقدمة مبكرة للأفكار الأساسية المهمة لنظرية النسبية العامة لأينشتاين ، وأيضًا لمعادلات أويلر-لاجرانج والنظرية الأولى لحساب التغيرات ، والتي تدعم في الهندسة التفاضلية الحديثة العديد من التقنيات في الهندسة السمبلكتيكية والتحليل الهندسي . استخدم لاغرانج ، وهو أحد المشاركين في تطوير حساب المتغيرات، هذه النظرية لاستنتاج أول معادلة تفاضلية تصف سطحًا أدنى من حيث معادلة أويلر-لاغرانج. في عام 1760، أثبت أويلر نظرية تعبر عن انحناء منحنى الفضاء على سطح من حيث الانحناءات الرئيسية، والمعروفة باسم نظرية أويلر .

في وقت لاحق من القرن الثامن عشر، بدأت المدرسة الفرنسية الجديدة بقيادة غاسبار مونج في تقديم مساهمات في الهندسة التفاضلية. قدم مونج مساهمات مهمة في نظرية المنحنيات المستوية والأسطح، ودرس أسطح الدوران وأغلفة المنحنيات المستوية ومنحنيات الفضاء. قدم العديد من طلاب مونج مساهمات في نفس النظرية، على سبيل المثال قدم تشارلز دوبين تفسيرًا جديدًا لنظرية أويلر من حيث الانحناءات الأساسية، وهو الشكل الحديث للمعادلة. [ ^1]

أصبح مجال الهندسة التفاضلية مجالاً للدراسة يعتبر في حد ذاته، ومتميزًا عن الفكرة الأوسع للهندسة التحليلية، في القرن التاسع عشر، في المقام الأول من خلال العمل التأسيسي لكارل فريدريش جاوس وبرنارد ريمان ، وأيضًا في المساهمات المهمة لنيكولاي لوباتشيفسكي في الهندسة الزائدية والهندسة غير الإقليدية وخلال نفس الفترة تطوير الهندسة الإسقاطية .

يُطلق عليه أهم عمل في تاريخ الهندسة التفاضلية، ^[4] في عام 1827 أنتج جاوس Disquisitiones generales circa superficies curvas الذي يفصل النظرية العامة للأسطح المنحنية. ^{[5] [4] [6]} في هذا العمل وأوراقه اللاحقة وملاحظاته غير المنشورة حول نظرية الأسطح، لُقب جاوس بمخترع الهندسة غير الإقليدية ومخترع الهندسة التفاضلية الجوهرية. ^[6] في ورقته الأساسية قدم جاوس خريطة جاوس ، والانحناء الغاوسي ، والأشكال الأساسية الأولى والثانية ، وأثبت نظرية إيجريجيوم التي توضح الطبيعة الجوهرية للانحناء الغاوسي، ودرس الجيوديسيا، وحساب مساحة المثلث الجيوديسي في مختلف الهندسات غير الإقليدية على الأسطح.

في هذا الوقت كان جاوس يرى بالفعل أنه يجب التخلص من النموذج القياسي للهندسة الإقليدية ، وكان بحوزته مخطوطات خاصة عن الهندسة غير الإقليدية والتي أطلعته على دراسته للمثلثات الجيوديسية. ^{[6] [7]} في نفس الوقت تقريبًا اكتشف يانوس بولياي ولوباتشيفسكي بشكل مستقل الهندسة الزائدية وبالتالي أثبتا وجود هندسات متسقة خارج نموذج إقليدس. تم إنتاج نماذج ملموسة للهندسة الزائدية بواسطة يوجينيو بلترامي في وقت لاحق في ستينيات القرن التاسع عشر، وصاغ فيليكس كلاين مصطلح الهندسة غير الإقليدية في عام 1871، ومن خلال برنامج إرلانجن وضع الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية على قدم المساواة. ^[8] ضمناً، كانت الهندسة الكروية للأرض التي تمت دراستها منذ العصور القديمة هندسة غير إقليدية، هندسة إهليلجية .

كان تطوير الهندسة التفاضلية الجوهرية بلغة جاوس مدفوعًا بطالبه برنهارد ريمان في كتابه Habilitationsschrift ، حول الفرضيات التي تكمن في أساس الهندسة . ^[9] في هذا العمل، قدم ريمان مفهوم المقياس الريماني وموتر الانحناء الريماني لأول مرة، وبدأ الدراسة المنهجية للهندسة التفاضلية في الأبعاد الأعلى. كانت وجهة النظر الجوهرية هذه من حيث المقياس الريماني، والتي يشير إليها ريمان، هي تطوير فكرة جاوس حول العنصر الخطي للسطح. في هذا الوقت، بدأ ريمان في تقديم الاستخدام المنهجي للجبر الخطي والجبر متعدد الخطوط في الموضوع، مستفيدًا بشكل كبير من نظرية الأشكال التربيعية في تحقيقه في المقاييس والانحناء. في هذا الوقت لم يكن ريمان قد طور بعد المفهوم الحديث للمتعدد، حيث لم يتم حتى مواجهة مفهوم الفضاء الطوبولوجي ، لكنه اقترح أنه قد يكون من الممكن التحقيق في خصائص مقياس الزمكان أو قياسها من خلال تحليل الكتل داخل الزمكان، مرتبطًا بالملاحظة السابقة لأويلر بأن الكتل تحت تأثير أي قوى ستنتقل على طول الجيوديسيات على الأسطح، وتوقع ملاحظة أينشتاين الأساسية لمبدأ التكافؤ قبل 60 عامًا كاملة من ظهوره في الأدبيات العلمية. ^{[6] [4]}${\displaystyle ds^{2}}$${\displaystyle ds}$

في أعقاب وصف ريمان الجديد، تحول تركيز التقنيات المستخدمة لدراسة الهندسة التفاضلية من الأساليب المخصصة والخارجية لدراسة المنحنيات والأسطح إلى نهج أكثر منهجية من حيث حساب الموتر وبرنامج إرلانجن لكلاين، وزاد التقدم في هذا المجال. تم تطوير مفهوم مجموعات التحويلات بواسطة Sophus Lie و Jean Gaston Darboux ، مما أدى إلى نتائج مهمة في نظرية مجموعات Lie والهندسة السمبلكتيكية . تمت دراسة مفهوم حساب التفاضل على المساحات المنحنية بواسطة Elwin Christoffel ، الذي قدم رموز Christoffel التي تصف المشتق المتغير في عام 1868، ومن قبل آخرين بما في ذلك Eugenio Beltrami الذي درس العديد من الأسئلة التحليلية على المتشعبات. ^[10] في عام 1899، أنتج لويجي بيانكي محاضراته في الهندسة التفاضلية والتي درست الهندسة التفاضلية من منظور ريمان، وبعد عام واحد أنتج توليو ليفي تشيفيتا وجريجوريو ريتشي كورباسترو كتابهما المدرسي الذي طور بشكل منهجي نظرية حساب التفاضل المطلق وحساب الموتر . ^{[11] [4]} كانت هذه هي اللغة التي استخدم بها أينشتاين الهندسة التفاضلية في تطوير النسبية العامة والهندسة شبه الريمانية .

نشأ موضوع الهندسة التفاضلية الحديثة في أوائل القرن العشرين استجابةً للمساهمات الأساسية للعديد من علماء الرياضيات، بما في ذلك بشكل خاص عمل هنري بوانكاريه حول أسس الطوبولوجيا . ^[12] في بداية القرن العشرين، كانت هناك حركة كبرى داخل الرياضيات لإضفاء الطابع الرسمي على الجوانب الأساسية للموضوع لتجنب أزمات الصرامة والدقة، والمعروفة باسم برنامج هيلبرت . وكجزء من هذه الحركة الأوسع، تم تقطير مفهوم الفضاء الطوبولوجي بواسطة فيليكس هاوسدورف في عام 1914، وبحلول عام 1942 كان هناك العديد من المفاهيم المختلفة للمتعدد ذات الطبيعة التركيبية والهندسية التفاضلية. ^[12]

كما تركز الاهتمام بالموضوع أيضًا على ظهور نظرية أينشتاين للنسبية العامة وأهمية معادلات مجال أينشتاين. عملت نظرية أينشتاين على نشر حساب الموتر لريتشي وليفي-سيفيتا وقدمت تدوين المقياس الريماني ورموز كريستوفيل، وكلاهما يأتي من G في الجاذبية . ساعد إيلي كارتان في إعادة صياغة أسس الهندسة التفاضلية للمتعددات الملساء من حيث حساب التفاضل والتكامل الخارجي ونظرية الإطارات المتحركة ، مما أدى في عالم الفيزياء إلى نظرية أينشتاين-كارتان . ^{[13] [4]}${\displaystyle g}$${\displaystyle \Gamma }$

بعد هذا التطور المبكر، ساهم العديد من علماء الرياضيات في تطوير النظرية الحديثة، بما في ذلك جان لوي كوسزول الذي قدم الاتصالات على حزم المتجهات ، و شينج شين تشيرن الذي قدم فئات مميزة للموضوع وبدأ دراسة المتشعبات المعقدة ، و السير ويليام فالانس دوجلاس هودج وجورج دي رام اللذان وسعا فهم الأشكال التفاضلية ، و تشارلز إيرسمان الذي قدم نظرية حزم الألياف واتصالات إيرسمان ، وغيرهم. ^{[13] [4] كان} هيرمان ويل ذا أهمية خاصة حيث قدم مساهمات مهمة في أسس النسبية العامة، وقدم موتر ويل الذي قدم نظرة ثاقبة في الهندسة المطابقة ، وكان أول من عرف مفهوم المقياس مما أدى إلى تطوير نظرية المقياس في الفيزياء والرياضيات .

في منتصف وأواخر القرن العشرين، اتسع نطاق الهندسة التفاضلية كموضوع وتطورت روابطه مع مجالات أخرى من الرياضيات والفيزياء. أدى تطوير نظرية القياس ونظرية يانغ-ميلز في الفيزياء إلى التركيز على الحزم والاتصالات، مما أدى إلى تطورات في نظرية القياس . تم التحقيق في العديد من النتائج التحليلية بما في ذلك إثبات نظرية مؤشر عطية-سينغر . تم تحفيز تطوير الهندسة المعقدة من خلال النتائج الموازية في الهندسة الجبرية ، وأثبت شينج تونج ياو وآخرون نتائج في الهندسة والتحليل العالمي للمتعددات المعقدة. في النصف الأخير من القرن العشرين، تم تطوير تقنيات تحليلية جديدة فيما يتعلق بتدفقات الانحناء مثل تدفق ريتشي ، والذي بلغ ذروته في إثبات جريجوري بيرلمان لتخمين بوانكاريه . خلال نفس الفترة، ويرجع ذلك في المقام الأول إلى تأثير مايكل عطية ، تم تشكيل روابط جديدة بين الفيزياء النظرية والهندسة التفاضلية. استخدم علماء الرياضيات تقنيات من دراسة معادلات يانغ-ميلز ونظرية القياس لتطوير متغيرات جديدة للمتعددات الملساء. وقد أحدث علماء الفيزياء مثل إدوارد ويتن ، الفيزيائي الوحيد الذي حصل على ميدالية فيلدز ، تأثيرات جديدة في الرياضيات باستخدام نظرية المجال الكمي الطوبولوجي ونظرية الأوتار للتنبؤ وتوفير أطر للرياضيات الصارمة الجديدة، والتي أسفرت على سبيل المثال عن التناظر المرآة التخميني ومتغيرات سيبرج-ويتن .

تدرس الهندسة الريمانية المتشعبات الريمانية ، المتشعبات الملساء ذات المقياس الريماني . هذا مفهوم المسافة المعبر عنها بواسطة شكل ثنائي خطي متماثل موجب محدد سلس محدد على الفضاء المماس عند كل نقطة. تعمم الهندسة الريمانية الهندسة الإقليدية على المساحات التي ليست مسطحة بالضرورة، على الرغم من أنها لا تزال تشبه الفضاء الإقليدي عند كل نقطة بشكل لا نهائي، أي في الترتيب الأول من التقريب . تمتلك المفاهيم المختلفة القائمة على الطول، مثل طول قوس المنحنيات، ومساحة المناطق المستوية، وحجم الأجسام الصلبة، نظائر طبيعية في الهندسة الريمانية. يمتد مفهوم المشتق الاتجاهي لدالة من حساب متعدد المتغيرات إلى مفهوم المشتق المتغير لموتر . تم تعميم العديد من مفاهيم التحليل والمعادلات التفاضلية على إعداد المتشعبات الريمانية.

يُطلق على التماثل التفاضلي المحافظ على المسافة بين متعددات الشعب الريمانية اسم التماثل . يمكن تعريف هذا المفهوم محليًا أيضًا ، أي بالنسبة للمناطق المجاورة الصغيرة من النقاط. أي منحنيان منتظمان متساويان القياس محليًا. ومع ذلك، أظهرت نظرية إيجريجيوم لكارل فريدريش جاوس أنه بالنسبة للأسطح، فإن وجود تماثل محلي للقياس يفرض أن تكون الانحناءات الغوسية عند النقاط المقابلة هي نفسها. في الأبعاد الأعلى، يعد موتر انحناء ريمان ثابتًا مهمًا لكل نقطة مرتبطًا بمتعدد شعب ريمان يقيس مدى قربه من كونه مسطحًا. فئة مهمة من متعددات الشعب الريمانية هي المساحات المتماثلة الريمانية ، والتي لا يكون انحناؤها ثابتًا بالضرورة. هذه هي أقرب نظائر للمستوى والفضاء "العاديين" المعتبرين في الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية .

تعمم الهندسة شبه الريمانية الهندسة الريمانية إلى الحالة التي لا يلزم فيها أن يكون الموتر المتري محددًا موجبًا . وهناك حالة خاصة من هذا وهي متعدد الشعب لورينتز ، وهو الأساس الرياضي لنظرية النسبية العامة لأينشتاين في الجاذبية .

إن هندسة فينسلر تعتمد على متعددات شعب فينسلر كهدف أساسي للدراسة. هذا متعدد شعب تفاضلي بمقياس فينسلر ، أي معيار باناخ محدد على كل فضاء مماس. متعددات الشعب الريمانية هي حالات خاصة لمتعددات شعب فينسلر الأكثر عمومية. بنية فينسلر على متعدد الشعب هي دالة بحيث: ${\displaystyle M}$${\displaystyle F:\mathrm {T} M\to [0,\infty )}$

1. ${\displaystyle F(x,my)=mF(x,y)}$للجميع وفي الكل ،${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \mathrm {T} M}$${\displaystyle m\geq 0}$
2. ${\displaystyle F}$قابلة للاشتقاق بشكل لا نهائي في ،${\displaystyle \mathrm {T} M\setminus \{0\}}$
3. الخط الهسياني العمودي هو موجب محدد.${\displaystyle F^{2}}$

الهندسة السمبلكية هي دراسة المتشعبات السمبلكية . المتشعب السمبلكتي تقريبًا هو متشعب قابل للاشتقاق مزود بشكل ثنائي خطي غير متحلل ومتناظر مائل متغير بسلاسة على كل فضاء مماس، أي شكل ثنائي غير متحلل ω ، يسمى الشكل السمبلكتي . المتشعب السمبلكتي هو متشعب سمبلكتي تقريبًا يكون الشكل السمبلكتي ω مغلقًا: d ω = 0 .

يُطلق على التماثل التفاضلي بين متعددي شعب سيمبلكتيكيين يحافظان على الشكل السيمبلكتيكي اسم التماثل التفاضلي . لا يمكن أن توجد الأشكال الخطية غير المتحللة المتماثلة إلا في فضاءات متجهية ذات أبعاد زوجية، لذا فإن متعددي الشعب السيمبلكتيكيين بالضرورة لديهم أبعاد زوجية. في البعد 2، يكون متعدد الشعب السيمبلكتيكي مجرد سطح يتمتع بشكل مساحة والتماثل التفاضلي هو تماثل تفاضلي يحافظ على المساحة. فضاء الطور للنظام الميكانيكي هو متعدد شعب سيمبلكتيكي وقد ظهر ضمنيًا بالفعل في عمل جوزيف لويس لاجرانج في الميكانيكا التحليلية وفي وقت لاحق في صياغات كارل جوستاف جاكوبي وويليام روان هاملتون للميكانيكا الكلاسيكية .

على النقيض من الهندسة الريمانية، حيث يوفر الانحناء ثابتًا محليًا للمتعددات الريمانية، تنص نظرية داربو على أن جميع المتشعبات السمبلكتيكية متماثلة محليًا. الثوابت الوحيدة للمتعدد السمبلكتيكي هي عالمية بطبيعتها وتلعب الجوانب الطوبولوجية دورًا بارزًا في الهندسة السمبلكتيكية. ربما تكون النتيجة الأولى في الطوبولوجيا السمبلكتيكية هي نظرية بوانكاريه-بيركهوف ، التي افترضها هنري بوانكاريه ثم أثبتها جي دي بيركهوف في عام 1912. تدعي النظرية أنه إذا كانت خريطة الحفاظ على المنطقة لحلقة تلوي كل مكون حدودي في اتجاهين متعاكسين، فإن الخريطة تحتوي على نقطتين ثابتتين على الأقل. ^[14]

تتعامل هندسة الاتصال مع بعض المتشعبات ذات الأبعاد الفردية. وهي قريبة من الهندسة السمبلكتيكية ومثلها كمثل الأخيرة، نشأت في أسئلة الميكانيكا الكلاسيكية. يتم إعطاء بنية اتصال على متشعب (2 n + 1) بعد M بواسطة حقل مستوٍ ناعم H في الحزمة المماسية والذي يكون بعيدًا قدر الإمكان عن الارتباط بمجموعات المستويات لدالة قابلة للاشتقاق على M (المصطلح الفني هو "توزيع مستوٍ مماسي غير قابل للتكامل تمامًا"). بالقرب من كل نقطة p ، يتم تحديد توزيع مستوٍ بواسطة شكل 1- لا مكان يتلاشى ، وهو فريد حتى الضرب بواسطة دالة لا مكان تتلاشى: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle H_{p}=\ker \alpha _{p}\subset T_{p}M.}$

الشكل المحلي 1 على M هو شكل اتصال إذا كان تقييد المشتق الخارجي الخاص به إلى H هو شكل ثنائي غير متحلل وبالتالي يحفز بنية متعاطفة على H _p عند كل نقطة. إذا كان من الممكن تعريف التوزيع H بواسطة شكل واحد عالمي ، فإن هذا الشكل يكون اتصالاً إذا وفقط إذا كان الشكل الأعلى بعدًا ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha \wedge (d\alpha )^{n}}$

هو شكل حجم على M ، أي أنه لا يتلاشى في أي مكان. ينطبق نظير اتصال لنظرية داربو: جميع هياكل الاتصال على متعدد الشعب ذي الأبعاد الفردية متماثلة محليًا ويمكن إحضارها إلى شكل طبيعي محلي معين من خلال اختيار مناسب لنظام الإحداثيات.

الهندسة التفاضلية المعقدة هي دراسة المتشعبات المعقدة . المتشعب المعقد تقريبًا هو متشعب حقيقي ، يتمتع بموتر من النوع (1، 1)، أي تماثل حزمة متجه (يسمى بنية معقدة تقريبًا ) ${\displaystyle M}$

${\displaystyle J:TM\rightarrow TM}$، بحيث${\displaystyle J^{2}=-1.\,}$

ويترتب على هذا التعريف أن المتعدد المعقد تقريبًا هو متعدد الأبعاد.

يُسمى متعدد الشعب المعقد تقريبًا معقدًا إذا كان ، حيث يكون موترًا من النوع (2، 1) مرتبطًا بـ ، يُسمى موتر نيجينهاوس (أو أحيانًا الالتواء ). يكون متعدد الشعب المعقد تقريبًا معقدًا إذا وفقط إذا كان يسمح بإحداثيات هولومورفية . تُعطى البنية الهيرميتية تقريبًا بواسطة بنية معقدة تقريبًا J ، جنبًا إلى جنب مع مقياس ريماني g ، مما يلبي شرط التوافق ${\displaystyle N_{J}=0}$${\displaystyle N_{J}}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle g(JX,JY)=g(X,Y).\,}$

يحدد الهيكل الهرميتي تقريبًا بشكل طبيعي شكلين تفاضليين

${\displaystyle \omega _{J,g}(X,Y):=g(JX,Y).\,}$

الشرطان التاليان متكافئان:

1. ${\displaystyle N_{J}=0{\mbox{ and }}d\omega =0\,}$
2. ${\displaystyle \nabla J=0\,}$

حيث يكون اتصال ليفي-سيفيتا لـ . في هذه الحالة، يُطلق عليه بنية كاهلر ، ومتعدد شعب كاهلر هو متعدد شعب يتمتع ببنية كاهلر. وعلى وجه الخصوص، يعد متعدد شعب كاهلر متعدد شعب معقد ومتعاطف في نفس الوقت . تُعطى فئة كبيرة من متعددات كاهلر (فئة متعددات شعب هودج ) من خلال جميع الأصناف الإسقاطية المعقدة الملساء . ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle g}$${\displaystyle (J,g)}$

هندسة CR هي دراسة الهندسة الجوهرية لحدود المجالات في المتشعبات المعقدة .

الهندسة المطابقة هي دراسة مجموعة التحولات المحافظة على الزاوية (المطابقة) في الفضاء.

الطوبولوجيا التفاضلية هي دراسة المتغيرات الهندسية العالمية بدون شكل متري أو سيمبلكتيكي.

تبدأ الطوبولوجيا التفاضلية من العمليات الطبيعية مثل مشتق لي لحزم المتجهات الطبيعية ومشتق دي رام للأشكال . بجانب جبر لي ، تبدأ جبر كورانت أيضًا في لعب دور أكثر أهمية.

مجموعة لاي هي مجموعة تنتمي إلى فئة المتشعبات الملساء. وإلى جانب الخصائص الجبرية، تتمتع هذه المجموعة أيضًا بخصائص هندسية تفاضلية. وأكثر أشكالها وضوحًا هي جبر لاي الذي يمثل الفضاء المماس عند الوحدة المزودة بقوس لاي بين حقول المتجهات الثابتة إلى اليسار . وإلى جانب نظرية البنية، هناك أيضًا مجال واسع لنظرية التمثيل .

التحليل الهندسي هو أحد فروع الرياضيات حيث يتم استخدام أدوات من المعادلات التفاضلية، وخاصة المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية، لإنشاء نتائج جديدة في الهندسة التفاضلية والطوبولوجيا التفاضلية.

نظرية القياس هي دراسة الاتصالات على حزم المتجهات والحزم الرئيسية، وتنشأ من مشاكل في الفيزياء الرياضية ونظريات القياس الفيزيائية التي تدعم النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات . تهتم نظرية القياس بدراسة المعادلات التفاضلية للاتصالات على الحزم، ومساحات الوحدات الهندسية الناتجة عن حلول هذه المعادلات بالإضافة إلى الثوابت التي يمكن اشتقاقها منها. غالبًا ما تنشأ هذه المعادلات كمعادلات أويلر-لاجرانج التي تصف معادلات حركة أنظمة فيزيائية معينة في نظرية المجال الكمومي ، وبالتالي فإن دراستها ذات أهمية كبيرة في الفيزياء.

يلعب جهاز حزم المتجهات والحزم الرئيسية والوصلات على الحزم دورًا مهمًا للغاية في الهندسة التفاضلية الحديثة. يحمل متعدد الشعب الأملس دائمًا حزمة متجهة طبيعية، وهي الحزمة المماسية . وبعبارة فضفاضة، فإن هذا الهيكل في حد ذاته كافٍ فقط لتطوير التحليل على متعدد الشعب، بينما يتطلب القيام بالهندسة، بالإضافة إلى ذلك، بعض الطرق لربط المساحات المماسية في نقاط مختلفة، أي مفهوم النقل الموازي . يتم توفير مثال مهم من خلال الاتصالات التآلفية . بالنسبة لسطح في R ³ ، يمكن تحديد المستويات المماسية في نقاط مختلفة باستخدام التوازي الطبيعي على طول المسار الناتج عن الفضاء الإقليدي المحيط، والذي له تعريف قياسي معروف للمتري والتوازي. في الهندسة الريمانية ، يخدم اتصال ليفي-سيفيتا غرضًا مشابهًا. بشكل عام، ينظر المهندسون التفاضليون في المساحات ذات الحزمة المتجهة والاتصال التآلفي التعسفي الذي لا يتم تعريفه من حيث المتري. في الفيزياء، قد يكون المتعدد هو الزمكان ، وتكون الحزم والاتصالات مرتبطة بحقول فيزيائية مختلفة.

منذ بداية القرن التاسع عشر وحتى منتصفه، تمت دراسة الهندسة التفاضلية من وجهة نظر خارجية : حيث تم اعتبار المنحنيات والأسطح واقعة في فضاء إقليدي ذي أبعاد أعلى (على سبيل المثال سطح في فضاء محيطي ثلاثي الأبعاد). كانت النتائج الأكثر بساطة هي تلك الموجودة في الهندسة التفاضلية للمنحنيات والهندسة التفاضلية للأسطح. بدءًا من عمل ريمان ، تم تطوير وجهة النظر الجوهرية ، حيث لا يمكن للمرء أن يتحدث عن التحرك "خارج" الكائن الهندسي لأنه يُعتبر معطى بطريقة قائمة بذاتها. النتيجة الأساسية هنا هي نظرية جاوس egregium ، والتي تنص على أن الانحناء الغاوسي هو ثابت جوهري.

إن وجهة النظر الجوهرية أكثر مرونة. على سبيل المثال، فهي مفيدة في النسبية حيث لا يمكن اعتبار الزمان والمكان بشكل طبيعي خارجيين. ومع ذلك، هناك ثمن يجب دفعه في التعقيد التقني: التعريفات الجوهرية للانحناء والاتصالات تصبح أقل بديهية بصريًا.

يمكن التوفيق بين وجهتي النظر هاتين، أي يمكن اعتبار الهندسة الخارجية بنية إضافية للبنية الجوهرية. (انظر نظرية تضمين ناش .) في صيغة حساب التفاضل والتكامل الهندسي، يمكن وصف كل من الهندسة الخارجية والداخلية لمتعدد الشعب بواسطة شكل واحد بقيمة متجه ثنائي يسمى عامل الشكل . ^[15]

Part of a series on
Spacetime
Special relativity General relativity
Spacetime concepts Spacetime manifold Equivalence principle Lorentz transformations Minkowski space
General relativity Introduction to general relativity Mathematics of general relativity Einstein field equations
Classical gravity Introduction to gravitation Newton's law of universal gravitation
Relevant mathematics Four-vector Derivations of relativity Spacetime diagrams Differential geometry Curved space Curved spacetime Mathematics of general relativity Spacetime topology
Physics portal  Category
v t e

فيما يلي بعض الأمثلة حول كيفية تطبيق الهندسة التفاضلية في مجالات أخرى من العلوم والرياضيات.

• في الفيزياء ، للهندسة التفاضلية العديد من التطبيقات، بما في ذلك:
  • الهندسة التفاضلية هي اللغة التي يتم بها التعبير عن نظرية النسبية العامة لألبرت أينشتاين . وفقًا للنظرية، فإن الكون عبارة عن متعدد شعب سلس مزود بمقياس شبه ريماني، والذي يصف انحناء الزمكان . يعد فهم هذا الانحناء أمرًا ضروريًا لوضع الأقمار الصناعية في مدار حول الأرض. الهندسة التفاضلية لا غنى عنها أيضًا في دراسة العدسات الجاذبية والثقوب السوداء .
  • تُستخدم الأشكال التفاضلية في دراسة الكهرومغناطيسية .
  • للهندسة التفاضلية تطبيقات في كل من ميكانيكا لاغرانج وميكانيكا هاملتون . ويمكن استخدام المتشعبات السمبلكتيكية على وجه الخصوص لدراسة الأنظمة هاملتونية .
  • لقد تم استخدام الهندسة الريمانية وهندسة الاتصال لبناء صيغة الهندسة الحرارية الديناميكية والتي وجدت تطبيقات في الديناميكا الحرارية المتوازنة الكلاسيكية .
• في الكيمياء والفيزياء الحيوية عند نمذجة بنية غشاء الخلية تحت ضغط متفاوت.
• في الاقتصاد ، للهندسة التفاضلية تطبيقات في مجال القياس الاقتصادي . ^[16]
• يعتمد النمذجة الهندسية (بما في ذلك الرسومات الحاسوبية ) والتصميم الهندسي بمساعدة الكمبيوتر على أفكار من الهندسة التفاضلية.
• في الهندسة ، يمكن تطبيق الهندسة التفاضلية لحل المشاكل في معالجة الإشارات الرقمية . ^[17]
• في نظرية التحكم ، يمكن استخدام الهندسة التفاضلية لتحليل وحدات التحكم غير الخطية، وخاصة التحكم الهندسي ^[18]
• في الاحتمالات والإحصاء ونظرية المعلومات ، يمكن تفسير هياكل مختلفة على أنها متشعبات ريمانية، مما يؤدي إلى مجال هندسة المعلومات ، وخاصة عبر مقياس معلومات فيشر .
• في الجيولوجيا البنيوية ، يتم استخدام الهندسة التفاضلية لتحليل ووصف الهياكل الجيولوجية.
• في الرؤية الحاسوبية ، يتم استخدام الهندسة التفاضلية لتحليل الأشكال. ^[19]
• في معالجة الصور ، يتم استخدام الهندسة التفاضلية لمعالجة وتحليل البيانات على الأسطح غير المستوية. ^[20]
• أثبت دليل جريجوري بيرلمان على تخمين بوانكاريه باستخدام تقنيات تدفقات ريتشي قوة النهج الهندسي التفاضلي في حل الأسئلة في الطوبولوجيا ، كما سلط الضوء على الدور المهم الذي تلعبه أساليبه التحليلية.
• في الاتصالات اللاسلكية ، تُستخدم مشعبات جراسمان لتقنيات تشكيل الحزمة في أنظمة الهوائيات المتعددة . ^[21]
• في علم المساحة ، لحساب المسافات والزوايا على سطح مستوى سطح البحر المتوسط ​​للأرض ، يتم نمذجتها بواسطة شكل بيضاوي للثورة.

• إيثان د. بلوخ (27 يونيو 2011). دورة أولى في الطوبولوجيا الهندسية والهندسة التفاضلية. بوسطن: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-0-8176-8122-7. OCLC  811474509.
• بيرك، ويليام إل. (1997). الهندسة التفاضلية التطبيقية. مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 0-521-26929-6. OCLC  53249854.
• دو كارمو، مانفريدو بيرديجاو (1976). الهندسة التفاضلية للمنحنيات والأسطح. إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول. رقم ISBN 978-0-13-212589-5. OCLC  1529515.
• فرانكل، ثيودور (2004). هندسة الفيزياء: مقدمة (الطبعة الثانية). نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-53927-2. OCLC  51855212.
• إلسا أبينيا؛ سيمون سالامون؛ ألفريد جراي (2017). الهندسة التفاضلية الحديثة للمنحنيات والأسطح باستخدام ماثيماتيكا (الطبعة الثالثة). بوكا راتون: تشابمان وهول/سي آر سي. رقم ISBN 978-1-351-99220-6. OCLC  1048919510.
• كريسيج، إروين (1991). الهندسة التفاضلية. نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-66721-8. OCLC  23384584.
• كوهنيل، ولفجانج (2002). الهندسة التفاضلية: المنحنيات – الأسطح – المتشعبات (الطبعة الثانية). بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. رقم ISBN 978-0-8218-3988-1. OCLC  61500086.
• McCleary, John (1994). الهندسة من وجهة نظر قابلة للتفاضل. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-13311-4. OCLC  915912917.
• سبيفاك، مايكل (1999). مقدمة شاملة في الهندسة التفاضلية (5 مجلدات) (الطبعة الثالثة). النشر أو الهلاك. رقم ISBN 0-914098-72-1. OCLC  179192286.
• تير هار روميني، بارت م. (2003). الرؤية الأمامية وتحليل الصور متعددة المقاييس: نظرية وتطبيقات الرؤية الحاسوبية متعددة المقاييس، كتبت في ماثيماتيكا. دوردرخت: كلوير أكاديميك. رقم ISBN 978-1-4020-1507-6. OCLC  52806205.

• "الهندسة التفاضلية"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• ب. كونراد. مذكرات الهندسة التفاضلية، جامعة ستانفورد
• دورة الهندسة التفاضلية عبر الإنترنت لمايكل موراي، 1996 محفوظ في 2013-08-01 على موقع Wayback Machine
• دورة حديثة في المنحنيات والأسطح، ريتشارد إس باليه، 2003 محفوظ في 2019-04-09 على موقع واي باك مشين
• معرض الأسطح ثلاثية الأبعاد لريتشارد باليه محفوظ في 2019-04-09 على موقع Wayback Machine
• ملاحظات Balázs Csikós حول الهندسة التفاضلية أرشفة 2009-06-05 في آلة Wayback.
• إن جي هيكس، ملاحظات حول الهندسة التفاضلية، فان نوستراند.
• MIT OpenCourseWare: الهندسة التفاضلية، خريف 2008