متعدد الأوجه المعقد

في الهندسة التفاضلية والهندسة المركبة ، يُعرف الفضاء المركب أو الفضاء التحليلي المركب بأنه فضاء ذو ​​بنية مركبة ، أي أنه عبارة عن أطلس من المخططات للكرة المفتوحة ذات الوحدة ^{[ 1 ]} في فضاء الإحداثيات المركبة.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$، بحيث تكون خرائط الانتقال هولومورفية .

يُستخدم مصطلح "المتشعب المركب" بشكل مختلف ليعني المتشعب المركب بالمعنى المذكور أعلاه (والذي يمكن تحديده على أنه متشعب مركب قابل للتكامل ) أو متشعب مركب تقريبًا .

بما أن الدوال التحليلية أكثر صلابة من الدوال الملساء ، فإن نظريات المشعبات الملساء والمعقدة تختلف اختلافًا كبيرًا: فالمشعبات المعقدة المدمجة أقرب إلى الأصناف الجبرية منها إلى المشعبات التفاضلية. وعلى وجه الخصوص، بينما تتشابه المشعبات المعقدة والمشعبات التحليلية المعقدة، فإن المشعبات الملساء والمشعبات التحليلية الحقيقية تختلف.

على سبيل المثال، تنص نظرية ويتني للتضمين على أنه يمكن تضمين أي مشعب أملس ^{ذي بُعد} n كمشعب فرعي أملس من R²ⁿ ^، بينما من النادر أن يكون للمشعب المركب تضمين هولومورفي في Cⁿ ^. لنأخذ على سبيل المثال أي مشعب مركب متصل مضغوط M : أي دالة هولومورفية عليه تكون ثابتة وفقًا لمبدأ القيمة المطلقة القصوى . الآن، إذا كان لدينا تضمين هولومورفي لـ M في Cⁿ ^، فإن دوال إحداثيات Cⁿ ستقتصر على دوال هولومورفية غير ثابتة على M ، مما يناقض التراص، إلا في حالة كون M مجرد نقطة. تُسمى المشعبات المركبة التي يمكن تضمينها في Cⁿ بمشعبات شتاين ^{، وهي تُشكل فئة خاصة جدًا من المشعبات، بما في ذلك، على سبيل المثال} ، الأصناف الجبرية الأفينية المركبة الملساء.

يُعدّ تصنيف المتشعبات المعقدة أكثر تعقيدًا من تصنيف المتشعبات التفاضلية. فعلى سبيل المثال، بينما لا يتجاوز عدد البنى الملساء في أي متشعب طوبولوجي ذي أبعاد أخرى غير أربعة عددًا محدودًا ، فإن المتشعب الطوبولوجي الذي يدعم بنية معقدة يمكنه، بل وغالبًا ما يدعم، عددًا لا يُحصى من البنى المعقدة. وتُعدّ أسطح ريمان ، وهي متشعبات ثنائية الأبعاد مزودة ببنية معقدة، تُصنّف طوبولوجيًا حسب الجنس ، مثالًا هامًا على هذه الظاهرة. وتشكل مجموعة البنى المعقدة على سطح قابل للتوجيه، بشرط التكافؤ ثنائي الشكل، تنوعًا جبريًا معقدًا يُسمى فضاء المعاملات ، ولا تزال بنيته مجالًا خصبًا للبحث العلمي.

بما أن خرائط الانتقال بين المخططات ثنائية الشكل، فإن المشعبات المعقدة تكون، على وجه الخصوص، سلسة وموجهة بشكل قانوني (ليست قابلة للتوجيه فقط : الخريطة ثنائية الشكل إلى (مجموعة فرعية من) C ⁿ تعطي توجيهًا، لأن الخرائط ثنائية الشكل تحافظ على التوجيه).

• أسطح ريمان .
• مشعبات كالابي-ياو .
• حاصل الضرب الديكارتي لمتشعبين معقدين.
• الصورة العكسية لأي قيمة غير حرجة لخريطة هولومورفية.

تختلف المساحات التالية باعتبارها متعددات شعب معقدة، مما يدل على الطابع الهندسي الأكثر صلابة لمتعددات الشعب المعقدة (مقارنة بمتعددات الشعب الملساء):

• الفضاء المعقد${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.
• القرص الموحد أو الكرة المفتوحة

${\displaystyle \left\{z\in \mathbb {C} ^{n}:\|z\|<1\right\}.}$

• القرص المتعدد

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}:\vert z_{j}\vert <1\ \forall j=1,\dots ,n\right\}.}$

إن البنية المعقدة تقريبًا على مشعب حقيقي 2n هي بنية GL( n , C ) (بمعنى بنى G ) - أي أن الحزمة المماسية مجهزة ببنية معقدة خطية .

بشكل ملموس، هذا تشاكل داخلي للحزمة المماسية التي مربعها يساوي −I ؛ هذا التشاكل الداخلي مماثل للضرب في العدد التخيلي i ، ويُرمز له بـ J (لتجنب الخلط مع مصفوفة الوحدة I ). والمتشعب شبه العقدي هو بالضرورة ذو أبعاد زوجية.

البنية شبه المعقدة أضعف من البنية المعقدة: فكل مشعب معقد يمتلك بنية شبه معقدة، ولكن ليس كل بنية شبه معقدة تنشأ من بنية معقدة. تجدر الإشارة إلى أن كل مشعب حقيقي ذي أبعاد زوجية يمتلك بنية شبه معقدة معرفة محليًا من مخطط الإحداثيات المحلي. والسؤال المطروح هو ما إذا كان من الممكن تعريف هذه البنية شبه المعقدة عالميًا. تُسمى البنية شبه المعقدة التي تنشأ من بنية معقدة "بنية قابلة للتكامل" ، وعندما نرغب في تحديد بنية معقدة مقابل بنية شبه معقدة، نقول " بنية معقدة قابلة للتكامل ". بالنسبة للبنى المعقدة القابلة للتكامل، يتلاشى ما يُسمى بموتر ناينهاوس . يُعرَّف هذا الموتر على أزواج من حقول المتجهات، X و Y، بواسطة

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY]\ .}$

على سبيل المثال، تمتلك الكرة السداسية الأبعاد S₆ بنية شبه معقدة طبيعية ناتجة عن كونها المتممة المتعامدة للعدد i في كرة الوحدة للأوكتونيونات ، لكن هذه البنية ليست معقدة ^. (يُعرف التساؤل حول ما إذا كانت تمتلك بنية معقدة بمسألة هوبف ، نسبةً إلى هاينز هوبف ^{[ 3 ]} ) . باستخدام بنية شبه معقدة، يمكننا فهم الخرائط الهولومورفية والتساؤل عن وجود إحداثيات هولومورفية على المتشعب. وجود الإحداثيات الهولومورفية يُكافئ القول بأن المتشعب معقد (وهو ما ينص عليه تعريف المخطط).

بضرب حزمة المماس بالأعداد المركبة نحصل على حزمة المماس المركبة ، والتي يكون للضرب بالأعداد المركبة فيها معنى (حتى لو بدأنا بمتشعب حقيقي). القيم الذاتية لبنية شبه مركبة هي ± i، وتشكل الفضاءات الذاتية حزمًا فرعية يُرمز لها بـ T ^_0,1 M و T ^_1,0 M. تُبين نظرية نيولاندر-نيرنبرغ أن البنية شبه المركبة هي في الواقع بنية مركبة عندما تكون هذه الحزم الفرعية انعكاسية ، أي مغلقة تحت قوس لي لحقول المتجهات، وتُسمى هذه البنية شبه المركبة قابلة للتكامل .

يمكن تعريف نظير للمقياس الريماني للمتشعبات المركبة، يُسمى المقياس الهيرميتي . وكما هو الحال في المقياس الريماني، يتكون المقياس الهيرميتي من جداء داخلي موجب محدد ومتغير بسلاسة على الحزمة المماسية، وهو هيرميتي بالنسبة للبنية المركبة على الفضاء المماسي عند كل نقطة. وكما هو الحال في المقياس الريماني، توجد هذه المقاييس بكثرة على أي متشعب مركب، أي أن البنية الهيرميتية ليست جامدة.

يمكن تحليل الشكل الهرميتي إلى جزء حقيقي وجزء مركب كما يلي:${\displaystyle h(X,Y)=g(X,Y)+i\omega (X,Y)}$الجزء الحقيقي هو مقياس ريماني، والجزء المركب متناظر عكسيًا . إذا كان الجزء المتناظر عكسيًا تماثليًا ، أي مغلقًا وغير منحل ، يُسمى المقياس حينها مقياس كاهلر . بنى كاهلر نادرة وأكثر صلابة.

تشمل أمثلة مشعبات كاهلر الأصناف الإسقاطية الملساء ، وبشكل أعم أي مشعب فرعي معقد من مشعب كاهلر. أما مشعبات هوبف فهي أمثلة على مشعبات معقدة ليست كاهلر. لإنشاء مشعب هوبف، نأخذ فضاءً متجهيًا معقدًا مطروحًا منه نقطة الأصل، وننظر في تأثير زمرة الأعداد الصحيحة على هذا الفضاء بضربها في exp( n ). الناتج هو مشعب معقد يكون عدد بيتي الأول فيه واحدًا، لذا، وفقًا لنظرية هودج ، لا يمكن أن يكون كاهلر.

يمكن تعريف مشعب كالابي-ياو على أنه مشعب كاهلر مضغوط مسطح ريتشي أو بشكل مكافئ مشعب تتلاشى فيه فئة تشيرن الأولى .

• البعد المعقد
• مجموعة تحليلية معقدة
• مشعب رباعي
• متعدد الشعب الحقيقي المركب

• كودايرا، كونيهيكو (17 نوفمبر 2004). المتشعبات المعقدة وتشوه البنى المعقدة . سلسلة كلاسيكيات في الرياضيات. سبرينغر. ISBN 3-540-22614-1.