عدد مركب

تحتاج هذه المقالة إلى مصادر إضافية للتحقق . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة عن طريق إضافة مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. البحث عن المصادر:  "العدد المركب" - الأخبار  · الصحف  · الكتب  · العلماء  · JSTOR ( يوليو 2022 ) ( تعرف على كيفية ومتى تزيل هذه الرسالة )

في الرياضيات ، العدد المركب هو عنصر من عناصر نظام الأعداد الذي يمتد بالأعداد الحقيقية بعنصر محدد يُشار إليه بـ i ، ويُسمى الوحدة التخيلية ويُرضي المعادلة ؛ يمكن التعبير عن كل عدد مركب في الصيغة ، حيث a و b هما عددان حقيقيان. ولأنه لا يوجد عدد حقيقي يُرضي المعادلة أعلاه، فقد أطلق رينيه ديكارت على i اسم العدد التخيلي . بالنسبة للعدد المركب ، يُسمى a الوحدة التخيلية.${\displaystyle i^{2}=-1}$${\displaystyle a+bi}$${\displaystyle a+bi}$ الجزء الحقيقي ، وبيسمىالجزء التخيلي . يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد المركبة إما بالرمزأو C. وعلى الرغم من التسمية التاريخية، فإن الأعداد المركبة "التخيلية" لهارياضيثابت مثل وجود الأعداد الحقيقية، وهي أدوات أساسية في الوصف العلمي للعالم الطبيعي.^[1][2]${\displaystyle \mathbb {C} }$

تسمح الأعداد المركبة بإيجاد حلول لجميع المعادلات متعددة الحدود ، حتى تلك التي ليس لها حلول بالأعداد الحقيقية. وبشكل أكثر دقة، تؤكد النظرية الأساسية في الجبر أن كل معادلة متعددة الحدود غير ثابتة ذات معاملات حقيقية أو معقدة لها حل وهو عدد مركب. على سبيل المثال، ليس للمعادلة حل حقيقي، لأن مربع العدد الحقيقي لا يمكن أن يكون سالبًا، ولكن لها حلين مركبين غير حقيقيين و . ${\displaystyle (x+1)^{2}=-9}$${\displaystyle -1+3i}$${\displaystyle -1-3i}$

يمكن تعريف جمع وطرح وضرب الأعداد المركبة بشكل طبيعي باستخدام القاعدة جنبًا إلى جنب مع القوانين الترابطية والتبديلية والتوزيعية . كل عدد مركب غير صفري له معكوس ضربي . هذا يجعل الأعداد المركبة حقلًا مع الأعداد الحقيقية كحقل فرعي. ${\displaystyle i^{2}=-1}$

تشكل الأعداد المركبة أيضًا فضاء متجه حقيقي ذو بعدين ، مع أساس قياسي . يجعل هذا الأساس القياسي الأعداد المركبة مستويًا ديكارتيًا ، يُسمى المستوى المركب . يسمح هذا بتفسير هندسي للأعداد المركبة وعملياتها، وعلى العكس من ذلك، يمكن التعبير عن بعض الكائنات والعمليات الهندسية من حيث الأعداد المركبة. على سبيل المثال، تشكل الأعداد الحقيقية الخط الحقيقي ، والذي يُصوَّر على أنه المحور الأفقي للمستوى المركب، بينما المضاعفات الحقيقية لـ هي المحور الرأسي. يمكن أيضًا تعريف العدد المركب من خلال إحداثياته ​​القطبية الهندسية : يُسمى نصف القطر القيمة المطلقة للعدد المركب، بينما تسمى الزاوية من المحور الحقيقي الموجب وسيطة العدد المركب. تشكل الأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة واحد دائرة الوحدة . يؤدي إضافة عدد مركب ثابت إلى جميع الأعداد المركبة إلى تحديد انتقال في المستوى المركب، والضرب في عدد مركب ثابت هو تشابه يتركز في الأصل (يتمدد بالقيمة المطلقة، ويدور بالوسيطة). عملية الاقتران المركب هي تماثل الانعكاس بالنسبة للمحور الحقيقي. ${\displaystyle \{1,i\}}$${\displaystyle i}$

تشكل الأعداد المركبة بنية غنية تمثل في الوقت نفسه حقلًا مغلقًا جبريًا ، وجبرًا تبديليًا على الأعداد الحقيقية، ومساحة متجه إقليدية ذات بعدين.

العدد المركب هو عبارة عن تعبير من الصورة a + bi ، حيث a و b عددان حقيقيان ، و i رمز تجريدي، أو ما يسمى بالوحدة التخيلية ، والتي سيتم شرح معناها بمزيد من التفصيل أدناه. على سبيل المثال، 2 + 3 i هو عدد مركب. ^[3]

بالنسبة لعدد مركب a + bi ، فإن العدد الحقيقي a يسمى جزئه الحقيقي ، والعدد الحقيقي b (وليس العدد المركب bi ) هو جزئه التخيلي . ^{[4] [5]} الجزء الحقيقي من العدد المركب z يرمز له بـ Re( z ) ، أو، أو ؛ الجزء التخيلي هو Im( z ) ، أو، أو : على سبيل المثال ،، . ${\displaystyle {\mathcal {Re}}(z)}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}(z)}$${\displaystyle {\mathcal {Im}}(z)}$${\displaystyle {\mathfrak {I}}(z)}$${\textstyle \operatorname {Re} (2+3i)=2}$${\displaystyle \operatorname {Im} (2+3i)=3}$

يمكن التعرف على العدد المركب z من خلال الزوج المرتب من الأعداد الحقيقية ، والذي يمكن تفسيره على أنه إحداثيات نقطة في المستوى الإقليدي بإحداثيات قياسية، والتي تسمى بعد ذلك بالمستوى المركب أو مخطط أرجاند ، ^{[6] [أ]} . ^[7] يستخدم المحور الأفقي بشكل عام لعرض الجزء الحقيقي، مع زيادة القيم إلى اليمين، ويمثل الجزء التخيلي المحور الرأسي، مع زيادة القيم لأعلى. ${\displaystyle (\Re (z),\Im (z))}$

يمكن اعتبار العدد الحقيقي a عددًا مركبًا a + 0 i ، وجزءه التخيلي يساوي 0. والعدد التخيلي البحت bi هو عدد مركب 0 + bi ، وجزءه الحقيقي يساوي صفرًا. وكما هو الحال مع كثيرات الحدود، من الشائع كتابة a + 0 i = a و 0 + bi = bi و a + (− b ) i = a − bi ؛ على سبيل المثال، 3 + (−4) i = 3 − 4 i .

يتم الإشارة إلى مجموعة جميع الأعداد المركبة بواسطة ( خط عريض على السبورة ) أو C (خط عريض مستقيم). ${\displaystyle \mathbb {C} }$

في بعض التخصصات مثل الكهرومغناطيسية والهندسة الكهربائية ، يتم استخدام j بدلاً من i ، حيث يمثل i غالبًا التيار الكهربائي ، ^{[8] [9]} ويتم كتابة الأعداد المركبة على هيئة a + bj أو a + jb .

عددان مركبان يتم جمعهما عن طريق إضافة أجزائهما الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل. أي: ${\displaystyle أ=س+يي}$${\displaystyle b=u+vi}$

$${\displaystyle a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.}$$ وبالمثل، يمكن إجراء عملية الطرح على النحو التالي:$${\displaystyle ab=(x+yi)-(u+vi)=(xu)+(yv)i.}$$

يمكن تصور الجمع هندسيًا على النحو التالي: مجموع عددين مركبين a و b ، يُفسَّران كنقطتين في المستوى المركب، هو النقطة التي تم الحصول عليها من خلال بناء متوازي أضلاع من الرؤوس الثلاثة O ، ونقاط الأسهم المسمى a و b (بشرط ألا تكون على خط مستقيم). وعلى نحو مماثل، فإن تسمية هذه النقاط A و B على التوالي والنقطة الرابعة من متوازي الأضلاع X المثلثين OAB و XBA متطابقتان .

يتم حساب حاصل ضرب عددين مركبين على النحو التالي:

${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.}$

على سبيل المثال، على وجه الخصوص، يتضمن هذا كحالة خاصة الصيغة الأساسية ${\displaystyle (3+2i)(4-i)=3\cdot 4-(2\cdot (-1))+(3\cdot (-1)+2\cdot 4)i=14+5i.}$

${\displaystyle i^{2}=i\cdot i=-1.}$

تميز هذه الصيغة العدد المركب i عن أي عدد حقيقي، حيث أن مربع أي عدد حقيقي (سلبي أو موجب) هو دائمًا عدد حقيقي غير سالب.

مع هذا التعريف للضرب والجمع، تظل القواعد المألوفة لحساب الأعداد النسبية أو الحقيقية سارية على الأعداد المركبة. وبشكل أكثر دقة، فإن الخاصية التوزيعية ، أي الخصائص التبادلية (للجمع والضرب) سارية. وبالتالي، تشكل الأعداد المركبة بنية جبرية تُعرف باسم الحقل ، بنفس الطريقة التي تشكل بها الأعداد النسبية أو الحقيقية. ^[10]

يُعرَّف المرافق المركب للعدد المركب z = x + yi ^{بأنه [11]} ويُشار إليه أيضًا من قبل بعض المؤلفين بـ . هندسيًا، z هو "انعكاس" z حول المحور الحقيقي. يُعطي المرافق مرتين العدد المركب الأصلي: يكون العدد المركب حقيقيًا إذا وفقط إذا كان يساوي مرافقه. لا يمكن التعبير عن العملية الأحادية المتمثلة في أخذ المرافق المركب للعدد المركب من خلال تطبيق عملياتها الأساسية فقط وهي الجمع والطرح والضرب والقسمة. ${\displaystyle {\overline {z}}=x-yi.}$${\displaystyle z^{*}}$${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$

لأي عدد مركب z = x + yi ، فإن حاصل الضرب

${\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}}$

هو عدد حقيقي غير سلبي . وهذا يسمح بتحديد القيمة المطلقة (أو معامل أو مقدار ) لـ z لتكون الجذر التربيعي ^[12] وفقًا لنظرية فيثاغورس ، هي المسافة من الأصل إلى النقطة التي تمثل العدد المركب z في المستوى المركب. وعلى وجه الخصوص، تتكون الدائرة التي يبلغ نصف قطرها واحدًا حول الأصل على وجه التحديد من الأعداد z بحيث . إذا كان عددًا حقيقيًا، فإن : قيمته المطلقة كعدد مركب وكعدد حقيقي متساوية. $${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$${\displaystyle |z|}$${\displaystyle |z|=1}$${\displaystyle z=x=x+0i}$${\displaystyle |z|=|x|}$

باستخدام المترافق، يمكن حساب مقلوب عدد مركب غير صفري ليكون ${\displaystyle z=x+yi}$

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{|z| ^{2}}}={\frac {x-yi}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}} -{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$ بشكل عام، فإن قسمة عدد مركب عشوائي على عدد مركب غير صفري يساوي: هذه العملية تسمى أحيانًا " ترشيد " المقام (على الرغم من أن المقام في التعبير النهائي قد يكون عددًا حقيقيًا غير نسبي)، لأنها تشبه طريقة إزالة الجذور من التعبيرات البسيطة في المقام. ^{[ بحاجة لمصدر ]}${\displaystyle w=u+vi}$${\displaystyle z=x+yi}$$${\displaystyle {\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{|z|^{2}}}={\frac {(u+vi)(x- iy)}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {ux+vy}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {vx-uy}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$

إن وسيطة z (والتي تسمى أحيانًا "الطور" φ ) ^[7] هي زاوية نصف القطر Oz مع المحور الحقيقي الموجب، وتكتب على هيئة arg z ، معبرًا عنها بالراديان في هذه المقالة. يتم تعريف الزاوية فقط حتى إضافة مضاعفات صحيحة لـ ، نظرًا لأن الدوران بمقدار (أو 360 درجة) حول الأصل يترك جميع النقاط في المستوى المركب دون تغيير. أحد الخيارات الممكنة لتحديد الوسيطة بشكل فريد هو اشتراط أن تكون ضمن الفاصلة ، والتي يشار إليها بالقيمة الأساسية . ^[13] يمكن حساب الوسيطة من الشكل المستطيلي x + yi عن طريق دالة الظل العكسي . ^[14] ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

لأي عدد مركب z ، بقيمة مطلقة وحجة ، المعادلة ${\displaystyle r=|z|}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

يحمل. يشار إلى هذه الهوية بالشكل القطبي لـ z . يتم اختصارها أحيانًا باسم . في الإلكترونيات ، يمثل المرء طورًا بسعة r وطور φ في تدوين الزاوية : ^[15]${\textstyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi }$$${\displaystyle z=r\angle \varphi .}$$

إذا تم إعطاء عددين مركبين في صورة قطبية، أي z ₁ = r ₁ (cos  φ ₁ + i  sin  φ ₁ ) و z ₂ = r ₂ (cos  φ ₂ + i  sin  φ ₂ ) ، فيمكن حساب حاصل الضرب والقسمة على النحو التالي (هذه نتيجة للمتطابقات المثلثية لدالة الجيب وجيب التمام.) بعبارة أخرى، يتم ضرب القيم المطلقة وإضافة الوسائط للحصول على الصورة القطبية لحاصل الضرب. توضح الصورة الموجودة على اليمين ضرب نظرًا لأن الجزء الحقيقي والتخيلي من 5 + 5 i متساويان، فإن وسيطة هذا العدد هي 45 درجة، أو π / 4 ( بالراديان ). من ناحية أخرى، فهي أيضًا مجموع الزوايا عند أصل المثلثين الأحمر والأزرق هي arctan (1/3) و arctan (1/2)، على التوالي. وبالتالي، فإن الصيغة صحيحة. نظرًا لأنه يمكن تقريب دالة الظل العكسي بكفاءة عالية، يتم استخدام صيغ مثل هذه - المعروفة باسم صيغ تشبه صيغ ماشين - لتقريبات عالية الدقة لـ π . ^{[ بحاجة لمصدر ]}$${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).}$$ $${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right),{\text{if }}z_{2}\neq 0.}$$$${\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.}$$$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)}$$

يمكن حساب القوة n لعدد مركب باستخدام صيغة ديموافر ، والتي يتم الحصول عليها من خلال تطبيق الصيغة أعلاه بشكل متكرر على المنتج: على سبيل المثال، القوى القليلة الأولى للوحدة التخيلية i هي . $${\displaystyle z^{n}=\underbrace {z\cdot \dots \cdot z} _{n{\text{ factors}}}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}$$${\displaystyle i,i^{2}=-1,i^{3}=-i,i^{4}=1,i^{5}=i,\dots }$

الجذور n n للعدد المركب z تُعطى بواسطة لـ 0 ≤ k ≤ n − 1. (هذا هو الجذر n المعتاد (الموجب) للعدد الحقيقي الموجب r .) ولأن الجيب وجيب التمام دوريان، فإن القيم الصحيحة الأخرى لـ k لا تعطي قيمًا أخرى. لأي ، هناك، على وجه الخصوص، n جذور مركبة مميزة n -th. على سبيل المثال، هناك 4 جذور رابعة للعدد 1، وهي $${\displaystyle z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)}$$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$${\displaystyle z\neq 0}$

${\displaystyle z_{1}=1,z_{2}=i,z_{3}=-1,z_{4}=-i.}$

بشكل عام، لا توجد طريقة طبيعية للتمييز بين جذر مركب معين من الدرجة n لعدد مركب. (وهذا على النقيض من جذور العدد الحقيقي الموجب x ، الذي له جذر حقيقي موجب فريد من الدرجة n ، والذي يُشار إليه عادةً باسم الجذر n لـ x .) يُشار إلى هذا الموقف بالقول إن الجذر n هو دالة ذات قيمة n لـ z .

تنص النظرية الأساسية في الجبر لكارل فريدريش جاوس وجان لورون دالمبيرت على أنه بالنسبة لأي أعداد مركبة (تسمى المعاملات ) a ₀ ، ...،  a _n ، فإن المعادلة لها على الأقل حل مركب واحد z ، بشرط أن يكون أحد المعاملات الأعلى على الأقل a ₁ ، ...،  a _n غير صفري. ^[16] لا تنطبق هذه الخاصية على مجال الأعداد النسبية (لا تحتوي كثيرة الحدود x ² − 2 على جذر نسبي، لأن √2 ليس عددًا نسبيًا) ولا الأعداد الحقيقية (لا تحتوي كثيرة الحدود x ² + 4 على جذر حقيقي، لأن مربع x موجب لأي عدد حقيقي x ). $${\displaystyle a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

وبسبب هذه الحقيقة، يُطلق عليه اسم الحقل المغلق جبريًا . وهو حجر الأساس للعديد من تطبيقات الأعداد المركبة، كما هو مفصل أدناه. هناك العديد من البراهين على هذه النظرية، إما من خلال الأساليب التحليلية مثل نظرية ليوفيل ، أو الأساليب الطوبولوجية مثل العدد المتعرج ، أو من خلال إثبات يجمع بين نظرية جالوا وحقيقة أن أي كثيرة حدود حقيقية من الدرجة الفردية لها جذر حقيقي واحد على الأقل. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

الحل بالجذور (بدون دوال مثلثية ) لمعادلة تكعيبية عامة ، عندما تكون جذورها الثلاثة أعدادًا حقيقية، يحتوي على الجذور التربيعية للأعداد السالبة ، وهو موقف لا يمكن تصحيحه عن طريق التحليل بمساعدة اختبار الجذر النسبي ، إذا كان التكعيبي غير قابل للاختزال ؛ هذا هو ما يسمى بـ casus irreducibilis ("الحالة غير القابلة للاختزال"). قاد هذا اللغز عالم الرياضيات الإيطالي جيرولامو كاردانو إلى تصور الأعداد المركبة في حوالي عام 1545 في كتابه Ars Magna ، ^[17] على الرغم من أن فهمه كان بدائيًا؛ علاوة على ذلك، وصف لاحقًا الأعداد المركبة بأنها "دقيقة بقدر ما هي عديمة الفائدة". ^[18] استخدم كاردانو أرقامًا خيالية، لكنه وصف استخدامها بأنه "تعذيب عقلي". ^[19] كان هذا قبل استخدام المستوى المركب الرسومي. في القرن السادس عشر، ابتكر كاردانو وعلماء رياضيات إيطاليون آخرون، ولا سيما سكيبيون ديل فيرو ، خوارزمية لحل المعادلات التكعيبية والتي كانت تحتوي عمومًا على حل حقيقي واحد وحلين يحتويان على عدد وهمي. ولأنهم تجاهلوا الإجابات التي تحتوي على أعداد وهمية، فقد وجد كاردانو أنها عديمة الفائدة. ^[20]

أدى العمل على مشكلة كثيرات الحدود العامة في النهاية إلى النظرية الأساسية في الجبر ، والتي توضح أنه مع الأعداد المركبة، يوجد حل لكل معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الأولى أو أعلى. وبالتالي تشكل الأعداد المركبة مجالًا مغلقًا جبريًا ، حيث يكون لأي معادلة كثيرة الحدود جذر .

ساهم العديد من علماء الرياضيات في تطوير الأعداد المركبة. وقد طور عالم الرياضيات الإيطالي رافائيل بومبيلي قواعد الجمع والطرح والضرب واستخراج الجذر للأعداد المركبة . ^{[21] كما طور عالم الرياضيات الأيرلندي} ويليام روان هاميلتون صيغة أكثر تجريدًا للأعداد المركبة ، حيث وسّع هذا التجريد ليشمل نظرية الرباعيات . ^[22]

ربما يمكن القول إن أقدم إشارة عابرة إلى الجذور التربيعية للأعداد السالبة حدثت في عمل عالم الرياضيات اليوناني هيرو الإسكندري في القرن الأول الميلادي ، حيث اعتبر في كتابه Stereometrica ، على ما يبدو عن طريق الخطأ ، حجم مجسم مستحيل للهرم للوصول إلى المصطلح في حساباته، والذي من شأنه أن يُبسط اليوم إلى . ^[ب] لم يتم تصور الكميات السالبة في الرياضيات الهلنستية واستبدلها هيرو فقط بقيمها الموجبة ^[24]${\displaystyle {\sqrt {81-144}}}$${\displaystyle {\sqrt {-63}}=3i{\sqrt {7}}}$${\displaystyle {\sqrt {144-81}}=3{\sqrt {7}}.}$

نشأ الدافع لدراسة الأعداد المركبة كموضوع في حد ذاته لأول مرة في القرن السادس عشر عندما اكتشف علماء الرياضيات الإيطاليون ( نيكولا فونتانا تارتاجليا وجيرولامو كاردانو ) الحلول الجبرية لجذور كثيرات الحدود المكعبة والرباعية . سرعان ما أدرك (ولكن ثبت ذلك بعد ذلك بكثير) ^[25] أن هذه الصيغ، حتى لو كان المرء مهتمًا فقط بالحلول الحقيقية، تتطلب أحيانًا التلاعب بالجذور التربيعية للأعداد السالبة. في الواقع، ثبت لاحقًا أن استخدام الأعداد المركبة أمر لا مفر منه عندما تكون الجذور الثلاثة حقيقية ومتميزة. ^[ج] ومع ذلك، لا يزال من الممكن استخدام الصيغة العامة في هذه الحالة، مع بعض العناية للتعامل مع الغموض الناتج عن وجود ثلاثة جذور تكعيبية للأعداد المركبة غير الصفرية. كان رافائيل بومبيلي أول من تناول صراحةً هذه الحلول المتناقضة ظاهريًا للمعادلات التكعيبية وطور قواعد الحساب المعقد، محاولًا حل هذه المشكلات.

تم صياغة مصطلح "خيالي" لهذه الكميات بواسطة رينيه ديكارت في عام 1637، الذي بذل قصارى جهده للتأكيد على طبيعتها غير الحقيقية: ^[26]

... في بعض الأحيان تكون خيالية فقط، أي أنه يمكن تخيل العدد الذي قلته في كل معادلة، ولكن في بعض الأحيان لا توجد كمية تطابق ما نتخيله.
[ ... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on toujours enتخيل autant que j'ai dit en chaque équation، mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui matche à celle qu'on يتصور. ]

كان مصدر آخر للارتباك هو أن المعادلة بدت متناقضة بشكل متقلب مع المتطابقة الجبرية ، والتي تصلح للأعداد الحقيقية غير السالبة أ وب ، والتي استُخدمت أيضًا في حسابات الأعداد المركبة حيث يكون أحد أ وب موجبًا والآخر سالبًا. حتى أن الاستخدام غير الصحيح لهذه المتطابقة في الحالة التي يكون فيها كل من أ وب سالبين، والمتطابقة ذات الصلة ، أزعجت ليونهارد أويلر . أدت هذه الصعوبة في النهاية إلى اتفاقية استخدام الرمز الخاص i بدلاً من للحماية من هذا الخطأ. [ ^{بحاجة لمصدر ]} ومع ذلك، اعتبر أويلر أنه من الطبيعي تعريف الطلاب بالأعداد المركبة في وقت أبكر بكثير مما نفعل اليوم. في كتابه النصي للجبر الابتدائي، ^عناصر الجبر ، قدم هذه الأرقام دفعة واحدة تقريبًا ثم استخدمها بطريقة طبيعية طوال الوقت. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

في القرن الثامن عشر، اكتسبت الأعداد المركبة استخدامًا أوسع، حيث لوحظ أنه يمكن استخدام التلاعب الرسمي بالتعابير المركبة لتبسيط الحسابات التي تتضمن دوال مثلثية. على سبيل المثال، في عام 1730، لاحظ أبراهام دي موافر أن الهويات التي تربط الدوال المثلثية لعدد صحيح مضاعف لزاوية بقوى الدوال المثلثية لتلك الزاوية يمكن إعادة التعبير عنها بصيغة دي موافر التالية :

$${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta .}$$

في عام 1748، ذهب أويلر إلى أبعد من ذلك وحصل على صيغة أويلر للتحليل المركب : ^[27]

$${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$$

من خلال التلاعب رسميًا بسلسلة القوى المعقدة ولاحظ أن هذه الصيغة يمكن استخدامها لتقليص أي هوية مثلثية إلى هويات أسيّة أبسط بكثير.

تم وصف فكرة العدد المركب كنقطة في المستوى المركب (أعلاه) لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الدنماركي النرويجي كاسبار ويسل في عام 1799، [ ^28] على الرغم من أنه تم توقعها في وقت مبكر من عام 1685 في أطروحة واليس في الجبر . ^[29]

ظهرت مذكرات ويسل في وقائع أكاديمية كوبنهاجن لكنها مرت دون أن يلاحظها أحد إلى حد كبير. في عام 1806، أصدر جان روبرت أرجاند بشكل مستقل كتيبًا عن الأعداد المركبة وقدم دليلاً صارمًا للنظرية الأساسية في الجبر . ^{[30] كان} كارل فريدريش جاوس قد نشر في وقت سابق دليلاً طوبولوجيًا أساسيًا للنظرية في عام 1797 لكنه عبر عن شكوكه في ذلك الوقت حول "الميتافيزيقيا الحقيقية للجذر التربيعي لـ -1". ^[31] لم يتغلب على هذه الشكوك ونشر أطروحته حول الأعداد المركبة كنقط في المستوى إلا في عام 1831، ^[32] حيث أسس إلى حد كبير التدوين والمصطلحات الحديثة: ^[33]

إذا كان المرء قد تأمل هذا الموضوع من وجهة نظر خاطئة ووجد بالتالي ظلامًا غامضًا، فإن هذا يرجع إلى حد كبير إلى المصطلحات الخرقاء. لو لم نسمي +1 أو −1 وحدات موجبة أو سالبة أو وهمية (أو حتى مستحيلة)، بل وحدات مباشرة أو عكسية أو جانبية، لما كان من الممكن الحديث عن مثل هذا الظلام.${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

في بداية القرن التاسع عشر، اكتشف علماء رياضيات آخرون بشكل مستقل التمثيل الهندسي للأعداد المركبة: بوي، ^{[34] [35]} موري ، ^[36] وارن، ^{[37] [38] [39]} فرانسيس وشقيقه بيلفيتيس . ^{[40] [41]}

أشار عالم الرياضيات الإنجليزي جي إتش هاردي إلى أن جاوس كان أول عالم رياضيات يستخدم الأعداد المركبة "بطريقة واثقة وعلمية حقًا" على الرغم من أن علماء الرياضيات مثل النرويجي نيلز هنريك آبل وكارل جوستاف جاكوب جاكوبي كانوا بالضرورة يستخدمونها بشكل روتيني قبل أن ينشر جاوس أطروحته عام 1831. ^[42]

لقد نجح أوغستين لويس كوشي وبرنارد ريمان معًا في جلب الأفكار الأساسية للتحليل المركب إلى حالة عالية من الاكتمال، بدءًا من حوالي عام 1825 في حالة كوشي.

المصطلحات الشائعة المستخدمة في النظرية ترجع في المقام الأول إلى المؤسسين. أطلق أرجاند على cos φ + i sin φ اسم عامل الاتجاه ، والمعامل ؛ ^{[d] [43]} أطلق كوشي (1821) على cos φ + i sin φ اسم الشكل المختزل (l'expression réduite) ^[44] ويبدو أنه قدم مصطلح الحجة ؛ استخدم جاوس i لـ ، ^[e] قدم مصطلح العدد المركب لـ a + bi ، ^[f] وأطلق على a ² + b ² اسم القاعدة . ^[g] معامل اتجاه التعبير ، المستخدم غالبًا لـ cos φ + i sin φ ، يعود إلى هانكل (1867)، ^[48] والقيمة المطلقة، للمعامل ، تعود إلى ويرستراس. ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

ومن بين الكتاب الكلاسيكيين اللاحقين في النظرية العامة ريتشارد ديدكيند ، وأوتو هولدر ، وفيليكس كلاين ، وهنري بوانكاريه ، وهيرمان شوارتز ، وكارل ويرستراس، وغيرهم الكثير. وقد بدأ العمل المهم (بما في ذلك التنظيم) في حساب التفاضل والتكامل المتعدد المتغيرات المعقد في بداية القرن العشرين. وقد حقق فيلهلم فيرتينجر نتائج مهمة في عام 1927.

في حين أن التعريفات المنخفضة المستوى المذكورة أعلاه، بما في ذلك الجمع والضرب، تصف الأعداد المركبة بدقة، إلا أن هناك طرقًا أخرى مكافئة تكشف عن البنية الجبرية المجردة للأعداد المركبة بشكل أكثر مباشرة.

أحد الأساليب هو عبر كثيرات الحدود ، أي التعبيرات من النموذج حيث المعاملات a ₀ ، ...،  a _n هي أرقام حقيقية. مجموعة كل هذه الحدود يشار إليها بـ . نظرًا لأن مجموع وحاصل ضرب كثيرات الحدود هي أيضًا كثيرات حدود، فإن هذه المجموعة تشكل حلقة تبديلية ، تسمى حلقة كثيرات الحدود (على الأعداد الحقيقية). لكل كثير حدود p ، يمكن للمرء أن يعين العدد المركب ، أي القيمة التي تم الحصول عليها عن طريق وضع . هذا يحدد دالة ${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle p(X)=a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$${\displaystyle p(i)=a_{n}i^{n}+\dotsb +a_{1}i+a_{0}}$${\displaystyle X=i}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]\to \mathbb {C} }$

هذه الدالة هي دالة شمولية لأن كل عدد مركب يمكن الحصول عليه بهذه الطريقة: تقييم كثيرة الحدود الخطية عند هو . ومع ذلك، فإن تقييم كثيرة الحدود عند i هو 0، لأن هذه كثيرة الحدود غير قابلة للاختزال ، أي لا يمكن كتابتها كحاصل ضرب كثيرتي حدود خطيتين. وبالتالي فإن الحقائق الأساسية للجبر المجرد تعني أن نواة الخريطة أعلاه هي مثالية تم إنشاؤها بواسطة هذه كثيرة الحدود، وأن حاصل هذا المثالي هو حقل، وأن هناك تماثلًا${\displaystyle a+bX}$${\displaystyle X=i}$${\displaystyle a+bi}$${\displaystyle X^{2}+1}$${\displaystyle i^{2}+1=0.}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1){\stackrel {\cong }{\to }}\mathbb {C} }$

بين حلقة القسمة و . يعتبر بعض المؤلفين هذا بمثابة تعريف لـ . ^[49]${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

بقبول أن يكون مغلقًا جبريًا، لأنه امتداد جبري لـ في هذا النهج، فهو بالتالي الإغلاق الجبري لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

يمكن أيضًا تمثيل الأعداد المركبة a + bi بمصفوفات 2 × 2 لها الشكل هنا المدخلات a و b هي أعداد حقيقية. ونظرًا لأن مجموع ومنتج مصفوفتين من هذا القبيل يكون مرة أخرى بهذا الشكل، فإن هذه المصفوفات تشكل حلقة فرعية لحلقة مصفوفات 2 × 2 . $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}.}$$

يُظهِر حساب بسيط أن الخريطة عبارة عن تماثل حلقي من حقل الأعداد المركبة إلى حلقة هذه المصفوفات، مما يثبت أن هذه المصفوفات تشكل حقلاً. يربط هذا التماثل مربع القيمة المطلقة لعدد مركب بمحدد المصفوفة المقابلة، ومقترن عدد مركب بمنقول المصفوفة . $${\displaystyle a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}$$

يمكن أيضًا التعبير عن الوصف الهندسي لضرب الأعداد المركبة من حيث مصفوفات الدوران باستخدام هذا التطابق بين الأعداد المركبة ومثل هذه المصفوفات. يتوافق عمل المصفوفة على متجه ( x ، y ) مع ضرب x + iy في a + ib . على وجه الخصوص، إذا كان المحدد هو 1 ، فهناك عدد حقيقي t بحيث يكون للمصفوفة الشكل

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\;\;\cos t\end{pmatrix}}.}$$ في هذه الحالة، يكون تأثير المصفوفة على المتجهات والضرب في العدد المركب كلاهما دوران الزاوية t . ${\displaystyle \cos t+i\sin t}$

تُعرف دراسة وظائف المتغير المركب بالتحليل المركب ولها استخدام عملي هائل في الرياضيات التطبيقية وكذلك في فروع أخرى من الرياضيات. غالبًا ما تستخدم البراهين الأكثر طبيعية للبيانات في التحليل الحقيقي أو حتى نظرية الأعداد تقنيات من التحليل المركب (انظر نظرية الأعداد الأولية كمثال).

على عكس الوظائف الحقيقية، والتي يتم تمثيلها عادة على هيئة رسوم بيانية ثنائية الأبعاد، فإن الوظائف المعقدة لها رسوم بيانية رباعية الأبعاد، ويمكن توضيحها بشكل مفيد عن طريق ترميز الألوان لرسم بياني ثلاثي الأبعاد للإشارة إلى أربعة أبعاد، أو عن طريق تحريك التحويل الديناميكي للوظيفة المعقدة للمستوى المركب.

إن مفاهيم السلسلة المتقاربة والدوال المستمرة في التحليل (الحقيقي) لها نظائر طبيعية في التحليل المركب. يقال إن تسلسل الأعداد المركبة يتقارب إذا وفقط إذا تقاربت أجزاؤه الحقيقية والتخيلية. وهذا يعادل تعريف (ε, δ) للحدود ، حيث يتم استبدال القيمة المطلقة للأعداد الحقيقية بقيمة الأعداد المركبة. ومن وجهة نظر أكثر تجريدًا، فإن ، المزودة بالمقياس هي مساحة مترية كاملة ، والتي تتضمن بشكل ملحوظ متباينة المثلث لأي عددين مركبين z ₁ و z ₂ . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}$$ $${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$$

كما هو الحال في التحليل الحقيقي، يتم استخدام مفهوم التقارب هذا لبناء عدد من الدوال الأولية : يتم تعريف الدالة الأسية exp z ، والتي تُكتب أيضًا e ^z ، على أنها المتسلسلة اللانهائية ، والتي يمكن إثبات تقاربها لأي z : على سبيل المثال، هو رقم أويلر . تنص صيغة أويلر على: لأي عدد حقيقي φ . هذه الصيغة هي نتيجة سريعة للحقائق الأساسية العامة حول متسلسلة القوى المتقاربة وتعريفات الدوال المعنية كمتسلسلة قوى. كحالة خاصة، يتضمن هذا متطابقة أويلر$${\displaystyle \exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$${\displaystyle \exp(1)}$ ${\displaystyle e\approx 2.718}$$${\displaystyle \exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$ $${\displaystyle \exp(i\pi )=-1.}$$

لأي عدد حقيقي موجب t ، يوجد عدد حقيقي فريد x بحيث . وهذا يؤدي إلى تعريف اللوغاريتم الطبيعي باعتباره معكوس الدالة الأسية. يختلف الوضع بالنسبة للأعداد المركبة، حيث ${\displaystyle \exp(x)=t}$ ${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x}$

${\displaystyle \exp(z+2\pi i)=\exp z\exp(2\pi i)=\exp z}$

بالمعادلة الوظيفية ومتطابقة أويلر. على سبيل المثال، e ^iπ = e ^{3 iπ} = −1 ، لذا فإن كلًا من iπ و 3 iπ قيمتان محتملتان للوغاريتم المركب لـ −1 .

بشكل عام، إذا أعطينا أي عدد مركب غير صفري w ، أي عدد z حل المعادلة

${\displaystyle \exp z=w}$

يُطلق عليه لوغاريتم مركب لـ w ، ويرمز له بـ . ويمكن إثبات أن هذه الأرقام تحقق الشرط حيث arg هي الوسيطة المحددة أعلاه، وln اللوغاريتم الطبيعي (الحقيقي) . ونظرًا لأن arg هي دالة متعددة القيم ، فريدة فقط حتى مضاعف 2 π ، فإن log أيضًا متعدد القيم. غالبًا ما يتم أخذ القيمة الأساسية لـ log عن طريق تقييد الجزء التخيلي بالفاصل ( − π ، π ] . وهذا يؤدي إلى أن يكون اللوغاريتم المركب دالة ثنائية الاتجاه تأخذ قيمًا في الشريط (المشار إليه في الرسم التوضيحي أعلاه) ${\displaystyle \log w}$$${\displaystyle z=\log w=\ln |w|+i\arg w,}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right]}$${\displaystyle S_{0}}$$${\displaystyle \ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right].}$$

إذا لم يكن عددًا حقيقيًا غير موجب (عدد موجب أو غير حقيقي)، فإن القيمة الأساسية الناتجة للوغاريتم المركب يتم الحصول عليها باستخدام − π < φ < π . إنها دالة تحليلية خارج الأعداد الحقيقية السالبة، ولكن لا يمكن إطالتها إلى دالة متصلة عند أي عدد حقيقي سالب ، حيث القيمة الأساسية هي ln z = ln(− z ) + iπ . ^[h]${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \left(-\mathbb {R} _{\geq 0}\right)}$${\displaystyle z\in -\mathbb {R} ^{+}}$

يُعرَّف الأس المركب z ^ω بأنه و متعدد القيم، باستثناء عندما يكون ω عددًا صحيحًا. بالنسبة إلى ω = 1 / n ، ولأي عدد طبيعي n ، فإن هذا يستعيد عدم تفرد الجذور n المذكورة أعلاه. إذا كان z > 0 عددًا حقيقيًا (و ω عددًا مركبًا عشوائيًا)، يكون لدينا خيار مفضل لـ ، اللوغاريتم الحقيقي، والذي يمكن استخدامه لتحديد دالة أسية مفضلة. $${\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \ln z),}$$${\displaystyle \ln x}$

الأعداد المركبة، على عكس الأعداد الحقيقية، لا تلبي بشكل عام هويات الأس واللوغاريتم غير المعدلة، وخاصةً عندما يتم التعامل معها بسذاجة كوظائف ذات قيمة واحدة؛ انظر فشل هويات الأس واللوغاريتم . على سبيل المثال، لا تلبي كلا جانبي المعادلة متعددي القيم حسب تعريف الأس المركب المعطى هنا، والقيم الموجودة على اليسار هي مجموعة فرعية من تلك الموجودة على اليمين. $${\displaystyle a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.}$$

تنتقل السلسلة التي تحدد الدوال المثلثية الحقيقية الجيب وجيب التمام ، وكذلك الدوال الزائدية sinh وcosh، أيضًا إلى الحجج المركبة دون تغيير. بالنسبة للدوال المثلثية والزائدية الأخرى، مثل الظل ، تكون الأمور أكثر تعقيدًا بعض الشيء، حيث لا تتقارب السلسلة المحددة لجميع القيم المركبة. لذلك، يجب تعريفها إما من حيث الجيب وجيب التمام والأسي، أو على نحو مكافئ، باستخدام طريقة الاستمرارية التحليلية .

تُسمى الدالة → دالة متجانسة أو معقدة قابلة للاشتقاق عند نقطة إذا كان الحد ${\displaystyle f:\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}$

يوجد (وفي هذه الحالة يتم الإشارة إليه بواسطة ). وهذا يحاكي تعريف الدوال القابلة للاشتقاق الحقيقية، إلا أن جميع الكميات هي أعداد مركبة. وبعبارة أخرى، فإن حرية الاقتراب في اتجاهات مختلفة تفرض شرطًا أقوى بكثير من كونها قابلة للاشتقاق (حقيقية). على سبيل المثال، الدالة ${\displaystyle f'(z_{0})}$${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f(z)={\overline {z}}}$

يمكن الاشتقاق كدالة ، ولكنها ليست قابلة للاشتقاق بشكل معقد. تكون الدالة القابلة للاشتقاق الحقيقية قابلة للاشتقاق بشكل معقد إذا وفقط إذا كانت تلبي معادلات كوشي-ريمان ، والتي يتم اختصارها أحيانًا باسم ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0.}$

يُظهر التحليل المركب بعض الميزات غير الواضحة في التحليل الحقيقي. على سبيل المثال، تؤكد نظرية الهوية أن دالتين متماثلتين f و g تتفقان إذا اتفقتا على مجموعة فرعية مفتوحة صغيرة تعسفية من . الدوال المتماثلة ، الدوال التي يمكن كتابتها محليًا على أنها f ( z )/( z − z ₀ ) ⁿ مع دالة متماثلة f ، لا تزال تشترك في بعض ميزات الدوال المتماثلة. تحتوي الدوال الأخرى على تفردات أساسية ، مثل sin(1/ z ) عند z = 0 . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

للأعداد المركبة تطبيقات في العديد من المجالات العلمية، بما في ذلك معالجة الإشارات ، ونظرية التحكم ، والكهرومغناطيسية ، وديناميكيات الموائع ، وميكانيكا الكم ، ورسم الخرائط ، وتحليل الاهتزاز . يتم وصف بعض هذه التطبيقات أدناه.

كما يتم استخدام الاقتران المركب في الهندسة العكسية ، وهو فرع من الهندسة يدرس الانعكاسات الأكثر عمومية من تلك حول خط. في تحليل الشبكة للدوائر الكهربائية ، يتم استخدام الاقتران المركب في إيجاد المعاوقة المكافئة عند البحث عن نظرية نقل القدرة القصوى .

تحدد ثلاث نقاط غير متوازية في المستوى شكل المثلث . وبتحديد النقاط في المستوى المركب، يمكن التعبير عن شكل المثلث هذا من خلال الحساب المركب على النحو التالي: سيظل شكل المثلث كما هو، عندما يتم تحويل المستوى المركب عن طريق الترجمة أو التمدد (عن طريق التحويل التآلفي )، وهو ما يتوافق مع المفهوم البديهي للشكل، ويصف التشابه . وبالتالي فإن كل مثلث يقع في فئة تشابه المثلثات التي لها نفس الشكل. ^[50]${\displaystyle u,v,w}$${\displaystyle \{u,v,w\}}$$${\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}.}$$${\displaystyle S}$${\displaystyle \{u,v,w\}}$

مجموعة ماندلبروت هي مثال شائع للكسورية المتكونة على المستوى المركب. يتم تعريفها من خلال رسم كل موقع حيث لا يتباعد تكرار التسلسل عند التكرار إلى ما لا نهاية. وبالمثل، فإن مجموعات جوليا لها نفس القواعد، باستثناء حيث تظل ثابتة. ${\displaystyle c}$${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$${\displaystyle c}$

يحتوي كل مثلث على قطع ناقص شتاينر فريد - قطع ناقص داخل المثلث ومماس لنقاط منتصف الأضلاع الثلاثة للمثلث. يمكن إيجاد بؤر قطع ناقص شتاينر للمثلث على النحو التالي، وفقًا لنظرية ماردن : ^{[51] [52]} حدد رؤوس المثلث في المستوى المركب على النحو التالي: a = x _A + y _A i و b = x _B + y _B i و c = x _C + y _C i . اكتب المعادلة التكعيبية ، وخذ مشتقتها، وساوِ المشتقة (التربيعية) بالصفر. تنص نظرية ماردن على أن حلول هذه المعادلة هي الأعداد المركبة التي تشير إلى مواقع بؤرتي قطع ناقص شتاينر. ${\displaystyle (x-a)(x-b)(x-c)=0}$

كما ذكر أعلاه، فإن أي معادلة متعددة الحدود غير ثابتة (في المعاملات المركبة) لها حل في . ومن باب أولى ، فإن الأمر نفسه صحيح إذا كانت المعادلة لها معاملات نسبية. تسمى جذور هذه المعادلات بالأعداد الجبرية - وهي موضوع رئيسي للدراسة في نظرية الأعداد الجبرية . بالمقارنة مع ، فإن الإغلاق الجبري لـ ، والذي يحتوي أيضًا على جميع الأعداد الجبرية، يتميز بكونه سهل الفهم من الناحية الهندسية. وبهذه الطريقة، يمكن استخدام الأساليب الجبرية لدراسة الأسئلة الهندسية والعكس صحيح. باستخدام الأساليب الجبرية، وبشكل أكثر تحديدًا تطبيق آلية نظرية المجال على حقل الأعداد الذي يحتوي على جذور الوحدة ، يمكن إثبات أنه من غير الممكن إنشاء شكل تسعوي منتظم باستخدام الفرجار والمسطرة فقط - وهي مشكلة هندسية بحتة. ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

مثال آخر هو الأعداد الصحيحة الغوسية ؛ أي الأعداد من النموذج x + iy ، حيث x و y أعداد صحيحة، والتي يمكن استخدامها لتصنيف مجموعات المربعات .

تدرس نظرية الأعداد التحليلية الأعداد، غالبًا الأعداد الصحيحة أو النسبية، من خلال الاستفادة من حقيقة أنه يمكن اعتبارها أعدادًا مركبة، والتي يمكن استخدام الأساليب التحليلية فيها. يتم ذلك عن طريق ترميز المعلومات النظرية للأعداد في وظائف ذات قيمة مركبة. على سبيل المثال، ترتبط دالة زيتا لريمان ζ( s ) بتوزيع الأعداد الأولية .

في المجالات التطبيقية، تُستخدم الأعداد المركبة غالبًا لحساب بعض التكاملات غير الصحيحة ذات القيمة الحقيقية ، وذلك عن طريق الدوال ذات القيمة المركبة. توجد عدة طرق للقيام بذلك؛ راجع طرق تكامل المحيط .

في المعادلات التفاضلية ، من الشائع أولاً إيجاد جميع الجذور المركبة r للمعادلة المميزة لمعادلة تفاضلية خطية أو نظام معادلات ثم محاولة حل النظام من حيث الدوال الأساسية من النموذج f ( t ) = e ^rt . وبالمثل، في معادلات الفرق ، تُستخدم الجذور المركبة r للمعادلة المميزة لنظام معادلات الفرق، لمحاولة حل النظام من حيث الدوال الأساسية من النموذج f ( t ) = r ^t .

نظرًا لأن المصفوفة المربعة المركبة غير الفارغة مغلقة جبريًا، فإن لها على الأقل قيمة ذاتية (مركبة) واحدة . وبالمقارنة، لا تحتوي المصفوفات الحقيقية دائمًا على قيم ذاتية حقيقية، على سبيل المثال ، لا تترك مصفوفات الدوران (بالنسبة لدورات المستوى بزوايا غير 0 درجة أو 180 درجة) أي اتجاه ثابت، وبالتالي ليس لها أي قيمة ذاتية حقيقية . إن وجود القيم الذاتية (المركبة)، والوجود اللاحق لتحلل القيم الذاتية، يعد أداة مفيدة لحساب قوى المصفوفة وأسس المصفوفة . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

غالبًا ما تعمم الأعداد المركبة المفاهيم التي تم تصورها في الأصل في الأعداد الحقيقية. على سبيل المثال، يعمم المنقول المترافق المنقول ، وتعمم المصفوفات الهرميتية المصفوفات المتماثلة ، وتعمم المصفوفات الوحدوية المصفوفات المتعامدة .

في نظرية التحكم ، غالبًا ما يتم تحويل الأنظمة من مجال الزمن إلى مجال التردد المعقد باستخدام تحويل لابلاس . ثم يتم تحليل أصفار وأقطاب النظام في المستوى المعقد . تستخدم تقنيات موضع الجذر ومخطط نيكويست ومخطط نيكولز المستوى المعقد.

في طريقة موضع الجذر، من المهم معرفة ما إذا كانت الأصفار والأقطاب في نصفي المستويين الأيسر أو الأيمن، أي أن الجزء الحقيقي أكبر من الصفر أو أقل منه. إذا كان للنظام الخطي الثابت زمنيًا (LTI) أقطابًا تكون

• في النصف الأيمن من المستوى، سيكون غير مستقر ،
• كل ذلك في النصف الأيسر من المستوى، وسوف يكون مستقرًا ،
• على المحور التخيلي سيكون له استقرار هامشي .

إذا كان النظام يحتوي على أصفار في نصف المستوى الأيمن، فهو نظام طور غير أدنى .

تُستخدم الأعداد المركبة في تحليل الإشارات والمجالات الأخرى للحصول على وصف ملائم للإشارات المتغيرة بشكل دوري. بالنسبة للوظائف الحقيقية المعطاة التي تمثل الكميات الفيزيائية الفعلية، غالبًا من حيث الجيب وجيب التمام، يتم اعتبار الوظائف المركبة المقابلة والتي تكون أجزاؤها الحقيقية هي الكميات الأصلية. بالنسبة لموجة جيبية بتردد معين ، فإن القيمة المطلقة | z | لـ z المقابلة هي السعة والحجة arg z هي الطور .

إذا تم استخدام تحليل فورييه لكتابة إشارة ذات قيمة حقيقية معينة كمجموع من الدوال الدورية، فغالبًا ما تُكتب هذه الدوال الدورية كدوال ذات قيمة معقدة من النموذج

$${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \{X(t)\}}$$

و

$${\displaystyle X(t)=Ae^{i\omega t}=ae^{i\phi }e^{i\omega t}=ae^{i(\omega t+\phi )}}$$

حيث يمثل ω التردد الزاوي ويرمز العدد المركب A إلى الطور والسعة كما هو موضح أعلاه.

ويمتد هذا الاستخدام أيضًا إلى معالجة الإشارات الرقمية ومعالجة الصور الرقمية ، والتي تستخدم الإصدارات الرقمية من تحليل فورييه ( وتحليل الموجات ) لنقل وضغط واستعادة ومعالجة إشارات الصوت الرقمية والصور الثابتة وإشارات الفيديو .

هناك مثال آخر يتعلق بالنطاقين الجانبيين لتعديل السعة في راديو AM، وهو:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos((\omega +\alpha )t)+\cos \left((\omega -\alpha )t\right)&=\operatorname {Re} \left(e^{i(\omega +\alpha )t}+e^{i(\omega -\alpha )t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(\left(e^{i\alpha t}+e^{-i\alpha t}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(2\cos(\alpha t)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \operatorname {Re} \left(e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \cos \left(\omega t\right).\end{aligned}}}$$

في الهندسة الكهربائية ، يتم استخدام تحويل فورييه لتحليل الفولتات والتيارات المتغيرة. ومن الممكن بعد ذلك توحيد معالجة المقاومات والمكثفات والمحاثات عن طريق إدخال مقاومات وهمية تعتمد على التردد للمكثفات والمحاثات الأخيرة ودمج الثلاثة في عدد مركب واحد يسمى المعاوقة . ويسمى هذا النهج حساب الطور .

في الهندسة الكهربائية، يتم الإشارة إلى الوحدة التخيلية بالرمز j ، لتجنب الخلط مع I ، والتي تُستخدم عادةً للإشارة إلى التيار الكهربائي ، أو بشكل أكثر تحديدًا، i ، والتي تُستخدم عادةً للإشارة إلى التيار الكهربائي اللحظي.

نظرًا لأن الجهد في دائرة التيار المتردد متذبذب، فيمكن تمثيله على النحو التالي:

$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{j\omega t}=V_{0}\left(\cos \omega t+j\sin \omega t\right),}$$

للحصول على الكمية القابلة للقياس، يتم أخذ الجزء الحقيقي:

$${\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} (V)=\operatorname {Re} \left[V_{0}e^{j\omega t}\right]=V_{0}\cos \omega t.}$$

تسمى الإشارة ذات القيمة المركبة V ( t ) بالتمثيل التحليلي للإشارة القابلة للقياس ذات القيمة الحقيقية v ( t ) . ^[53]

في ديناميكا الموائع ، يتم استخدام الدوال المعقدة لوصف التدفق المحتمل في بعدين .

إن مجال الأعداد المركبة متأصل في الصياغات الرياضية لميكانيكا الكم ، حيث توفر فضاءات هيلبرت المعقدة السياق لصياغة واحدة من هذا القبيل والتي تعد ملائمة وربما الأكثر شيوعًا. تستخدم الصيغ الأساسية الأصلية لميكانيكا الكم - معادلة شرودنجر وميكانيكا مصفوفة هايزنبرغ - الأعداد المركبة.

في النسبية الخاصة والعامة ، تصبح بعض صيغ القياس على الزمكان أبسط إذا اعتبرنا أن مكون الوقت لاستمرار الزمكان تخيلي. (لم يعد هذا النهج قياسيًا في النسبية الكلاسيكية، ولكنه يستخدم بطريقة أساسية في نظرية المجال الكمومي .) الأعداد المركبة ضرورية للمغزل ، وهو تعميم للموتر المستخدم في النسبية.

يتمتع الحقل بالخصائص الثلاث التالية: ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• أولاً، لها الخاصية 0. وهذا يعني أن 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 لأي عدد من أوامر الجمع (كلها تساوي واحدًا).
• ثانياً، درجة تجاوزها على ، المجال الرئيسي هو عددية المتصل .${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$
• ثالثًا، إنه مغلق جبريًا (انظر أعلاه).

يمكن إظهار أن أي حقل له هذه الخصائص يكون متماثلًا (كحقل) إلى على سبيل المثال، يلبي الإغلاق الجبري لحقل الرقم p -adic أيضًا هذه الخصائص الثلاث، لذا فإن هذين الحقلين متماثلان (كحقلين، ولكن ليس كحقل طوبولوجي). ^[54] أيضًا، متماثل مع حقل سلسلة Puiseux المعقدة . ومع ذلك، فإن تحديد التماثل يتطلب بديهية الاختيار . ومن العواقب الأخرى لهذا التوصيف الجبري أنه يحتوي على العديد من الحقول الفرعية المناسبة المتماثلة إلى . ${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

إن التوصيف السابق لـ يصف فقط الجوانب الجبرية لـ وهذا يعني أن خصائص القرب والاستمرارية ، والتي تهم في مجالات مثل التحليل والطوبولوجيا ، لم يتم التعامل معها. إن الوصف التالي لـ كحقل طوبولوجي (أي حقل مزود بطوبولوجيا ، والتي تسمح بمفهوم التقارب) يأخذ في الاعتبار الخصائص الطوبولوجية. يحتوي على مجموعة فرعية P (أي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة) من العناصر غير الصفرية التي تلبي الشروط الثلاثة التالية: ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

• P مغلق تحت الجمع والضرب وأخذ المعكوسات.
• إذا كان x و y عنصرين متميزين لـ P ، فإن x − y أو y − x موجود في P.
• إذا كانت S أي مجموعة فرعية غير فارغة من P ، فإن S + P = x + P لبعض x في${\displaystyle \mathbb {C} .}$

علاوة على ذلك، لديه تماثل ذاتي غير تافه x ↦ x * (أي الاقتران المركب)، بحيث يكون x x * في P لأي x غير صفري في${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

يمكن منح أي حقل F بهذه الخصائص طوبولوجيا من خلال أخذ المجموعات B ( x ,  p ) = {  y | p − ( y − x )( y − x )* ∈ P  }  كأساس ، حيث يتراوح x على الحقل ويتراوح p على P. مع هذه الطوبولوجيا، يكون F متماثلًا كحقل طوبولوجي لـ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

الحقول الطوبولوجية المدمجة المحلية الوحيدة المتصلة هي و وهذا يعطي توصيفًا آخر لـ كحقل طوبولوجي، لأن يمكن تمييزه عن لأن الأعداد المركبة غير الصفرية متصلة ، بينما الأعداد الحقيقية غير الصفرية ليست كذلك. ^[55] ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

أنظمة الأعداد

	الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$	الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$	الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$	رباعيات${\displaystyle \mathbb {H} }$	ثمانيات${\displaystyle \mathbb {O} }$	سيدينيون${\displaystyle \mathbb {S} }$
مكتمل	لا	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم
البعد كمساحة متجهة ${\displaystyle \mathbb {R} }$	[لا ينطبق]	1	2	4	8	16
مُرتّب	نعم	نعم	لا	لا	لا	لا
الضرب التبادلي ( )${\displaystyle xy=yx}$	نعم	نعم	نعم	لا	لا	لا
الضرب الترابطي ( )${\displaystyle (xy)z=x(yz)}$	نعم	نعم	نعم	نعم	لا	لا
الجبر القسمي المعياري (على )${\displaystyle \mathbb {R} }$	[لا ينطبق]	نعم	نعم	نعم	نعم	لا

إن عملية توسيع مجال الأعداد الحقيقية إلى هي مثال على بناء كايلي ديكسون . إن تطبيق هذا البناء بشكل تكراري إلى ينتج عنه الرباعيات ، والثمانيات ، ^[56] والسيدينيون ، والثنائيات المثلثية . يتبين أن هذا البناء يقلل من الخصائص البنيوية لأنظمة الأعداد المعنية. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

على عكس الأعداد الحقيقية، ليس حقلًا مرتبًا ، أي أنه من غير الممكن تحديد علاقة z ₁ < z ₂ متوافقة مع الجمع والضرب. في الواقع، في أي حقل مرتب، يكون مربع أي عنصر موجبًا بالضرورة، لذا فإن i ² = −1 يستبعد وجود ترتيب على ^[57] يؤدي المرور من إلى الرباعيات إلى فقدان القدرة على التبديل، بينما تفشل الأوكتونات (بالإضافة إلى عدم كونها تبديلية) في أن تكون ارتباطية. الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة والرباعيات والثمانيات هي جبر قسمة معياري على . وفقًا لنظرية هورويتز ، فهي الوحيدة؛ تفشل السدينيونات ، الخطوة التالية في بناء كايلي ديكسون، في الحصول على هذا الهيكل. ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

يرتبط بناء كايلي ديكسون ارتباطًا وثيقًا بالتمثيل المنتظم للفكر باعتباره جبرًا - ( مساحة متجه - مع ضرب)، فيما يتعلق بالأساس (1،  i ) . وهذا يعني ما يلي: يمكن تمثيل الخريطة الخطية - لبعض الأعداد المركبة الثابتة w بمصفوفة 2 × 2 (بمجرد اختيار الأساس). فيما يتعلق بالأساس (1،  i ) ، فإن هذه المصفوفة هي تلك المذكورة في القسم الخاص بتمثيل المصفوفات للأعداد المركبة أعلاه. في حين أن هذا تمثيل خطي لـ في المصفوفات الحقيقية 2 × 2، إلا أنه ليس الوحيد. أي مصفوفة لها خاصية أن مربعها هو السالب لمصفوفة الوحدة: J ² = − I. ثم تكون أيضًا متماثلة للحقل وتعطي بنية معقدة بديلة على هذا يتم تعميمه من خلال مفهوم البنية المعقدة الخطية . ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0}$$$${\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}}$$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

كما يمكن تعميم الأعداد الفائقة التعقيد ، على سبيل المثال، تحتوي هذه الفكرة على الأعداد المركبة المنقسمة ، وهي عناصر الحلقة (على عكس الأعداد المركبة). في هذه الحلقة، تحتوي المعادلة a ² = 1 على أربعة حلول. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$${\displaystyle \mathbb {O} .}$${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}$${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$

الحقل هو اكتمال حقل الأعداد النسبية ، بالنسبة لمقياس القيمة المطلقة المعتاد . تؤدي الاختيارات الأخرى للمقاييس على إلى حقول الأعداد p -adic (لأي عدد أولي p )، والتي تكون بالتالي مماثلة لـ . لا توجد طرق أخرى غير تافهة للإكمال غير و وفقًا لنظرية أوستروفسكي . لا تزال الإغلاقات الجبرية لـ تحمل معيارًا، ولكن (على عكس ) ليست كاملة بالنسبة لها. يتبين أن اكتمال مغلق جبريًا. بالقياس، يُطلق على الحقل الأعداد المركبة p -adic. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$

وتسمى الحقول وامتداداتها المحدودة، بما في ذلك الحقول المحلية . ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

• استمرار التحليل
• الحركة الدائرية باستخدام الأعداد المركبة
• نظام القاعدة المعقدة
• فضاء إحداثيات معقد
• الهندسة المعقدة
• هندسة الأرقام
• عدد مركب مزدوج
• عدد صحيح أيزنشتاين
• الجبر الهندسي (الذي يتضمن المستوى المركب كفضاء فرعي سبينور ثنائي الأبعاد )${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}^{+}}$
• عدد مركب الوحدة