عدد صحيح

العدد الصحيح هو الرقم صفر ⁽ 0 ) ^، أو عدد طبيعي موجب ( 1 ، ² ، 3 ، . ^...​​​​​​ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة جزئية منها هي بدورها مجموعة جزئية من مجموعة كل الأعداد النسبية نفسها وهي مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية ^[أ] مثل مجموعة الأعداد الطبيعية، فإن مجموعة الأعداد الصحيحة لا نهائية قابلة للعد . يمكن اعتبار العدد الصحيح عددًا حقيقيًا يمكن كتابته بدون مكون كسري . على سبيل المثال، 21 و4 و0 و−2048 هي أعداد صحيحة، بينما 9.75 و⁠5${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {س} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$+1/2⁠ ، 5/4 و  √ 2 ليست كذلك. ^[8]

تشكل الأعداد الصحيحة أصغر مجموعة وأصغر حلقة تحتوي على الأعداد الطبيعية . في نظرية الأعداد الجبرية ، توصف الأعداد الصحيحة أحيانًا بأنها أعداد صحيحة نسبية لتمييزها عن الأعداد الصحيحة الجبرية الأكثر عمومية . في الواقع، الأعداد الصحيحة (النسبية) هي أعداد صحيحة جبرية هي أيضًا أعداد نسبية .

كلمة عدد صحيح تأتي من الكلمة اللاتينية integer والتي تعني "كامل" أو (حرفيًا) "غير ممسوح"، من in ("ليس") بالإضافة إلى tangere ("لمس"). "كامل" مشتق من نفس الأصل عبر الكلمة الفرنسية entier ، والتي تعني كل من الكامل والصحيح . [ 9 ^] تاريخيًا، تم استخدام المصطلح لعدد مضاعف لـ 1، ^{[10] [11]} أو للجزء الكامل من عدد مختلط . ^{[12] [13]} تم اعتبار الأعداد الصحيحة الموجبة فقط، مما جعل المصطلح مرادفًا للأعداد الطبيعية . توسع تعريف العدد الصحيح بمرور الوقت ليشمل الأعداد السالبة حيث تم الاعتراف بفائدتها. ^[14] على سبيل المثال، عرّف ليونهارد أويلر في عناصر الجبر عام 1765 الأعداد الصحيحة لتشمل الأعداد الموجبة والسلبية. ^[15]

لم تُستخدم عبارة مجموعة الأعداد الصحيحة قبل نهاية القرن التاسع عشر، عندما قدم جورج كانتور مفهوم المجموعات اللانهائية ونظرية المجموعات . يأتي استخدام الحرف Z للإشارة إلى مجموعة الأعداد الصحيحة من الكلمة الألمانية Zahlen ("الأعداد") ^{[3] [4]} وقد نُسب إلى ديفيد هيلبرت . ^[16] أقدم استخدام معروف للترميز في كتاب مدرسي يحدث في كتاب Algèbre الذي كتبه نيكولاس بورباكي الجماعي ، والذي يرجع تاريخه إلى عام 1947. ^{[3] [17]} لم يتم اعتماد الترميز على الفور، على سبيل المثال استخدم كتاب مدرسي آخر الحرف J ^[18] واستخدمت ورقة عام 1960 Z للإشارة إلى الأعداد الصحيحة غير السالبة. ^[19] ولكن بحلول عام 1961، تم استخدام Z بشكل عام في نصوص الجبر الحديثة للإشارة إلى الأعداد الصحيحة الموجبة والسلبية. ^[20]

غالبًا ما يتم شرح الرمز للإشارة إلى مجموعات مختلفة، مع استخدام متفاوت بين مؤلفين مختلفين: ، أو للأعداد الصحيحة الموجبة، أو للأعداد الصحيحة غير السلبية، وللأعداد الصحيحة غير الصفرية. يستخدم بعض المؤلفين للأعداد الصحيحة غير الصفرية، بينما يستخدمه آخرون للأعداد الصحيحة غير السلبية، أو لـ {–1, 1} ( مجموعة وحدات ) . بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدامه للإشارة إما إلى مجموعة الأعداد الصحيحة modulo p (أي مجموعة فئات التطابق للأعداد الصحيحة)، أو مجموعة الأعداد الصحيحة p -adic . ^{[21] [22]}${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{>}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{0+}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\geq }}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\neq }}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

كانت الأعداد الصحيحة مرادفة للأعداد الصحيحة حتى أوائل الخمسينيات من القرن العشرين. ^{[23] [24] [25]} في أواخر الخمسينيات من القرن العشرين، كجزء من حركة الرياضيات الجديدة ، ^[26] بدأ معلمو المدارس الابتدائية الأمريكية في تعليم أن الأعداد الصحيحة تشير إلى الأعداد الطبيعية ، باستثناء الأعداد السالبة، بينما تتضمن الأعداد الصحيحة الأعداد السالبة. ^{[27] [28]} تظل الأعداد الصحيحة غامضة حتى يومنا هذا. ^[29]

البنية الجبرية → نظرية المجموعة نظرية المجموعة
المفاهيم الأساسية المجموعة الفرعية المجموعة الفرعية الطبيعية العمل الجماعي مجموعة الحاصل منتج (شبه) مباشر المجموع المباشر منتج مجاني منتج إكليل الزهور تشابهات المجموعات نواة صورة بسيط محدود لانهائي مستمر مضاعف مادة مضافة دوري أبيليان ثنائي السطوح عديم القدرة قابلة للحل مسرد نظرية المجموعة قائمة مواضيع نظرية المجموعة
المجموعات المحدودة المجموعة الدورية Z n المجموعة المتماثلة S n المجموعة المتناوبة أ ن المجموعة ثنائية السطوح D n المجموعة الرباعية Q نظرية كوشي نظرية لاجرانج نظريات سيلاو نظرية هول مجموعة ب المجموعة الإبيلية الابتدائية مجموعة فروبينيوس مضاعف شور تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة دوري متناوب نوع الكذب متقطع
المجموعات المنفصلة شبكات الأعداد الصحيحة (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) مجموعة مجانية المجموعات المعيارية ب س ل(2،${\displaystyle \mathbb {Z} }$) س ل(2،${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

Algebraic structure → Ring theory Ring theory
Basic concepts Rings • Subrings • Ideal • Quotient ring • Fractional ideal • Total ring of fractions • Product of rings • Free product of associative algebras • Tensor product of algebras Ring homomorphisms • Kernel • Inner automorphism • Frobenius endomorphism Algebraic structures • Module • Associative algebra • Graded ring • Involutive ring • Category of rings • Initial ring ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Terminal ring ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} /1\mathbb {Z} }$ Related structures • Field • Finite field • Non-associative ring • Lie ring • Jordan ring • Semiring • Semifield
Commutative algebra Commutative rings • Integral domain • Integrally closed domain • GCD domain • Unique factorization domain • Principal ideal domain • Euclidean domain • Field • Finite field • Polynomial ring • Formal power series ring Algebraic number theory • Algebraic number field • Integers modulo n • Ring of integers • p-adic integers ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p-adic numbers ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • Prüfer p-ring ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$
Noncommutative algebra Noncommutative rings • Division ring • Semiprimitive ring • Simple ring • Commutator Noncommutative algebraic geometry Free algebra Clifford algebra • Geometric algebra Operator algebra
v t e

مثل الأعداد الطبيعية ، يكون مغلقًا تحت عمليات الجمع والضرب ، أي أن مجموع وحاصل ضرب أي عددين صحيحين يكون عددًا صحيحًا. ومع ذلك، مع تضمين الأعداد الطبيعية السالبة (والأهم من ذلك،  0 )، يكون أيضًا مغلقًا تحت الطرح على عكس الأعداد الطبيعية . ^[30]${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

تشكل الأعداد الصحيحة حلقة هي الأكثر أساسية، بالمعنى التالي: لأي حلقة، هناك تماثل حلقي فريد من الأعداد الصحيحة في هذه الحلقة. هذه الخاصية العالمية ، وهي أن تكون كائنًا أوليًا في فئة الحلقات ، تميز الحلقة  . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$لا يكون مغلقًا تحت القسمة ، لأن حاصل قسمة عددين صحيحين (على سبيل المثال، 1 مقسومًا على 2) لا يلزم أن يكون عددًا صحيحًا. على الرغم من أن الأعداد الطبيعية مغلقة تحت الأسس ، فإن الأعداد الصحيحة ليست كذلك (لأن النتيجة يمكن أن تكون كسرًا عندما يكون الأس سالبًا).

يوضح الجدول التالي بعض الخصائص الأساسية للجمع والضرب لأي أعداد صحيحة a و b و c :

خصائص الجمع والضرب على الأعداد الصحيحة

	إضافة	الضرب
إنهاء :	أ + ب  هو عدد صحيح	أ × ب  هو عدد صحيح
الترابطية :	أ + ( ب + ج ) = ( أ + ب ) + ج	أ × ( ب × ج ) = ( أ × ب ) × ج
التبادلية :	أ + ب = ب + أ	أ × ب = ب × أ
وجود عنصر الهوية :	أ + 0 = أ	أ × 1 = أ
وجود العناصر العكسية :	أ + (− أ ) = 0	الأعداد الصحيحة القابلة للعكس الوحيدة (والتي تسمى الوحدات ) هي −1 و  1 .
التوزيعية :	أ × ( ب + ج ) = ( أ × ب ) + ( أ × ج )  و ( أ + ب ) × ج = ( أ × ج ) + ( ب × ج )
لا يوجد قواسم صفرية :		إذا كان أ × ب = 0 ، فإن أ = 0 أو ب = 0 (أو كلاهما)

تقول الخصائص الخمس الأولى المذكورة أعلاه للجمع أن ، تحت الجمع، هي مجموعة أبيلية . وهي أيضًا مجموعة دورية ، حيث يمكن كتابة كل عدد صحيح غير صفري كمجموع منتهٍ 1 + 1 + ... + 1 أو (−1) + (−1) + ... + (−1) . في الواقع، تحت الجمع هي المجموعة الدورية اللانهائية الوحيدة - بمعنى أن أي مجموعة دورية لا نهائية متماثلة مع . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

تقول الخصائص الأربع الأولى المذكورة أعلاه للضرب أن الضرب الموجود تحته هو أحادي تبديلي . ومع ذلك، ليس لكل عدد صحيح معكوس ضربي (كما هي الحال مع العدد 2)، مما يعني أن الضرب الموجود تحته ليس مجموعة. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

تقول جميع القواعد من جدول الخصائص أعلاه (باستثناء القاعدة الأخيرة)، عند أخذها معًا، أنه مع الجمع والضرب، هناك حلقة تبديلية بقيمة 1. إنها النموذج الأولي لجميع كائنات هذا الهيكل الجبري . فقط تلك المتساويات في التعبيرات تكون صحيحة في  لجميع قيم المتغيرات، والتي تكون صحيحة في أي حلقة تبديلية وحدوية. بعض الأعداد الصحيحة غير الصفرية تتطابق مع الصفر في حلقات معينة. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

إن عدم وجود قواسم صفرية في الأعداد الصحيحة (آخر خاصية في الجدول) يعني أن الحلقة التبديلية  هي مجال صحيح . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

إن عدم وجود معكوسات مضاعفة، وهو ما يعادل حقيقة عدم إغلاقه تحت القسمة، يعني أنه ليس حقلًا . أصغر حقل يحتوي على الأعداد الصحيحة كحلقة فرعية هو حقل الأعداد النسبية . يمكن محاكاة عملية إنشاء الأعداد النسبية من الأعداد الصحيحة لتشكيل حقل الكسور لأي مجال صحيح. وبالعودة إلى حقل الأعداد الجبرية (امتداد للأعداد النسبية)، يمكن استخراج حلقة الأعداد الصحيحة الخاصة به، والتي تتضمن كحلقة فرعية له . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

على الرغم من أن القسمة العادية غير معرفة على ، فإن القسمة "مع الباقي" معرفة عليهما. وتسمى القسمة الإقليدية ، وتمتلك الخاصية المهمة التالية: إذا كان هناك عددان صحيحان a و b مع b ≠ 0 ، فهناك أعداد صحيحة فريدة q و r بحيث a = q × b + r و 0 ≤ r < | b | ، حيث | b | تشير إلى القيمة المطلقة لـ b . يسمى العدد الصحيح q الحاصل ويسمى r الباقي من قسمة a على b . تعمل الخوارزمية الإقليدية لحساب القواسم المشتركة الأعظم من خلال تسلسل من الأقسام الإقليدية .${\displaystyle \mathbb {Z} }$

ما ورد أعلاه يقول أن هو مجال إقليدي . وهذا يعني أن هو مجال مثالي رئيسي ، ويمكن كتابة أي عدد صحيح موجب كحاصل ضرب الأعداد الأولية بطريقة فريدة من نوعها . ^[31] هذه هي النظرية الأساسية للحساب . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$هي مجموعة مرتبة تمامًا بدون حد أعلى أو أدنى . يتم تحديد ترتيبها بواسطة : :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ... يكون العدد الصحيح موجبًا إذا كان أكبر من الصفر ، وسالبًا إذا كان أقل من الصفر. يتم تعريف الصفر بأنه ليس سالبًا ولا موجبًا. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

إن ترتيب الأعداد الصحيحة متوافق مع العمليات الجبرية بالطريقة التالية:

1. إذا كان أ < ب و ج < د ، فإن أ + ج < ب + د
2. إذا كان a < b و 0 < c ، فإن ac < bc .

ومن ثم فإنه يتبع مع الترتيب المذكور أعلاه حلقة مرتبة . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

الأعداد الصحيحة هي المجموعة الإبيلية الوحيدة غير التافهة المرتبة تمامًا والتي تكون عناصرها الإيجابية منظمة جيدًا . ^[32] وهذا يعادل العبارة التي تقول إن أي حلقة تقييم نوثرية هي إما حقل - أو حلقة تقييم منفصلة .

في تدريس المدرسة الابتدائية، غالبًا ما يتم تعريف الأعداد الصحيحة بشكل حدسي على أنها اتحاد الأعداد الطبيعية (الموجبة)، الصفر ، ونفي الأعداد الطبيعية. يمكن صياغة ذلك رسميًا على النحو التالي. ^[33] أولاً، قم بإنشاء مجموعة الأعداد الطبيعية وفقًا لمسلمات بيانو ، واسمي هذا . ثم قم بإنشاء مجموعة منفصلة عن و في تطابق فردي مع عبر دالة . على سبيل المثال، خذ أن تكون الأزواج المرتبة مع التعيين . أخيرًا ، دع 0 يكون كائنًا ليس في أو ، على سبيل المثال الزوج المرتب . ثم يتم تعريف الأعداد الصحيحة على أنها الاتحاد . ${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{-}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle P^{-}}$ ${\displaystyle (1,n)}$${\displaystyle \psi =n\mapsto (1,n)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{-}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle P\cup P^{-}\cup \{0\}}$

يمكن بعد ذلك تعريف العمليات الحسابية التقليدية على الأعداد الصحيحة بطريقة متقطعة ، لكل من الأعداد الموجبة والأعداد السالبة والصفر. على سبيل المثال، يتم تعريف النفي على النحو التالي:$${\displaystyle -x={\begin{cases}\psi (x),&{\text{if }}x\in P\\\psi ^{-1}(x),&{\text{if }}x\in P^{-}\\0,&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

يؤدي الأسلوب التقليدي للتعريف إلى العديد من الحالات المختلفة (يجب تعريف كل عملية حسابية على كل مجموعة من أنواع الأعداد الصحيحة) ويجعل من الممل إثبات أن الأعداد الصحيحة تخضع لقوانين الحساب المختلفة. ^[34]

في الرياضيات الحديثة القائمة على نظرية المجموعات، غالبًا ما يتم استخدام بناء أكثر تجريدًا ^{[35] [36]} يسمح بتعريف العمليات الحسابية دون أي تمييز بين الحالات. ^[37] وبالتالي يمكن إنشاء الأعداد الصحيحة رسميًا كفئات تكافؤ للأزواج المرتبة من الأعداد الطبيعية ( أ ، ب ) . ^[38]

الحدس هو أن ( أ ، ب ) تمثل نتيجة طرح ب من أ . ^[38] لتأكيد توقعنا بأن 1 − 2 و 4 − 5 يشيران إلى نفس الرقم، نقوم بتعريف علاقة التكافؤ ~ على هذه الأزواج بالقاعدة التالية:

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$

بالضبط متى

${\displaystyle a+d=b+c.}$

يمكن تعريف جمع وضرب الأعداد الصحيحة من حيث العمليات المكافئة على الأعداد الطبيعية؛ ^[38] باستخدام [( a , b )] للإشارة إلى فئة التكافؤ التي تحتوي على ( a , b ) كعضو، نحصل على:

${\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].}$

${\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].}$

يتم الحصول على النفي (أو المعكوس الجمعي) لعدد صحيح عن طريق عكس ترتيب الزوج:

${\displaystyle -[(a,b)]:=[(b,a)].}$

ومن ثم يمكن تعريف الطرح بأنه جمع المعكوس الجمعي:

${\displaystyle [(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].}$

يتم إعطاء الترتيب القياسي للأعداد الصحيحة بواسطة:

${\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]}$ إذا وفقط إذا ${\displaystyle a+d<b+c.}$

ومن السهل التأكد من أن هذه التعريفات مستقلة عن اختيار ممثلي فئات التكافؤ.

تحتوي كل فئة تكافؤ على عضو فريد من نوعه يكون على هيئة ( n ، 0) أو (0، n ) (أو كليهما في وقت واحد). يتم تحديد العدد الطبيعي n بالفئة [( n ، 0)] (أي أن الأعداد الطبيعية مضمنة في الأعداد الصحيحة عن طريق إرسال n إلى [( n ، 0)] )، ويتم الإشارة إلى الفئة [(0، n )] بـ − n (يغطي هذا جميع الفئات المتبقية، ويعطي الفئة [(0،0)] مرة ثانية لأن −0 = 0.

وبالتالي، يتم الإشارة إلى [( أ ، ب )] بواسطة

${\displaystyle {\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}a<b.\end{cases}}}$

إذا تم تحديد الأعداد الطبيعية مع الأعداد الصحيحة المقابلة (باستخدام التضمين المذكور أعلاه)، فإن هذه الاتفاقية لا تخلق أي غموض.

يستعيد هذا الترميز التمثيل المألوف للأعداد الصحيحة على النحو التالي {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} .

ومن الأمثلة على ذلك:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}}$

في علوم الكمبيوتر النظرية، تُستخدم طرق أخرى لبناء الأعداد الصحيحة بواسطة أدوات إثبات النظريات الآلية ومحركات إعادة كتابة المصطلحات . يتم تمثيل الأعداد الصحيحة كمصطلحات جبرية مبنية باستخدام عدد قليل من العمليات الأساسية (على سبيل المثال، صفر ، وsuc ، و pred )، وربما باستخدام الأعداد الطبيعية ، والتي يُفترض أنها مبنية بالفعل (باستخدام، على سبيل المثال، نهج Peano ).

يوجد على الأقل عشرة إنشاءات من هذا القبيل للأعداد الصحيحة الموقعة. ^[39] تختلف هذه الإنشاءات بعدة طرق: عدد العمليات الأساسية المستخدمة في الإنشاء، والعدد (عادةً، بين 0 و2) وأنواع الحجج التي تقبلها هذه العمليات؛ ووجود أو غياب الأعداد الطبيعية كحجج لبعض هذه العمليات، وحقيقة أن هذه العمليات هي إنشاءات حرة أم لا، أي أنه يمكن تمثيل نفس العدد الصحيح باستخدام حد جبري واحد أو أكثر.

تتوافق تقنية إنشاء الأعداد الصحيحة المقدمة في القسم السابق مع الحالة الخاصة حيث يوجد زوج واحد من العمليات الأساسية يأخذ كحجتين عددين طبيعيين و ، ويعيد عددًا صحيحًا (يساوي ). هذه العملية ليست مجانية حيث يمكن كتابة العدد الصحيح 0 زوجًا (0,0)، أو زوجًا (1,1)، أو زوجًا (2,2)، وما إلى ذلك. تستخدم مساعدة الإثبات إيزابيل تقنية البناء هذه ؛ ومع ذلك، تستخدم العديد من الأدوات الأخرى تقنيات بناء بديلة، ولا سيما تلك القائمة على المنشئين المجانيين، والتي هي أبسط ويمكن تنفيذها بكفاءة أكبر في أجهزة الكمبيوتر. ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x-y}$

غالبًا ما يكون العدد الصحيح نوع بيانات بدائيًا في لغات الكمبيوتر . ومع ذلك، لا يمكن لأنواع البيانات الصحيحة أن تمثل سوى مجموعة فرعية من جميع الأعداد الصحيحة، نظرًا لأن أجهزة الكمبيوتر العملية ذات سعة محدودة. أيضًا، في تمثيل المكمل الثنائي المشترك ، يميز التعريف المتأصل للإشارة بين "السالب" و"غير السالب" بدلاً من "السالب والموجب والصفر". (ومع ذلك، فمن المؤكد أنه من الممكن لجهاز كمبيوتر أن يحدد ما إذا كانت قيمة عدد صحيح موجبة حقًا.) يتم الإشارة إلى أنواع البيانات التقريبية للأعداد الصحيحة ذات الطول الثابت (أو المجموعات الفرعية) بـ int أو Integer في العديد من لغات البرمجة (مثل Algol68 و C و Java و Delphi وما إلى ذلك).

يمكن للتمثيلات ذات الطول المتغير للأعداد الصحيحة، مثل bignums ، تخزين أي عدد صحيح يتناسب مع ذاكرة الكمبيوتر. يتم تنفيذ أنواع بيانات الأعداد الصحيحة الأخرى بحجم ثابت، عادةً عدد من البتات التي تكون قوة 2 (4، 8، 16، إلخ) أو عدد سهل التذكر من الأرقام العشرية (على سبيل المثال، 9 أو 10).

مجموعة الأعداد الصحيحة غير محدودة العد ، مما يعني أنه من الممكن إقران كل عدد صحيح بعدد طبيعي فريد. ومن الأمثلة على هذا الإقران:

(0، 1)، (1، 2)، (−1، 3)، (2، 4)، (−2، 5)، (3، 6)، . . . ,(1 −  k ، 2 k  − 1)، ( k ، 2 k  )، . . .

من الناحية الفنية، يقال إن عدد العناصر يساوي ℵ ₀ ( ألف-صفر ). ويسمى الاقتران بين عناصر و بالتطابق الثنائي . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

• التحليل القياسي لعدد صحيح موجب
• عدد صحيح مركب
• عدد صحيح مفرط
• تعقيد صحيح
• شبكة عددية صحيحة
• جزء صحيح
• تسلسل صحيح
• دالة ذات قيمة عددية صحيحة
• الرموز الرياضية
• التكافؤ (رياضيات)
• عدد صحيح منتهٍ

أنظمة الأعداد معقد ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$ حقيقي ${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$ عاقِل ${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$ عدد صحيح${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$ طبيعي ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$ صفر : 0 واحد : 1 الأعداد الأولية الأرقام المركبة الأعداد الصحيحة السالبة جزء عدد عشري منته ثنائي (منتهٍ) تكرار العشرية غير عقلاني جبري غير نسبي فترة غير منطقية متسامي خيالي

• "عدد صحيح"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• الأعداد الصحيحة الموجبة – جداول المقسومات وأدوات التمثيل العددي
• موسوعة على الإنترنت لمتتاليات الأعداد الصحيحة راجع OEIS
• وايسستين، إريك دبليو. “عدد صحيح”. عالم الرياضيات .

تتضمن هذه المقالة مواد من Integer on PlanetMath ، والتي تخضع لرخصة المشاع الإبداعي المنسوبة للمؤلف/المرخصة بالمثل .