أيزنشتاين عدد صحيح

في الرياضيات ، تُعرف أعداد أيزنشتاين (نسبةً إلى غوتهولد أيزنشتاين )، والتي تُعرف أحيانًا أيضًا ^{[ 1 ]} باسم أعداد أويلر (نسبةً إلى ليونارد أويلر )، بأنها الأعداد المركبة من الشكل

${\displaystyle z=a+b\omega ,}$

حيث a و b عددان صحيحان و

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{i2\pi /3}}$

هو جذر تكعيبي أولي (وبالتالي غير حقيقي) للوحدة .

تشكل أعداد أيزنشتاين شبكة مثلثية في المستوى المركب ، على عكس أعداد غاوس التي تشكل شبكة مربعة في المستوى المركب. وتُعدّ أعداد أيزنشتاين مجموعة غير منتهية قابلة للعد .

تشكل أعداد أيزنشتاين حلقة تبديلية Z [ ω ] من الأعداد الجبرية في حقل الأعداد الجبرية Q ( ω ) – الحقل الدائري الثالث . ولإثبات أن أعداد أيزنشتاين هي أعداد جبرية، لاحظ أن كل z = a + bω هو جذر لكثير الحدود الأحادي.

${\displaystyle z^{2}-(2a-b)\;\!z+\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)~.}$

على وجه الخصوص، تحقق ω المعادلة

${\displaystyle \أوميغا ^{2}+\أوميغا +1=0~.}$

يُعطى حاصل ضرب عددين صحيحين من نوع أيزنشتاين a + bω و c + dω بشكل صريح بواسطة

${\displaystyle (a+b\;\!\omega )\;\!(c+d\;\!\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\;\!\omega ~.}$

المعيار 2 لعدد صحيح من نوع أيزنشتاين هو ببساطة مربع قيمته المطلقة ، ويُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\left|a+b\;\!\omega \right|}^{2}\,=\,{(a-{\tfrac {1}{2}}b)}^{2}+{\tfrac {3}{4}}b^{2}\,=\,a^{2}-ab+b^{2}~,}$

وهو عدد صحيح عادي (نسبي) موجب بوضوح.

كذلك، فإن المرافق المركب لـ ω يحقق

${\displaystyle {\bar {\أوميغا }}=\أوميغا ^{2}~.}$

مجموعة الوحدات في هذه الحلقة هي المجموعة الدورية التي تشكلها الجذور السادسة للوحدة في المستوى المركب: {±1, ± ω , ± ω ² } ، وهي أعداد أيزنشتاين ذات المعيار 1 . 

تشكل حلقة الأعداد الصحيحة لأيزنشتاين مجالًا إقليديًا يتم فيه إعطاء معيار N بواسطة المعامل التربيعي، كما هو موضح أعلاه:

${\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.}$

تُعطي خوارزمية القسمة ، عند تطبيقها على أي مقسوم α ومقسوم عليه β ≠ 0 ، ناتج قسمة κ وباقي قسمة ρ أصغر من المقسوم عليه، بما يحقق ما يلي:

${\displaystyle \alpha =\kappa \beta +\rho \ \ {\text{ مع }}\ \ N(\rho )<N(\beta ).}$

هنا، α و β و κ و ρ جميعها أعداد صحيحة من نوع أيزنشتاين. تستلزم هذه الخوارزمية خوارزمية إقليدس ، التي تثبت مبرهنة إقليدس والتحليل الفريد لأعداد أيزنشتاين الصحيحة إلى عواملها الأولية.

إحدى خوارزميات القسمة هي كما يلي. أولاً، قم بإجراء القسمة في مجال الأعداد المركبة، واكتب الناتج بدلالة ω :

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}\ =\ {\tfrac {1}{\ |\beta |^{2}}}\alpha {\overline {\beta }}\ =\ a+bi\ =\ a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b+{\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\omega ,}$

لأي عددين نسبيين a و b ∈ Q. ثم احصل على خارج قسمة أيزنشتاين الصحيح عن طريق تقريب المعاملات النسبية إلى أقرب عدد صحيح:

${\displaystyle \kappa =\left\lfloor a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b\right\rceil +\left\lfloor {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\right\rceil \omega \ \ {\text{ and }}\ \ \rho ={\alpha }-\kappa \beta .}$

هنا${\displaystyle \lfloor x\rceil }$قد يشير إلى أي من دوال التقريب القياسية إلى عدد صحيح.

يكمن السبب في أن هذا يحقق الشرط N ( ρ ) < N ( β ) ، بينما تفشل الطريقة المماثلة لمعظم حلقات الأعداد الصحيحة التربيعية الأخرى ، فيما يلي: المجال الأساسي للمثالي Z [ ω ] β = Zβ + Zωβ ، الذي يعمل عن طريق الإزاحات على المستوى المركب، هو المعين ذو الزوايا 60°–120° ورؤوسه 0 ، β ، ωβ ، β + ωβ . أي عدد صحيح من نوع أيزنشتاين α يقع داخل إحدى إزاحات هذا المتوازي الأضلاع ، ويكون خارج القسمة κ أحد رؤوسه. الباقي هو مربع المسافة من α إلى هذا الرأس، ولكن أقصى مسافة ممكنة في خوارزميتنا هي فقط${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |}$، لذا${\displaystyle |\rho |\leq {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |<|\beta |}$( يمكن تقليل حجم ρ قليلاً باعتبار κ أقرب زاوية.)

إذا كان x و y عددين صحيحين من نوع أيزنشتاين، نقول إن x يقسم y إذا وُجد عدد صحيح من نوع أيزنشتاين z بحيث يكون y = zx . يُقال عن العدد الصحيح x من نوع أيزنشتاين، الذي ليس له عنصر محايد، أنه عدد أولي من نوع أيزنشتاين إذا كانت قواسمه الوحيدة غير المحايد من الشكل ux ، حيث u هو أي من العناصر الستة للوحدة. وهي المفهوم المقابل للأعداد الأولية الغاوسية في الأعداد الصحيحة الغاوسية.

يوجد نوعان من أعداد أيزنشتاين الأولية.

• العدد الأولي العادي (أو العدد الأولي النسبي ) الذي يتطابق مع 2 mod 3 هو أيضًا عدد أولي من نوع أيزنشتاين.
• العدد 3 وكل عدد أولي نسبي يطابق 1 بتردد 3 يساوي معيار العدد الصحيح أيزنشتاين x + ^{ωy ، وهو} x² - xy + y² . بالتالي، يمكن تحليل هذا العدد الأولي إلى ( x + ωy )( x + ω²y ) ، وهذه العوامل هي أعداد أيزنشتاين ^أولية : فهي تحديدًا أعداد أيزنشتاين الصحيحة التي يكون معيارها عددًا أوليًا نسبيًا .

أما النوع الثاني، عوامل العدد 3 ،${\displaystyle 1-\omega }$و${\displaystyle 1-\omega ^{2}}$هم شركاء :${\displaystyle 1-\omega =(-\omega )(1-\omega ^{2})}$لذلك يُعتبر نوعًا خاصًا في بعض الكتب. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

الأعداد الأولية القليلة الأولى من نوع أيزنشتاين التي تأخذ الشكل 3n − 1 هي:

2 ، 5 ، 11 ، 17 ، 23 ، 29 ، 41 ، 47 ، 53 ، 59 ، 71 ، 83 ، 89 ، 101 ، ... (التسلسل A003627 في OEIS ) .

الأعداد الأولية الطبيعية التي تتطابق مع 0 أو 1 بتردد 3 ليست أعدادًا أولية من نوع أيزنشتاين: ^{[ 4 ]} فهي تقبل تحليلات غير تافهة في Z [ ω ] . على سبيل المثال:

3 = −(1 + 2 ω ) ²

7 = (3 + ω )(2 − ω ) .

بشكل عام، إذا كان العدد الأولي الطبيعي p يساوي 1 بتردد 3، ^{وبالتالي} يمكن كتابته على الصورة p = a² - ab + b² ^، فإنه يتحلل إلى عوامله الأولية على Z [ ω ] كما يلي:

p = ( a + bω )(( a − b ) − bω ) .

بعض أعداد أيزنشتاين الأولية غير الحقيقية هي

2 + ω , 3 + ω , 4 + ω , 5 + 2 ω , 6 + ω , 7 + ω , 7 + 3 ω .

باستثناء الاقتران ومضاعفات الوحدة، فإن الأعداد الأولية المذكورة أعلاه، بالإضافة إلى 2 و 5 ، هي جميع الأعداد الأولية لأيزنشتاين ذات القيمة المطلقة التي لا تتجاوز 7 .

اعتبارًا من أكتوبر 2023 أكبر عدد أولي حقيقي معروف من نوع أيزنشتاين هو العدد الأولي الثاني عشر الأكبر المعروف 10223 × ^231172165 + 1 ، والذي اكتشفه بيتر سزابولكس و PrimeGrid . ^{[ 5 ]}

مجموع مقلوب جميع الأعداد الصحيحة لأيزنشتاين باستثناء 0 مرفوعة إلى القوة الرابعة هو 0 : ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0}$$ لذا${\displaystyle e^{2\pi i/3}}$هو جذر للمتغير j . بشكل عام${\displaystyle G_{k}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle k\not \equiv 0{\pmod {6}}}$[ ^{7 ]​}

يمكن التعبير عن مجموع مقلوبات جميع أعداد أيزنشتاين الصحيحة باستثناء الصفر مرفوعة إلى القوة السادسة بدلالة دالة جاما : $${\displaystyle \sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{6}}}=G_{6}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)={\frac {\Gamma (1/3)^{18}}{8960\pi ^{6}}}\approx 5.86303}$$ حيث E هي أعداد أيزنشتاين الصحيحة و G ₆ هي سلسلة أيزنشتاين ذات الوزن 6. ^{[ 8 ]}

ناتج قسمة المستوى المركب C على الشبكة التي تحتوي على جميع أعداد أيزنشتاين الصحيحة هو طارة مركبة ذات بُعد حقيقي 2. وهي إحدى طارتين تتمتعان بأقصى تناظر بين جميع الطارات المركبة المماثلة. ^{[ 9 ]} يمكن الحصول على هذه الطارة بتحديد كل زوج من الأزواج الثلاثة المتقابلة من حواف سداسي منتظم. 

أما الطارة المتناظرة القصوى الأخرى فهي ناتج قسمة المستوى المركب على الشبكة الجمعية للأعداد الصحيحة الغاوسية ، ويمكن الحصول عليها من خلال تحديد كل من الزوجين من الأضلاع المتقابلة لمجال أساسي مربع، مثل [0، 1] × [0، 1] .

• عدد صحيح غاوسي
• مجال سيكلوتوم
• الهندسة الانقباضية
• ثابت هيرميت
• التبادلية المكعبة
• متباينة لوينر الحلقية
• رباعي هورويتز
• عدد صحيح تربيعي
• دوال ديكسون الإهليلجية
• متناغم مع الخصية

• عدد أيزنشتاين الصحيح - من عالم الرياضيات