عدد صحيح جبري

في نظرية الأعداد الجبرية ، العدد الصحيح الجبري هو عدد مركب يكون صحيحًا على الأعداد الصحيحة . أي أن العدد الصحيح الجبري هو جذر مركب لبعض الحدوديات الأحادية ( متعددة الحدود التي يكون معاملها الرئيسي 1) التي تكون معاملاتها أعدادًا صحيحة. مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الجبرية A مغلقة تحت الجمع والطرح والضرب وبالتالي فهي حلقة جزئية تبديلية للأعداد المركبة.

حلقة الأعداد الصحيحة لحقل الأعداد K ، والتي يرمز لها بـ O _K ، هي تقاطع K و A : ويمكن أيضًا وصفها بأنها الترتيب الأقصى لحقل K. ينتمي كل عدد صحيح جبري إلى حلقة الأعداد الصحيحة لحقل عدد ما. يكون العدد α عددًا صحيحًا جبريًا إذا وفقط إذا تم إنشاء الحلقة بشكل نهائي كمجموعة أبيلية ، أي كوحدة نمطية . ${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

فيما يلي تعريفات مكافئة لعدد صحيح جبري. دع K يكون حقلًا رقميًا (أي امتدادًا محدودًا لـ ، حقل الأعداد النسبية )، بعبارة أخرى، لبعض الأعداد الجبرية وفقًا لنظرية العناصر البدائية . ${\displaystyle \mathbb {س} }$${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} }$

• α ∈ K هو عدد صحيح جبري إذا كان هناك حدود أحاديةبحيث f ( α ) = 0 .${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} [x]}$
• α ∈ K هو عدد صحيح جبري إذا كان الحد الأدنى للعديد من الحدود الأحاديةلـ α في.${\displaystyle \mathbb {س} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$
• α ∈ K هو عدد صحيح جبري إذاكان وحدة تم إنشاؤها بشكل محدود.${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• α ∈ K هو عدد صحيح جبري إذا كان هناك وحدة فرعية غير صفرية تمإنشاؤها بشكل نهائيبحيث αM ⊆ M.${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} }$

الأعداد الصحيحة الجبرية هي حالة خاصة من العناصر الصحيحة لامتداد الحلقة. وعلى وجه الخصوص، فإن العدد الصحيح الجبري هو عنصر صحيح لامتداد محدود . ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$

• الأعداد الصحيحة الجبرية الوحيدة الموجودة في مجموعة الأعداد النسبية هي الأعداد الصحيحة. بعبارة أخرى، تقاطع و A يساوي بالضبط . العدد النسبي${\displaystyle \mathbb {س} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$أ/بليس عددًا صحيحًا جبريًا إلا إذا قسم b على a . المعامل الرئيسي للحدودية bx − a هو العدد الصحيح b .
• الجذر التربيعي لعدد صحيح غير سالب n هو عدد صحيح جبري، ولكنه غير نسبي إلا إذا كان n مربعًا كاملًا .${\displaystyle {\sqrt {n}}}$
• إذا كان d عددًا صحيحًا خاليًا من المربعات ، فإن الامتداد عبارة عن حقل تربيعي من الأعداد النسبية. تحتوي حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية O _K على لأن هذا هو جذر متعدد الحدود x ² − d . علاوة على ذلك، إذا كان d ≡ 1 mod 4 ، فإن العنصر هو أيضًا عدد صحيح جبري. إنه يلبي متعدد الحدود x ² − x + ⁠${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$${\displaystyle {\sqrt {d}}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$1/4( 1 − د ) حيث يكون الحد الثابت 1/4( 1 − d ) هو عدد صحيح. يتم إنشاء الحلقة الكاملة للأعداد الصحيحة بواسطةأوعلى التوالي. راجع العدد الصحيح التربيعي لمزيد من المعلومات.${\displaystyle {\sqrt {d}}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$
• حلقة الأعداد الصحيحة للحقل ، α = ³ √ m ، لها الأساس التكاملي التالي ، بكتابة m = hk ² لعددين صحيحين أوليين حرين مربعين h و k : ^[1]${\displaystyle F=\mathbb {Q} [\alpha ]}$ $${\displaystyle {\begin{cases}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1{\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$
• إذا كان ζ _n هو الجذر البدائي n للواحد ، فإن حلقة الأعداد الصحيحة للحقل الدائري هي بالضبط . ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$
• إذا كان α عددًا صحيحًا جبريًا، فإن β = ⁿ √ α هو عدد صحيح جبري آخر. يتم الحصول على كثيرة حدود لـ β عن طريق استبدال x ⁿ في كثيرة حدود α .

• إذا كانت P ( x ) كثيرة حدود بدائية لها معاملات صحيحة ولكنها ليست أحادية، وكانت P غير قابلة للاختزال على ، فلا يوجد أي من جذور P عبارة عن أعداد صحيحة جبرية (ولكنها أعداد جبرية ). هنا يتم استخدام البدائية بمعنى أن أكبر عامل مشترك لمعاملات P هو 1، وهو أضعف من اشتراط أن تكون المعاملات أولية نسبيًا في أزواج.${\displaystyle \mathbb {س} }$

بالنسبة لأي α ، فإن امتداد الحلقة (بالمعنى المكافئ لامتداد المجال ) للأعداد الصحيحة بواسطة α ، والمشار إليها بواسطة ، يتم إنشاؤه بشكل نهائي إذا وفقط إذا كان α عددًا صحيحًا جبريًا. ${\displaystyle \mathbb {Z} (\alpha )\equiv \{\sum _{i=0}^{n}\alpha ^{i}z_{i}|z_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} \}}$

الدليل مماثل لدليل الحقيقة المقابلة فيما يتعلق بالأعداد الجبرية ، مع استبدال هناك بـ هنا، واستبدال مفهوم درجة امتداد المجال بالجيل المحدود (باستخدام حقيقة أنه يتم توليده بشكل محدود بحد ذاته)؛ التغيير المطلوب الوحيد هو أن القوى غير السلبية لـ α فقط هي التي تشارك في الدليل. ${\displaystyle \mathbb {س} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

القياس ممكن لأن الأعداد الصحيحة الجبرية والأعداد الجبرية تُعرف كجذور لكثيرات الحدود الأحادية على أي من أو ، على التوالي. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {س} }$

إن مجموع وفرق وحاصل ضرب عددين صحيحين جبريين هو عدد صحيح جبر. وبشكل عام فإن حاصل قسمتهما ليس كذلك. وبالتالي فإن الأعداد الصحيحة الجبرية تشكل حلقة .

يمكن إظهار ذلك بشكل مشابه للإثبات المقابل للأعداد الجبرية ، باستخدام الأعداد الصحيحة بدلاً من الأعداد الكسرية . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {س} }$

يمكن للمرء أيضًا إنشاء كثير الحدود الأحادي المعني صراحةً، والذي يكون عادةً من درجة أعلى من تلك الخاصة بالأعداد الصحيحة الجبرية الأصلية، عن طريق أخذ المحصلات والتحليل إلى عوامل. على سبيل المثال، إذا كان x ² − x − 1 = 0 و y ³ − y − 1 = 0 و z = xy ، فإن حذف x و y من z − xy = 0 وكثيرات الحدود التي تحققها x و y باستخدام المحصلة يعطي z ⁶ − 3 z ⁴ − 4 z ³ + z ² + z − 1 = 0 ، وهو غير قابل للاختزال، وهو معادلة الأحادي التي تحققها حاصل الضرب. (لرؤية أن xy هو جذر المحصلة x لـ z − xy و x ² − x − 1 ، يمكن للمرء أن يستخدم حقيقة أن المحصلة موجودة في المثالية الناتجة عن متعددتي الحدود المدخلتين.)

كل جذر لمتعددة حدود أحادية معاملاتها أعداد صحيحة جبرية هو في حد ذاته عدد صحيح جبريًا. بعبارة أخرى، تشكل الأعداد الصحيحة الجبرية حلقة مغلقة تكامليًا في أي من امتداداتها.

مرة أخرى، يكون الدليل مماثلاً للدليل المقابل للأعداد الجبرية المغلقة جبريًا .

• أي عدد قابل للإنشاء من بين الأعداد الصحيحة ذات الجذور والجمع والضرب هو عدد صحيح جبري؛ ولكن ليست كل الأعداد الصحيحة الجبرية قابلة للإنشاء بهذه الطريقة: بمعنى ساذج، فإن معظم جذور الخماسيات غير القابلة للاختزال ليست كذلك. هذه هي نظرية آبل-روفيني .
• حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية هي مجال بيزوت ، كنتيجة لنظرية المثالية الأساسية .
• إذا كان كثير الحدود الأحادي المرتبط بعدد صحيح جبري له حد ثابت 1 أو −1، فإن مقلوب هذا العدد الصحيح الجبري هو أيضًا عدد صحيح جبري، وكل منهما وحدة ، وهو عنصر من مجموعة وحدات حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية.
• إذا كان x عددًا جبريًا، فإن n x هو عدد صحيح جبري، حيث يرضي x حدودًا p ( x ) ذات معاملات _صحيحة وحيث n x ⁿ هو الحد الأعلى درجة لـ p ( x ) . القيمة y = _a n x هي عدد صحيح _جبري لأنها جذر q ( y ) = a^{ن  − 1}
  _ن p ( y  / a _n ) ، حيث q ( y ) هي كثيرة حدود أحادية ذات معاملات صحيحة.
• إذا كان x عددًا جبريًا، فيمكن كتابته كنسبة عدد صحيح جبري إلى عدد صحيح جبري غير صفري. في الواقع، يمكن دائمًا اختيار المقام ليكون عددًا صحيحًا موجبًا. النسبة هي | a _n | x / | a _n | ، حيث يرضي x حدودًا متعددة الحدود p ( x ) ذات معاملات عددية صحيحة وحيث a _n x ⁿ هو الحد الأعلى درجة لـ p ( x ) .
• الأعداد الصحيحة الجبرية النسبية الوحيدة هي الأعداد الصحيحة. وبالتالي، إذا كان α عددًا صحيحًا جبريًا و ، فإن . هذه نتيجة مباشرة لنظرية الجذر النسبي لحالة كثيرة الحدود الأحادية.${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} }$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$

• عنصر متكامل
• عدد صحيح غاوسي
• عدد صحيح أيزنشتاين
• جذر الوحدة
• نظرية الوحدة لديريتشليت
• الوحدات الأساسية