الحد الثابت

في الرياضيات ، الحد الثابت (يُشار إليه أحيانًا بالحد الحر ) هو حد في تعبير جبري لا يحتوي على أي متغيرات ، وبالتالي فهو ثابت . على سبيل المثال، في كثيرة الحدود التربيعية${\displaystyle x^{2}+2x+3}$، الرقم 3 هو حد ثابت. ^{[ 1 ]}

بعد جمع الحدود المتشابهة ، يحتوي التعبير الجبري على حد ثابت واحد على الأكثر. ولذلك، من الشائع الحديث عن كثير الحدود التربيعي ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$، أين${\displaystyle x}$المتغير، كما هو الحال مع وجود حد ثابت من${\displaystyle c}$إذا كان الحد الثابت يساوي صفرًا، فسيتم حذفه عادةً عند كتابة المعادلة التربيعية.

أي متعددة حدود مكتوبة بالصيغة القياسية لها حد ثابت فريد، والذي يمكن اعتباره معاملًا لـ${\displaystyle x^{0}}$على وجه الخصوص، سيكون الحد الثابت دائمًا هو الحد ذو أدنى درجة في كثيرة الحدود. وينطبق هذا أيضًا على كثيرات الحدود متعددة المتغيرات. على سبيل المثال، كثيرة الحدود ${\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}-2x+2y-4}$ يحتوي على حد ثابت مقداره -4 ، والذي يمكن اعتباره معاملًا لـ${\displaystyle x^{0}y^{0}}$حيث تُحذف المتغيرات برفعها إلى الأس صفر (لأن أي عدد غير صفري مرفوعًا إلى الأس صفر يساوي واحدًا). ​​في أي كثيرة حدود، يمكن الحصول على الحد الثابت باستبدال كل متغير بالصفر، وبالتالي حذف كل متغير. يمكن تطبيق مفهوم الرفع إلى الأس صفر على متسلسلات القوى وأنواع أخرى من المتسلسلات، كما في متسلسلة القوى التالية: $${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots }$$${\displaystyle a_{0}}$هو الحد الثابت.

مشتقة الحد الثابت تساوي صفرًا، لذا عند اشتقاق حد يحتوي على حد ثابت، فإن الحد الثابت يختفي بغض النظر عن قيمته. وبالتالي، لا يمكن تحديد الدالة الأصلية إلا حتى حد ثابت مجهول، يُسمى "ثابت التكامل" ويُضاف بصيغة رمزية (يُشار إليه عادةً بـ${\displaystyle C}$). ^{[ 2 ]}

على سبيل المثال، المشتقة العكسية لـ${\displaystyle \cos x}$يكون${\displaystyle \sin x}$، لأن مشتق${\displaystyle \sin x}$يساوي${\displaystyle \cos x}$بناءً على خصائص المشتقات المثلثية .

ومع ذلك، فإن تكامل${\displaystyle \cos x}$يساوي${\displaystyle \sin x}$(الدالة الأصلية)، بالإضافة إلى ثابت اختياري:

$${\displaystyle \int \cos x\,\mathrm {d} x=\sin x+C,}$$

لأنه لأي ثابت${\displaystyle C}$، مشتقة الطرف الأيمن من المعادلة تساوي الطرف الأيسر من المعادلة.

• ثابت (رياضيات)