الرياضيات

الموسوعة الحرة

جزء من سلسلة عن
الرياضيات
المناطق
العلاقة مع العلوم
بوابة الرياضيات
  • ف
  • ت
  • هـ

الرياضيات هي مجال دراسة يكتشف وينظم الأساليب والنظريات والمبرهنات التي تم تطويرها وإثباتها لتلبية احتياجات العلوم التجريبية والرياضيات نفسها. هناك العديد من مجالات الرياضيات، والتي تشمل نظرية الأعداد (دراسة الأعداد)، والجبر (دراسة الصيغ والهياكل ذات الصلة)، والهندسة (دراسة الأشكال والمساحات التي تحتوي عليها)، والتحليل (دراسة التغيرات المستمرة)، ونظرية المجموعات (تستخدم حاليًا كأساس لجميع الرياضيات).

تتضمن الرياضيات وصف ومعالجة الأشياء المجردة التي تتكون إما من تجريدات من الطبيعة أو - في الرياضيات الحديثة - كيانات مجردة بحتة منصوص عليها أن لها خصائص معينة، تسمى البديهيات . تستخدم الرياضيات العقل المحض لإثبات خصائص الأشياء، وهو إثبات يتكون من سلسلة من تطبيقات القواعد الاستنتاجية على نتائج ثابتة بالفعل. تتضمن هذه النتائج نظريات مثبتة مسبقًا ، وبديهيات، وفي حالة التجريد من الطبيعة - بعض الخصائص الأساسية التي تعتبر نقاط بداية حقيقية للنظرية قيد النظر. [1]

الرياضيات ضرورية في العلوم الطبيعية والهندسة والطب والتمويل وعلوم الكمبيوتر والعلوم الاجتماعية . على الرغم من استخدام الرياضيات على نطاق واسع في نمذجة الظواهر، فإن الحقائق الأساسية للرياضيات مستقلة عن أي تجربة علمية. يتم تطوير بعض مجالات الرياضيات، مثل الإحصاء ونظرية الألعاب ، في ارتباط وثيق بتطبيقاتها وغالبًا ما يتم تجميعها تحت الرياضيات التطبيقية . يتم تطوير مجالات أخرى بشكل مستقل عن أي تطبيق (ولذلك تسمى الرياضيات البحتة ) ولكن غالبًا ما تجد تطبيقات عملية لاحقًا. [2] [3]

تاريخيًا ، ظهر مفهوم الإثبات والدقة الرياضية المرتبطة به لأول مرة في الرياضيات اليونانية ، ولا سيما في عناصر إقليدس . [4] منذ بدايتها، تم تقسيم الرياضيات في المقام الأول إلى الهندسة والحساب (التلاعب بالأعداد الطبيعية والكسور )، حتى القرنين السادس عشر والسابع عشر، عندما تم تقديم الجبر [ أ] وحساب التفاضل والتكامل اللانهائي كمجالات جديدة. ومنذ ذلك الحين، أدى التفاعل بين الابتكارات الرياضية والاكتشافات العلمية إلى زيادة مترابطة في تطوير كليهما. [5] في نهاية القرن التاسع عشر، أدت الأزمة الأساسية للرياضيات إلى تنظيم الطريقة البديهية ، [6] والتي بشرت بزيادة كبيرة في عدد المجالات الرياضية ومجالات تطبيقها. يسرد تصنيف موضوعات الرياضيات المعاصر أكثر من ستين مجالًا من المستوى الأول للرياضيات.

مجالات الرياضيات

قبل عصر النهضة ، كانت الرياضيات مقسمة إلى مجالين رئيسيين: الحساب ، فيما يتعلق بالتلاعب بالأرقام، والهندسة ، فيما يتعلق بدراسة الأشكال. [7] بعض أنواع العلوم الزائفة ، مثل علم الأعداد وعلم التنجيم ، لم تكن مميزة بشكل واضح عن الرياضيات. [8]

خلال عصر النهضة، ظهرت منطقتان أخريان. أدت التدوين الرياضي إلى الجبر الذي يتكون تقريبًا من دراسة الصيغ والتلاعب بها . حساب التفاضل والتكامل ، الذي يتكون من الحقلين الفرعيين حساب التفاضل والتكامل ، هو دراسة الدوال المستمرة ، والتي تنمذج العلاقات غير الخطية عادةً بين الكميات المتغيرة، كما تمثلها المتغيرات . استمر هذا التقسيم إلى أربعة مجالات رئيسية - الحساب والهندسة والجبر وحساب التفاضل والتكامل [9] - حتى نهاية القرن التاسع عشر. ثم درس علماء الرياضيات مجالات مثل ميكانيكا السماوات وميكانيكا المواد الصلبة ، لكنها تعتبر الآن تابعة للفيزياء. [10] تمت دراسة موضوع التركيبات لمعظم التاريخ المسجل، لكنه لم يصبح فرعًا منفصلاً من الرياضيات حتى القرن السابع عشر. [11]

في نهاية القرن التاسع عشر، أدت الأزمة الأساسية في الرياضيات والتنظيم الناتج عن ذلك للطريقة البديهية إلى انفجار مجالات جديدة في الرياضيات. [12] [6] يحتوي تصنيف موضوعات الرياضيات لعام 2020 على ما لا يقل عن ثلاثة وستين مجالًا من المستوى الأول. [13] تتوافق بعض هذه المجالات مع التقسيم الأقدم، كما هو الحال فيما يتعلق بنظرية الأعداد (الاسم الحديث للحساب العالي ) والهندسة. تحتوي العديد من المجالات الأخرى من المستوى الأول على "هندسة" في أسمائها أو تعتبر بشكل عام جزءًا من الهندسة. لا يظهر الجبر وحساب التفاضل والتكامل كمجالات من المستوى الأول ولكن يتم تقسيمهما على التوالي إلى عدة مجالات من المستوى الأول. ظهرت مجالات أخرى من المستوى الأول خلال القرن العشرين أو لم تكن تعتبر سابقًا رياضيات، مثل المنطق الرياضي والأساسيات . [14 ]

نظرية الأعداد

هذه هي الحلزونية أولام ، التي توضح توزيع الأعداد الأولية . تشير الخطوط القطرية الداكنة في الحلزونية إلى الاستقلال التقريبي المفترض بين كونها عددًا أوليًا وكونها قيمة لمتعددة حدود تربيعية، وهي التخمينة المعروفة الآن باسم تخمين هاردي وليتل وود F.

بدأت نظرية الأعداد بالتلاعب بالأعداد ، أي الأعداد الطبيعية ثم توسعت لتشمل الأعداد الصحيحة والأعداد النسبية . كانت نظرية الأعداد تسمى ذات يوم بالحساب، ولكن في الوقت الحاضر يستخدم هذا المصطلح في الغالب للحسابات العددية . [15] يعود تاريخ نظرية الأعداد إلى بابل القديمة وربما الصين . كان اثنان من أبرز منظري الأعداد الأوائل هما إقليدس من اليونان القديمة وديوفانتوس من الإسكندرية. [16] تُنسب الدراسة الحديثة لنظرية الأعداد في شكلها المجرد إلى حد كبير إلى بيير دي فيرما وليونهارد أويلر . وصل المجال إلى ذروته مع مساهمات أدريان ماري ليجاندر وكارل فريدريش جاوس . [17]

تحتوي العديد من مسائل الأعداد التي يمكن صياغتها بسهولة على حلول تتطلب أساليب معقدة، غالبًا من مختلف أنحاء الرياضيات. ومن الأمثلة البارزة على ذلك نظرية فيرما الأخيرة . صاغ بيير دي فيرما هذه التخمين في عام 1637، ولكن لم يثبتها إلا في عام 1994 أندرو وايلز ، الذي استخدم أدوات بما في ذلك نظرية المخطط من الهندسة الجبرية ونظرية الفئات والجبر المتجانس . [18] ومن الأمثلة الأخرى تخمين جولدباخ ، الذي يؤكد أن كل عدد صحيح زوجي أكبر من 2 هو مجموع عددين أوليين . صاغه كريستيان جولدباخ في عام 1742 ، ولا يزال غير مثبت على الرغم من الجهود الكبيرة. [19]

تتضمن نظرية الأعداد عدة مجالات فرعية، بما في ذلك نظرية الأعداد التحليلية ، ونظرية الأعداد الجبرية ، وهندسة الأعداد (الموجهة نحو الطريقة)، ومعادلات ديوفانتين ، ونظرية التسامي (الموجهة نحو المشكلة). [14]

الهندسة

على سطح الكرة، لا يتم تطبيق الهندسة الإقليدية إلا كتقريب محلي. بالنسبة للمقاييس الأكبر، لا يساوي مجموع زوايا المثلث 180 درجة.

الهندسة هي أحد أقدم فروع الرياضيات. بدأت بوصفات تجريبية تتعلق بالأشكال، مثل الخطوط والزوايا والدوائر ، والتي تم تطويرها بشكل أساسي لتلبية احتياجات المساحة والهندسة المعمارية ، ولكنها ازدهرت منذ ذلك الحين في العديد من المجالات الفرعية الأخرى. [20]

كان أحد الابتكارات الأساسية هو إدخال الإغريق القدماء لمفهوم الإثبات ، والذي يتطلب إثبات كل ادعاء . على سبيل المثال، لا يكفي التحقق من خلال القياس أن طولين متساويان؛ يجب إثبات تساويهما من خلال الاستدلال من النتائج المقبولة مسبقًا ( النظريات ) وعدد قليل من البيانات الأساسية. لا تخضع البيانات الأساسية للإثبات لأنها بديهية ( مسلمات )، أو جزء من تعريف موضوع الدراسة ( المسلمات ). تم وضع هذا المبدأ، الذي يشكل الأساس لجميع الرياضيات، لأول مرة للهندسة، وقام إقليدس بتنظيمه حوالي عام 300 قبل الميلاد في كتابه العناصر . [21] [22]

الهندسة الإقليدية الناتجة هي دراسة الأشكال وترتيباتها المبنية من الخطوط والمستويات والدوائر في المستوى الإقليدي ( الهندسة المستوية ) والفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد . [ب] [20]

تم تطوير الهندسة الإقليدية دون تغيير في الأساليب أو النطاق حتى القرن السابع عشر، عندما قدم رينيه ديكارت ما يسمى الآن بالإحداثيات الديكارتية . وقد شكل هذا تغييرًا كبيرًا في النموذج : فبدلاً من تعريف الأعداد الحقيقية على أنها أطوال لقطع المستقيم (انظر خط الأعداد )، فقد سمحت بتمثيل النقاط باستخدام إحداثياتها ، والتي هي أرقام. وبالتالي يمكن استخدام الجبر (ولاحقًا، حساب التفاضل والتكامل) لحل المشكلات الهندسية. تم تقسيم الهندسة إلى مجالين فرعيين جديدين: الهندسة التركيبية ، والتي تستخدم أساليب هندسية بحتة، والهندسة التحليلية ، والتي تستخدم الإحداثيات بشكل منهجي. [23]

تسمح الهندسة التحليلية بدراسة المنحنيات غير المرتبطة بالدوائر والخطوط. يمكن تعريف هذه المنحنيات على أنها رسم بياني للوظائف ، والتي أدت دراستها إلى الهندسة التفاضلية . يمكن تعريفها أيضًا على أنها معادلات ضمنية ، غالبًا معادلات متعددة الحدود (التي أدت إلى ظهور الهندسة الجبرية ). تجعل الهندسة التحليلية أيضًا من الممكن النظر في المساحات الإقليدية ذات الأبعاد الأعلى من الثلاثة. [20]

في القرن التاسع عشر، اكتشف علماء الرياضيات هندسات غير إقليدية ، والتي لا تتبع فرضية التوازي . ومن خلال التشكيك في صحة هذه الفرضية، تم النظر إلى هذا الاكتشاف على أنه ينضم إلى مفارقة راسل في الكشف عن الأزمة الأساسية للرياضيات . تم حل هذا الجانب من الأزمة من خلال تنظيم الطريقة البديهية، وتبني حقيقة البديهيات المختارة ليست مشكلة رياضية. [24] [6] في المقابل، تسمح الطريقة البديهية بدراسة هندسات مختلفة تم الحصول عليها إما عن طريق تغيير البديهيات أو من خلال النظر في الخصائص التي لا تتغير تحت تحويلات محددة للفضاء . [ 25]

تشمل مجالات الهندسة الفرعية اليوم ما يلي: [14]

الجبر

اشار الى التسمية التوضيحية
الصيغة التربيعية ، التي تعبر بإيجاز عن حلول جميع المعادلات التربيعية
مكعب روبيك 3x3 مخلوط
مجموعة مكعب روبيك هي تطبيق ملموس لنظرية المجموعة . [26]

الجبر هو فن التعامل مع المعادلات والصيغ. كان ديوفانتوس (القرن الثالث) والخوارزمي (القرن التاسع) من رواد الجبر الرئيسيين. [27] [28] حل ديوفانتوس بعض المعادلات التي تنطوي على أعداد طبيعية غير معروفة من خلال استنتاج علاقات جديدة حتى حصل على الحل. [29] قدم الخوارزمي طرقًا منهجية لتحويل المعادلات، مثل نقل حد من أحد جانبي المعادلة إلى الجانب الآخر. [30] مصطلح الجبر مشتق من الكلمة العربية الجبر والتي تعني "إعادة توحيد الأجزاء المكسورة" والتي استخدمها لتسمية إحدى هذه الطرق في عنوان أطروحته الرئيسية . [31] [32]

لم يصبح الجبر مجالاً قائماً بذاته إلا مع فرانسوا فييت (1540-1603)، الذي قدم استخدام المتغيرات لتمثيل الأعداد غير المعروفة أو غير المحددة. [33] تسمح المتغيرات لعلماء الرياضيات بوصف العمليات التي يجب إجراؤها على الأعداد الممثلة باستخدام الصيغ الرياضية . [34]

حتى القرن التاسع عشر، كان الجبر يتألف بشكل أساسي من دراسة المعادلات الخطية ( الجبر الخطي حاليًا )، والمعادلات متعددة الحدود في مجهول واحد ، والتي كانت تسمى المعادلات الجبرية (مصطلح لا يزال قيد الاستخدام، على الرغم من أنه قد يكون غامضًا). خلال القرن التاسع عشر، بدأ علماء الرياضيات في استخدام المتغيرات لتمثيل أشياء أخرى غير الأرقام (مثل المصفوفات والأعداد الصحيحة المعيارية والتحويلات الهندسية )، والتي غالبًا ما تكون تعميمات العمليات الحسابية صالحة عليها. [35] يتناول مفهوم البنية الجبرية هذا الأمر، ويتكون من مجموعة عناصرها غير محددة، وعمليات تعمل على عناصر المجموعة، والقواعد التي يجب أن تتبعها هذه العمليات. وبالتالي نما نطاق الجبر ليشمل دراسة الهياكل الجبرية. أطلق على هذا الهدف من الجبر اسم الجبر الحديث أو الجبر المجرد ، كما تم تأسيسه من خلال تأثير وأعمال إيمي نويثر . [36]

تتمتع بعض أنواع الهياكل الجبرية بخصائص مفيدة وغالبًا ما تكون أساسية في العديد من مجالات الرياضيات. أصبحت دراستها أجزاء مستقلة من الجبر، وتشمل: [14]

إن دراسة أنواع الهياكل الجبرية كأشياء رياضية هي الغرض من الجبر الشامل ونظرية الفئات . [37] وتنطبق الأخيرة على كل بنية رياضية (وليس فقط تلك الجبرية). في أصلها، تم تقديمها، جنبًا إلى جنب مع الجبر المتجانس للسماح بالدراسة الجبرية للأشياء غير الجبرية مثل المساحات الطوبولوجية ؛ يُطلق على هذا المجال المعين من التطبيق اسم الطوبولوجيا الجبرية . [38]

حساب التفاضل والتكامل والتحليل

تتكون متتالية كوشي من عناصر بحيث تصبح جميع الحدود اللاحقة لحد ما قريبة بشكل تعسفي من بعضها البعض مع تقدم المتتالية (من اليسار إلى اليمين).

تم تقديم حساب التفاضل والتكامل، والذي كان يسمى سابقًا حساب التفاضل والتكامل اللانهائي، بشكل مستقل وفي وقت واحد من قبل علماء الرياضيات في القرن السابع عشر نيوتن ولايبنتز . [ 39 ] إنه في الأساس دراسة العلاقة بين المتغيرات التي تعتمد على بعضها البعض. تم توسيع حساب التفاضل والتكامل في القرن الثامن عشر بواسطة أويلر مع تقديم مفهوم الدالة والعديد من النتائج الأخرى. [40] في الوقت الحاضر، يشير "حساب التفاضل والتكامل" بشكل أساسي إلى الجزء الأولي من هذه النظرية، ويُستخدم "التحليل" عادةً للأجزاء المتقدمة. [41]

ينقسم التحليل إلى تحليل حقيقي ، حيث تمثل المتغيرات أرقامًا حقيقية ، وتحليل مركب ، حيث تمثل المتغيرات أرقامًا مركبة . يتضمن التحليل العديد من المجالات الفرعية المشتركة مع مجالات أخرى من الرياضيات والتي تشمل: [14]

الرياضيات المنفصلة

رسم بياني يمثل سلسلة ماركوف ذات حالتين . يتم تمثيل الحالات بواسطة "A" و"E". الأرقام هي احتمالية قلب الحالة.

الرياضيات المنفصلة، ​​بشكل عام، هي دراسة الكائنات الرياضية الفردية القابلة للعد . ومن الأمثلة على ذلك مجموعة الأعداد الصحيحة. [42] ولأن الكائنات التي ندرسها هنا منفصلة، ​​فإن أساليب حساب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي لا تنطبق عليها بشكل مباشر. [ج] تلعب الخوارزميات -وخاصة تنفيذها وتعقيدها الحسابي- دورًا رئيسيًا في الرياضيات المنفصلة. [43]

كانت نظرية الألوان الأربعة والتعبئة الكروية المثلى مشكلتين رئيسيتين في الرياضيات المنفصلة تم حلهما في النصف الثاني من القرن العشرين. [44] تعد مشكلة P مقابل NP ، والتي لا تزال مفتوحة حتى يومنا هذا، مهمة أيضًا للرياضيات المنفصلة، ​​حيث أن حلها من المحتمل أن يؤثر على عدد كبير من المشكلات الحسابية الصعبة . [45]

تتضمن الرياضيات المنفصلة ما يلي: [14]

المنطق الرياضي ونظرية المجموعات

دائرة زرقاء ووردية وتقاطعهما مُسمّى
يُعد مخطط فين طريقة شائعة الاستخدام لتوضيح العلاقات بين المجموعات.

كان موضوعا المنطق الرياضي ونظرية المجموعات ينتميان إلى الرياضيات منذ نهاية القرن التاسع عشر. [46] [47] قبل هذه الفترة، لم تكن المجموعات تعتبر كائنات رياضية، وكان المنطق ، على الرغم من استخدامه في البراهين الرياضية، ينتمي إلى الفلسفة ولم يدرسه علماء الرياضيات على وجه التحديد. [48]

قبل دراسة كانتور للمجموعات اللانهائية ، كان علماء الرياضيات مترددين في النظر في المجموعات اللانهائية فعليًا ، واعتبروا اللانهاية نتيجة للترقيم اللانهائي . أثار عمل كانتور استياء العديد من علماء الرياضيات ليس فقط من خلال النظر في المجموعات اللانهائية فعليًا [49] ولكن أيضًا من خلال إظهار أن هذا يعني أحجامًا مختلفة من اللانهاية، وفقًا لحجة كانتور القطرية . أدى هذا إلى الجدل حول نظرية المجموعات الخاصة بكانتور . [50] في نفس الفترة، خلصت مجالات مختلفة من الرياضيات إلى أن التعريفات البديهية السابقة للأشياء الرياضية الأساسية كانت غير كافية لضمان الصرامة الرياضية . [51]

أصبحت هذه الأزمة الأساسية للرياضيات. [52] تم حلها في النهاية في الرياضيات السائدة من خلال تنظيم الطريقة البديهية داخل نظرية المجموعة الرسمية . وبشكل تقريبي، يتم تعريف كل كائن رياضي بمجموعة من جميع الكائنات المتشابهة والخصائص التي يجب أن تتمتع بها هذه الكائنات. [12] على سبيل المثال، في حساب بيانو ، يتم تعريف الأعداد الطبيعية من خلال "الصفر هو رقم"، "كل رقم له خليفة فريد"، "كل رقم باستثناء الصفر له سلف فريد"، وبعض قواعد المنطق. [53] يتجسد هذا التجريد الرياضي من الواقع في الفلسفة الحديثة للشكلية ، كما أسسها ديفيد هيلبرت حوالي عام 1910. [54]

إن "طبيعة" الأشياء المحددة بهذه الطريقة هي مشكلة فلسفية يتركها علماء الرياضيات للفلاسفة، حتى وإن كان لدى العديد من علماء الرياضيات آراء حول هذه الطبيعة، ويستخدمون رأيهم - والذي يُطلق عليه أحيانًا "الحدس" - لتوجيه دراستهم وإثباتاتهم. يسمح النهج بالنظر إلى "المنطق" (أي مجموعات قواعد الاستنتاج المسموح بها)، والنظريات، والإثباتات، وما إلى ذلك كأشياء رياضية، وإثبات النظريات المتعلقة بها. على سبيل المثال، تؤكد نظريات عدم اكتمال جودل ، بشكل تقريبي، أنه في كل نظام شكلي متسق يحتوي على الأعداد الطبيعية، توجد نظريات صحيحة (يمكن إثباتها في نظام أقوى)، ولكن لا يمكن إثباتها داخل النظام. [55] تم تحدي هذا النهج لأسس الرياضيات خلال النصف الأول من القرن العشرين من قبل علماء الرياضيات بقيادة بروير ، الذي روج للمنطق الحدسي ، والذي يفتقر صراحةً إلى قانون الوسط المستبعد . [56] [57]

أدت هذه المشاكل والمناقشات إلى توسع واسع النطاق للمنطق الرياضي، مع مجالات فرعية مثل نظرية النموذج (نمذجة بعض النظريات المنطقية داخل نظريات أخرى)، ونظرية الإثبات ، ونظرية النوع ، ونظرية الحساب ، ونظرية التعقيد الحسابي . [14] وعلى الرغم من تقديم هذه الجوانب من المنطق الرياضي قبل ظهور أجهزة الكمبيوتر ، إلا أن استخدامها في تصميم المترجم ، والتحقق الرسمي ، وتحليل البرامج ، ومساعدي الإثبات وغيرها من جوانب علوم الكمبيوتر ، ساهم بدوره في توسيع هذه النظريات المنطقية. [58]

الإحصاء وعلوم القرار الأخرى

مهما كان شكل توزيع السكان العشوائي (μ)، فإن متوسط ​​العينة (x̄) يميل إلى توزيع غاوسي ويتم تحديد تباينه (σ) بواسطة نظرية الحد المركزي لنظرية الاحتمالات. [59]

مجال الإحصاء هو تطبيق رياضي يستخدم لجمع ومعالجة عينات البيانات، باستخدام إجراءات تعتمد على الأساليب الرياضية وخاصة نظرية الاحتمالات . يقوم الإحصائيون بتوليد البيانات من خلال أخذ العينات العشوائية أو التجارب العشوائية . [60]

تدرس النظرية الإحصائية مشاكل اتخاذ القرار مثل تقليل المخاطر ( الخسارة المتوقعة ) لإجراء إحصائي، مثل استخدام إجراء في تقدير المعلمات ، واختبار الفرضيات ، واختيار الأفضل . في هذه المجالات التقليدية للإحصاءات الرياضية ، يتم صياغة مشكلة القرار الإحصائي عن طريق تقليل دالة الهدف ، مثل الخسارة المتوقعة أو التكلفة ، في ظل قيود محددة. على سبيل المثال، غالبًا ما يتضمن تصميم المسح تقليل تكلفة تقدير متوسط ​​السكان بمستوى معين من الثقة. [61] نظرًا لاستخدامها للتحسين ، تتداخل النظرية الرياضية للإحصاء مع علوم القرار الأخرى ، مثل بحوث العمليات ، ونظرية التحكم ، والاقتصاد الرياضي . [62]

الرياضيات الحسابية

الرياضيات الحاسوبية هي دراسة المشاكل الرياضية التي عادة ما تكون كبيرة جدًا بالنسبة للقدرة العددية البشرية. [63] [64] تدرس التحليلات العددية طرق حل المشاكل في التحليل باستخدام التحليل الوظيفي ونظرية التقريب ؛ يشمل التحليل العددي على نطاق واسع دراسة التقريب والتقدير مع التركيز بشكل خاص على أخطاء التقريب . [65] يدرس التحليل العددي، وعلى نطاق أوسع ، الحوسبة العلمية أيضًا الموضوعات غير التحليلية للعلوم الرياضية، وخاصة نظرية المصفوفات والرسوم البيانية الخوارزمية . تشمل المجالات الأخرى للرياضيات الحاسوبية الجبر الحاسوبي والحوسبة الرمزية .

تاريخ

علم أصول الكلمات

كلمة الرياضيات تأتي من الكلمة اليونانية القديمة máthēma ( μάθημα )، والتي تعني " شيء تم تعلمه، معرفة، رياضيات " ، والتعبير المشتق mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη )، والذي يعني " العلم الرياضي " . دخلت الكلمة اللغة الإنجليزية خلال فترة الإنجليزية الوسطى المتأخرة من خلال الفرنسية واللاتينية. [66]

وعلى نحو مماثل، عُرفت إحدى المدرستين الفكريتين الرئيسيتين في فيثاغورس باسم mathēmatikoi (μαθηματικοί) - والتي كانت تعني في ذلك الوقت "المتعلمين" وليس "علماء الرياضيات" بالمعنى الحديث. ومن المرجح أن الفيثاغورسيين كانوا أول من قيد استخدام الكلمة على دراسة الحساب والهندسة فقط. وبحلول زمن أرسطو (384-322 قبل الميلاد) كان هذا المعنى قد تأسس بشكل كامل. [67]

في اللاتينية والإنجليزية، وحتى حوالي عام 1700، كان مصطلح الرياضيات يعني بشكل أكثر شيوعًا " علم التنجيم " (أو أحيانًا " علم الفلك ") بدلاً من "الرياضيات"؛ تغير المعنى تدريجيًا إلى معناه الحالي من حوالي عام 1500 إلى عام 1800. أدى هذا التغيير إلى العديد من الترجمات الخاطئة: على سبيل المثال، تحذير القديس أوغسطينوس للمسيحيين من mathematici ، والتي تعني "المنجمين"، يُترجم أحيانًا بشكل خاطئ على أنه إدانة لعلماء الرياضيات. [68]

يعود الشكل الجمعي الظاهر في اللغة الإنجليزية إلى الجمع المحايد اللاتيني mathematica ( شيشرون )، استنادًا إلى الجمع اليوناني ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ) ويعني تقريبًا "كل الأشياء الرياضية"، على الرغم من أنه من المعقول أن اللغة الإنجليزية استعارت فقط صفة mathematic (al) وشكلت الاسم maths من جديد، على غرار نمط الفيزياء والميتافيزيقيا ، الموروث من اللغة اليونانية. [69] في اللغة الإنجليزية، يأخذ الاسم maths فعلًا مفردًا. غالبًا ما يتم اختصاره إلى maths [70] أو في أمريكا الشمالية math . [71]

عتيق

اللوح الرياضي البابلي بليمبتون 322 ، يعود تاريخه إلى عام 1800 قبل الميلاد

بالإضافة إلى التعرف على كيفية حساب الأشياء المادية، ربما عرف شعوب ما قبل التاريخ أيضًا كيفية حساب الكميات المجردة، مثل الوقت - الأيام أو الفصول أو السنوات. [72] [73] لا تظهر أدلة على الرياضيات الأكثر تعقيدًا حتى حوالي عام 3000  قبل الميلاد ، عندما بدأ البابليون والمصريون في استخدام الحساب والجبر والهندسة للضرائب والحسابات المالية الأخرى، والبناء والتشييد، وعلم الفلك. [74] أقدم النصوص الرياضية من بلاد ما بين النهرين ومصر هي من عام 2000 إلى 1800 قبل الميلاد. [75] تذكر العديد من النصوص المبكرة ثلاثيات فيثاغورس ، وبالتالي، من خلال الاستدلال، يبدو أن نظرية فيثاغورس هي المفهوم الرياضي الأقدم والأكثر انتشارًا بعد الحساب الأساسي والهندسة. في الرياضيات البابلية ظهر الحساب الأولي ( الجمع والطرح والضرب والقسمة ) لأول مرة في السجل الأثري. كان البابليون يمتلكون أيضًا نظام القيمة المكانية واستخدموا نظامًا رقميًا ستينيًا لا يزال قيد الاستخدام حتى اليوم لقياس الزوايا والوقت. [76]

في القرن السادس قبل الميلاد، بدأت الرياضيات اليونانية في الظهور كتخصص متميز، ويبدو أن بعض الإغريق القدماء مثل فيثاغورس اعتبروها موضوعًا قائمًا بذاته. [77] حوالي عام 300 قبل الميلاد، نظم إقليدس المعرفة الرياضية من خلال المسلمات والمبادئ الأولى، والتي تطورت إلى الطريقة البديهية المستخدمة في الرياضيات اليوم، والتي تتكون من التعريف والبديهية والنظرية والإثبات. [78] يُعتبر كتابه، العناصر ، على نطاق واسع الكتاب المدرسي الأكثر نجاحًا وتأثيرًا في كل العصور. [79] غالبًا ما يُعتبر أعظم عالم رياضيات في العصور القديمة هو أرخميدس ( حوالي  287  - حوالي  212 قبل الميلاد ) من سيراكيوز . [80] طور صيغًا لحساب مساحة السطح وحجم الأجسام الدورانية واستخدم طريقة الاستنفاد لحساب المساحة تحت قوس القطع المكافئ بمجموع سلسلة لا نهائية ، بطريقة لا تختلف كثيرًا عن حساب التفاضل والتكامل الحديث. [81] ومن الإنجازات الأخرى البارزة للرياضيات اليونانية المقاطع المخروطية ( أبولونيوس البرغثي ، القرن الثالث قبل الميلاد)، [82] وعلم المثلثات ( هيبارخوس النيقاوي ، القرن الثاني قبل الميلاد)، [83] وبدايات الجبر (ديوفانتوس، القرن الثالث الميلادي). [84]

الأرقام المستخدمة في مخطوطة بخشالي ، والتي يرجع تاريخها إلى ما بين القرن الثاني قبل الميلاد والقرن الثاني الميلادي

تطور نظام الأرقام الهندوسي العربي وقواعد استخدام عملياته، المستخدمة في جميع أنحاء العالم اليوم، على مدار الألفية الأولى بعد الميلاد في الهند وتم نقلها إلى العالم الغربي عبر الرياضيات الإسلامية . [85] تشمل التطورات الأخرى البارزة في الرياضيات الهندية التعريف الحديث والتقريب للجيب وجيب التمام ، وشكل مبكر من المتسلسلة اللانهائية . [86] [87]

العصور الوسطى وما بعدها

صفحة من كتاب الجبر للخوارزمي

خلال العصر الذهبي للإسلام ، وخاصة خلال القرنين التاسع والعاشر، شهدت الرياضيات العديد من الابتكارات المهمة المبنية على الرياضيات اليونانية. وكان الإنجاز الأكثر شهرة للرياضيات الإسلامية هو تطوير الجبر . تشمل الإنجازات الأخرى في الفترة الإسلامية التقدم في علم المثلثات الكروي وإضافة النقطة العشرية إلى نظام الأرقام العربية. [88] كان العديد من علماء الرياضيات البارزين من هذه الفترة من الفرس، مثل الخوارزمي وعمر الخيام وشرف الدين الطوسي . [89] تمت ترجمة النصوص الرياضية اليونانية والعربية بدورها إلى اللاتينية خلال العصور الوسطى وتم توفيرها في أوروبا. [90]

خلال الفترة الحديثة المبكرة ، بدأت الرياضيات تتطور بوتيرة متسارعة في أوروبا الغربية ، مع ابتكارات أحدثت ثورة في الرياضيات، مثل إدخال المتغيرات والتدوين الرمزي بواسطة فرانسوا فييت (1540-1603)، وإدخال اللوغاريتمات بواسطة جون نابير في عام 1614، والتي سهّلت بشكل كبير الحسابات العددية، وخاصة لعلم الفلك والملاحة البحرية ، وإدخال الإحداثيات بواسطة رينيه ديكارت (1596-1650) لتقليص الهندسة إلى الجبر، وتطوير حساب التفاضل والتكامل بواسطة إسحاق نيوتن (1643-1727) وجوتفريد لايبنتز (1646-1716). قام ليونهارد أويلر (1707-1783)، أبرز عالم رياضيات في القرن الثامن عشر، بتوحيد هذه الابتكارات في مجموعة واحدة بمصطلحات موحدة، وأكملها باكتشاف وإثبات العديد من النظريات. [91]

كارل فريدريش جاوس

ربما كان عالم الرياضيات الألماني كارل جاوس هو أبرز علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر ، حيث قدم مساهمات عديدة في مجالات مثل الجبر والتحليل والهندسة التفاضلية ونظرية المصفوفات ونظرية الأعداد والإحصاء . [92] في أوائل القرن العشرين، قام كورت جودل بتحويل الرياضيات من خلال نشر نظرياته عن عدم الاكتمال ، والتي تُظهر جزئيًا أن أي نظام بديهي متسق - إذا كان قويًا بما يكفي لوصف الحساب - سيحتوي على مقترحات صحيحة لا يمكن إثباتها. [55]

لقد تم توسيع الرياضيات منذ ذلك الحين بشكل كبير، وكان هناك تفاعل مثمر بين الرياضيات والعلوم ، لصالح كليهما. لا تزال الاكتشافات الرياضية مستمرة حتى يومنا هذا. وفقًا لميخائيل ب. سيفريوك، في عدد يناير 2006 من نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، "يبلغ عدد الأوراق والكتب المدرجة في قاعدة بيانات المراجعات الرياضية (MR) منذ عام 1940 (السنة الأولى لتشغيل MR) الآن أكثر من 1.9 مليون، ويتم إضافة أكثر من 75 ألف عنصر إلى قاعدة البيانات كل عام. تحتوي الغالبية العظمى من الأعمال في هذا المحيط على نظريات رياضية جديدة وبراهينها." [93]

التدوين الرمزي والمصطلحات

شرح لصيغة مجموع سيجما (Σ)

تُستخدم الترميز الرياضي على نطاق واسع في العلوم والهندسة لتمثيل المفاهيم والخصائص المعقدة بطريقة موجزة لا لبس فيها ودقيقة. يتكون هذا الترميز من الرموز المستخدمة لتمثيل العمليات والأرقام غير المحددة والعلاقات وأي كائنات رياضية أخرى، ثم تجميعها في تعبيرات وصيغ. [94] وبشكل أكثر دقة ، يتم تمثيل الأرقام والكائنات الرياضية الأخرى برموز تسمى المتغيرات، والتي تكون عمومًا أحرفًا لاتينية أو يونانية ، وغالبًا ما تتضمن فهرسًا سفلي . يتم تمثيل العمليات والعلاقات عمومًا برموز أو رموز محددة ، [95] مثل + ( زائد )، × ( ضرب )، ( تكامل )، = ( يساوي )، و < ( أقل من ). [96] يتم تجميع كل هذه الرموز عمومًا وفقًا لقواعد محددة لتشكيل التعبيرات والصيغ. [97] عادةً، لا تظهر التعبيرات والصيغ بمفردها، ولكنها مدرجة في جمل اللغة الحالية، حيث تلعب التعبيرات دور العبارات الاسمية وتلعب الصيغ دور الجمل .

طورت الرياضيات مصطلحات غنية تغطي مجموعة واسعة من المجالات التي تدرس خصائص الأشياء المجردة المثالية المختلفة وكيفية تفاعلها. وهي تستند إلى تعريفات صارمة توفر أساسًا قياسيًا للتواصل. البديهية أو الفرضية هي عبارة رياضية يتم اعتبارها صحيحة دون الحاجة إلى إثبات. إذا لم يتم إثبات العبارة الرياضية (أو دحضها) بعد، فإنها تسمى تخمينًا . من خلال سلسلة من الحجج الصارمة التي تستخدم الاستدلال الاستنتاجي ، تصبح العبارة التي ثبتت صحتها نظرية. تسمى النظرية المتخصصة التي تستخدم بشكل أساسي لإثبات نظرية أخرى بالمبرهنة . تسمى الحالة المثبتة التي تشكل جزءًا من نتيجة أكثر عمومية بالنتيجة التكميلية . [98]

العديد من المصطلحات التقنية المستخدمة في الرياضيات هي مصطلحات جديدة ، مثل متعدد الحدود والتماثل . [ 99] المصطلحات التقنية الأخرى هي كلمات من اللغة الشائعة تُستخدم بمعنى دقيق قد يختلف قليلاً عن معناها الشائع. على سبيل المثال، في الرياضيات، تعني " أو " "واحد، أو الآخر أو كليهما"، بينما في اللغة الشائعة، تكون إما غامضة أو تعني "واحد أو الآخر ولكن ليس كليهما" (في الرياضيات، يُطلق على الأخير " حصري أو "). أخيرًا، العديد من المصطلحات الرياضية هي كلمات شائعة تُستخدم بمعنى مختلف تمامًا. [100] قد يؤدي هذا إلى جمل صحيحة وتأكيدات رياضية حقيقية، لكنها تبدو هراء للأشخاص الذين ليس لديهم الخلفية المطلوبة. على سبيل المثال، "كل وحدة حرة مسطحة " و" الحقل دائمًا حلقة ".

العلاقة مع العلوم

تُستخدم الرياضيات في أغلب العلوم لنمذجة الظواهر ، مما يسمح بعد ذلك بالتنبؤات من القوانين التجريبية. [101] إن استقلال الحقيقة الرياضية عن أي تجربة يعني أن دقة مثل هذه التنبؤات تعتمد فقط على ملاءمة النموذج. [102] إن التنبؤات غير الدقيقة، بدلاً من أن تكون ناجمة عن مفاهيم رياضية غير صالحة، تعني الحاجة إلى تغيير النموذج الرياضي المستخدم. [103] على سبيل المثال، لم يكن من الممكن تفسير تقدم عطارد في الحضيض إلا بعد ظهور النسبية العامة لأينشتاين ، والتي حلت محل قانون الجاذبية لنيوتن كنموذج رياضي أفضل. [104]

لا يزال هناك جدال فلسفي حول ما إذا كانت الرياضيات علمًا أم لا. ومع ذلك، في الممارسة العملية، يتم تصنيف علماء الرياضيات عادةً مع العلماء، وتشترك الرياضيات في الكثير من القواسم المشتركة مع العلوم الفيزيائية. مثلهم، يمكن إثبات خطأ الرياضيات، مما يعني أنه إذا كانت النتيجة أو النظرية خاطئة، فيمكن إثبات ذلك من خلال تقديم مثال مضاد . وبالمثل كما هو الحال في العلوم، غالبًا ما يتم الحصول على النظريات والنتائج (النظريات) من خلال التجريب . [105] في الرياضيات، قد تتكون التجربة من الحساب على أمثلة مختارة أو دراسة الأشكال أو التمثيلات الأخرى للأشياء الرياضية (غالبًا تمثيلات ذهنية بدون دعم مادي). على سبيل المثال، عندما سُئل عن كيفية توصله إلى نظرياته، أجاب غاوس ذات مرة "durch planmässiges Tattonieren" (من خلال التجريب المنهجي). [106] ومع ذلك، يؤكد بعض المؤلفين أن الرياضيات تختلف عن المفهوم الحديث للعلم بعدم الاعتماد على الأدلة التجريبية. [107] [108] [109] [110]

الرياضيات البحتة والتطبيقية

قام إسحاق نيوتن (يسار) وجوتفريد فيلهلم لايبنتز بتطوير حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي في الصغر.

حتى القرن التاسع عشر، كان الدافع الرئيسي وراء تطوير الرياضيات في الغرب هو احتياجات التكنولوجيا والعلوم، ولم يكن هناك تمييز واضح بين الرياضيات البحتة والتطبيقية. [111] على سبيل المثال، تم تقديم الأعداد الطبيعية والحسابات لتلبية الحاجة إلى العد، وتم تقديم الهندسة من خلال المسح والعمارة وعلم الفلك. في وقت لاحق، قدم إسحاق نيوتن حساب التفاضل والتكامل اللانهائي لشرح حركة الكواكب بقانون الجاذبية. علاوة على ذلك، كان معظم علماء الرياضيات أيضًا علماء، وكان العديد من العلماء أيضًا علماء رياضيات. [112] ومع ذلك، حدث استثناء ملحوظ مع تقليد الرياضيات البحتة في اليونان القديمة . [113] على سبيل المثال، لم يكن لمشكلة تحليل العوامل الصحيحة ، والتي تعود إلى إقليدس في عام 300 قبل الميلاد، أي تطبيق عملي قبل استخدامها في نظام التشفير RSA ، والذي يستخدم الآن على نطاق واسع لأمن شبكات الكمبيوتر . [114]

في القرن التاسع عشر، ركز علماء الرياضيات مثل كارل ويرستراس وريتشارد ديديكيند أبحاثهم بشكل متزايد على المشكلات الداخلية، أي الرياضيات البحتة . [111] [115] أدى هذا إلى تقسيم الرياضيات إلى رياضيات بحتة ورياضيات تطبيقية ، وغالبًا ما يُنظر إلى الأخيرة على أنها ذات قيمة أقل بين المتشددين الرياضيين. ومع ذلك، غالبًا ما تكون الخطوط الفاصلة بين الاثنين غير واضحة. [116]

أدت عواقب الحرب العالمية الثانية إلى زيادة كبيرة في تطوير الرياضيات التطبيقية في الولايات المتحدة وأماكن أخرى. [117] [118] وقد تبين أن العديد من النظريات التي تم تطويرها للتطبيقات مثيرة للاهتمام من وجهة نظر الرياضيات البحتة، كما تبين أن العديد من نتائج الرياضيات البحتة لها تطبيقات خارج الرياضيات؛ وفي المقابل، قد تقدم دراسة هذه التطبيقات رؤى جديدة حول "النظرية البحتة". [119] [120]

من الأمثلة على الحالة الأولى نظرية التوزيعات ، التي قدمها لوران شوارتز للتحقق من صحة العمليات الحسابية التي أجريت في ميكانيكا الكم ، والتي أصبحت على الفور أداة مهمة للتحليل الرياضي (الخالص). [121] من الأمثلة على الحالة الثانية قابلية حل نظرية الدرجة الأولى للأعداد الحقيقية ، وهي مشكلة في الرياضيات البحتة أثبت ألفريد تارسكي صحتها ، مع خوارزمية من المستحيل تنفيذها بسبب التعقيد الحسابي المرتفع للغاية. [122] للحصول على خوارزمية يمكن تنفيذها ويمكنها حل أنظمة المعادلات والتفاوتات متعددة الحدود، قدم جورج كولينز التحلل الجبري الأسطواني الذي أصبح أداة أساسية في الهندسة الجبرية الحقيقية . [123]

في الوقت الحاضر، يعد التمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية مسألة تتعلق بهدف البحث الشخصي لعلماء الرياضيات أكثر من كونه تقسيمًا للرياضيات إلى مجالات واسعة. [124] [125] يحتوي تصنيف موضوع الرياضيات على قسم "الرياضيات التطبيقية العامة" ولكنه لا يذكر "الرياضيات البحتة". [14] ومع ذلك، لا تزال هذه المصطلحات مستخدمة في أسماء بعض أقسام الجامعات ، مثل كلية الرياضيات في جامعة كامبريدج .

فعالية غير معقولة

الفعالية غير المعقولة للرياضيات هي ظاهرة أطلق عليها الفيزيائي يوجين ويغنر هذا الاسم وأوضحها لأول مرة . [3] والحقيقة هي أن العديد من النظريات الرياضية (حتى "الأكثر نقاءً") لها تطبيقات خارج هدفها الأولي. قد تكون هذه التطبيقات خارج مجالها الأولي للرياضيات تمامًا، وقد تتعلق بظواهر فيزيائية كانت غير معروفة تمامًا عند تقديم النظرية الرياضية. [126] يمكن العثور على أمثلة للتطبيقات غير المتوقعة للنظريات الرياضية في العديد من مجالات الرياضيات.

ومن الأمثلة البارزة على ذلك التحليل إلى عوامل أولية للأعداد الطبيعية الذي تم اكتشافه قبل أكثر من 2000 عام من استخدامه الشائع لاتصالات الإنترنت الآمنة من خلال نظام التشفير RSA . [127] ومن الأمثلة التاريخية الثانية نظرية القطع الناقص . وقد درسها علماء الرياضيات اليونانيون القدماء على أنها مقاطع مخروطية (أي تقاطعات المخاريط مع المستويات). وبعد ما يقرب من 2000 عام اكتشف يوهانس كيبلر أن مسارات الكواكب هي قطع ناقص. [128]

في القرن التاسع عشر، أدى التطور الداخلي للهندسة (الرياضيات البحتة) إلى تعريف ودراسة الهندسة غير الإقليدية، والمساحات ذات الأبعاد الأعلى من ثلاثة والمتعددات . في هذا الوقت، بدت هذه المفاهيم منفصلة تمامًا عن الواقع المادي، ولكن في بداية القرن العشرين، طور ألبرت أينشتاين نظرية النسبية التي تستخدم هذه المفاهيم بشكل أساسي. على وجه الخصوص، فإن الزمكان في النسبية الخاصة هو فضاء غير إقليدي من البعد الرابع، وزمكان النسبية العامة هو متعدد (منحني) من البعد الرابع. [129] [130]

من الجوانب اللافتة للنظر في التفاعل بين الرياضيات والفيزياء هو عندما تقود الرياضيات البحث في الفيزياء. ويتضح ذلك من خلال اكتشافات البوزيترون والباريون . في كلتا الحالتين، كانت معادلات النظريات تحتوي على حلول غير مفسرة، مما أدى إلى تخمين وجود جسيم غير معروف ، والبحث عن هذه الجسيمات. في كلتا الحالتين، تم اكتشاف هذه الجسيمات بعد بضع سنوات من خلال تجارب محددة. [131] [132] [133]

علوم محددة

الفيزياء

رسم تخطيطي للبندول

لقد تأثرت الرياضيات والفيزياء ببعضهما البعض على مدار تاريخهما الحديث. تستخدم الفيزياء الحديثة الرياضيات بكثرة، [134] كما تعتبر أيضًا الدافع وراء التطورات الرياضية الكبرى. [135]

الحوسبة

ترتبط الحوسبة ارتباطًا وثيقًا بالرياضيات بعدة طرق. [136] يُعتبر علم الكمبيوتر النظري رياضيًا بطبيعته. [137] تطبق تقنيات الاتصال فروعًا من الرياضيات قد تكون قديمة جدًا (على سبيل المثال، الحساب)، وخاصة فيما يتعلق بأمان الإرسال، في نظرية التشفير والترميز . الرياضيات المنفصلة مفيدة في العديد من مجالات علوم الكمبيوتر، مثل نظرية التعقيد ونظرية المعلومات ونظرية الرسم البياني . [138] في عام 1998، بدا أن تخمين كيبلر حول حزم الكرة قد تم إثباته جزئيًا بواسطة الكمبيوتر. [139]

علم الأحياء والكيمياء

يظهر جلد سمكة المنتفخة العملاقة هذه نمط تورينج ، والذي يمكن نمذجته بواسطة أنظمة التفاعل والانتشار .

يستخدم علم الأحياء الاحتمالية على نطاق واسع في مجالات مثل علم البيئة أو علم الأعصاب . [140] تركز معظم مناقشات الاحتمالية على مفهوم اللياقة التطورية . [140] يستخدم علم البيئة النمذجة بشكل كبير لمحاكاة ديناميكيات السكان ، [140] [141] دراسة النظم البيئية مثل نموذج المفترس والفريسة، وقياس انتشار التلوث، [142] أو لتقييم تغير المناخ. [143] يمكن نمذجة ديناميكيات السكان من خلال معادلات تفاضلية مقترنة، مثل معادلات لوتكا فولتيرا . [144]

اختبار الفرضيات الإحصائية ، يتم إجراؤه على البيانات من التجارب السريرية لتحديد ما إذا كان العلاج الجديد يعمل. [145] منذ بداية القرن العشرين، استخدمت الكيمياء الحوسبة لنمذجة الجزيئات في ثلاثة أبعاد. [146]

علوم الارض

تستخدم الجيولوجيا البنيوية وعلم المناخ نماذج احتمالية للتنبؤ بمخاطر الكوارث الطبيعية. [147] وعلى نحو مماثل، تستخدم الأرصاد الجوية وعلم المحيطات وعلم الكواكب أيضًا الرياضيات بسبب استخدامها المكثف للنماذج. [148] [149] [150]

العلوم الاجتماعية

تشمل مجالات الرياضيات المستخدمة في العلوم الاجتماعية الاحتمالات/الإحصاء والمعادلات التفاضلية. تُستخدم هذه في اللغويات والاقتصاد وعلم الاجتماع [151] وعلم النفس . [152]

منحنيات العرض والطلب ، مثل هذا المنحنى، تشكل عنصرا أساسيا في الاقتصاد الرياضي.

غالبًا ما تكون الفرضية الأساسية للاقتصاد الرياضي هي فرضية الفاعل الفردي العقلاني - الإنسان الاقتصادي ( حرفيًا " الرجل الاقتصادي " ). [153] في هذا النموذج، يسعى الفرد إلى تعظيم مصلحته الذاتية ، [153] ويتخذ دائمًا خيارات مثالية باستخدام معلومات مثالية . [154] تسمح هذه النظرة الذرية للاقتصاد لها بتحليل تفكيرها بسهولة نسبية، لأن الحسابات الفردية يتم نقلها إلى حسابات رياضية. تسمح مثل هذه النمذجة الرياضية للمرء باستكشاف الآليات الاقتصادية. يرفض البعض أو ينتقد مفهوم الإنسان الاقتصادي . يلاحظ خبراء الاقتصاد أن الأشخاص الحقيقيين لديهم معلومات محدودة، ويتخذون خيارات سيئة ويهتمون بالعدالة والإيثار، وليس فقط بالمكاسب الشخصية. [155] 

بدون النمذجة الرياضية، من الصعب تجاوز الملاحظات الإحصائية أو التكهنات غير القابلة للاختبار. تسمح النمذجة الرياضية للاقتصاديين بإنشاء أطر منظمة لاختبار الفرضيات وتحليل التفاعلات المعقدة. توفر النماذج الوضوح والدقة، مما يتيح ترجمة المفاهيم النظرية إلى تنبؤات قابلة للقياس يمكن اختبارها مقابل بيانات العالم الحقيقي. [156]

في بداية القرن العشرين، كان هناك تطور للتعبير عن الحركات التاريخية في الصيغ. في عام 1922، اكتشف نيكولاي كوندراتييف دورة كوندراتييف التي استمرت لمدة 50 عامًا تقريبًا ، والتي تشرح مراحل النمو الاقتصادي أو الأزمة. [157] نحو نهاية القرن التاسع عشر، وسع علماء الرياضيات تحليلاتهم إلى الجغرافيا السياسية . [158] طور بيتر تورتشين الديناميكية الاقتصادية منذ التسعينيات. [159]

إن إضفاء الطابع الرياضي على العلوم الاجتماعية ليس بالأمر الخالي من المخاطر. ففي كتابه المثير للجدل " هراء عصري" (1997)، استنكر سوكال وبريكمونت الاستخدام غير المبرر أو المسيء للمصطلحات العلمية، وخاصة تلك المستمدة من الرياضيات أو الفيزياء، في العلوم الاجتماعية. [160] وتستخدم دراسة الأنظمة المعقدة (تطور البطالة، ورأس المال التجاري، والتطور الديموغرافي للسكان، وما إلى ذلك) المعرفة الرياضية. ومع ذلك، فإن اختيار معايير العد، وخاصة فيما يتعلق بالبطالة، أو النماذج، قد يكون موضع جدل. [161] [162]

فلسفة

الواقع

لقد أدى الارتباط بين الرياضيات والواقع المادي إلى مناقشات فلسفية منذ زمن فيثاغورس على الأقل . زعم الفيلسوف القديم أفلاطون أن التجريدات التي تعكس الواقع المادي لها في حد ذاتها واقع موجود خارج المكان والزمان. ونتيجة لذلك، غالبًا ما يشار إلى الرأي الفلسفي القائل بأن الأشياء الرياضية موجودة بطريقة ما بمفردها في التجريد باسم الأفلاطونية . وبصرف النظر عن آرائهم الفلسفية المحتملة، يمكن اعتبار علماء الرياضيات المعاصرين عمومًا أفلاطونيين، لأنهم يفكرون ويتحدثون عن أشياء دراستهم كأشياء حقيقية. [163]

وقد لخص أرماند بوريل وجهة النظر هذه حول واقع الرياضيات على النحو التالي، وقدم اقتباسات من جي إتش هاردي ، وتشارلز هيرميت ، وهنري بوانكاريه ، وألبرت أينشتاين لدعم آرائه. [131]

إن الشيء يصبح موضوعياً (على النقيض من "ذاتي") بمجرد أن نقتنع بأنه موجود في عقول الآخرين بنفس الشكل الذي يوجد به في عقولنا وأننا نستطيع أن نفكر فيه ونناقشه معاً. [164] ولأن لغة الرياضيات دقيقة للغاية، فهي مناسبة بشكل مثالي لتحديد المفاهيم التي يوجد حولها مثل هذا الإجماع. وفي رأيي، فإن هذا يكفي لتزويدنا بإحساس بوجود موضوعي، وواقع رياضيات...

ومع ذلك، فإن أفلاطونية والآراء المتزامنة حول التجريد لا تفسر الفعالية غير المعقولة للرياضيات. [165]

التعاريف المقترحة

لا يوجد إجماع عام حول تعريف الرياضيات أو وضعها المعرفي - أي مكانها داخل المعرفة. لا يهتم عدد كبير من علماء الرياضيات المحترفين بتعريف الرياضيات، أو يعتبرونها غير قابلة للتعريف. لا يوجد حتى إجماع حول ما إذا كانت الرياضيات فنًا أم علمًا. يقول البعض ببساطة، "الرياضيات هي ما يفعله علماء الرياضيات". [166] [167] النهج الشائع هو تعريف الرياضيات من خلال موضوع دراستها. [168] [169] [170] [171]

لقد عرّف أرسطو الرياضيات بأنها "علم الكم" وظل هذا التعريف سائدًا حتى القرن الثامن عشر. ومع ذلك، لاحظ أرسطو أيضًا أن التركيز على الكم وحده قد لا يميز الرياضيات عن العلوم مثل الفيزياء؛ ففي رأيه، فإن التجريد ودراسة الكم كخاصية "قابلة للفصل في الفكر" عن الحالات الحقيقية يميز الرياضيات. [172] في القرن التاسع عشر، عندما بدأ علماء الرياضيات في معالجة موضوعات - مثل المجموعات اللانهائية - والتي ليس لها علاقة واضحة بالواقع المادي، تم تقديم مجموعة متنوعة من التعريفات الجديدة. [173] مع العدد الكبير من مجالات الرياضيات الجديدة التي ظهرت منذ بداية القرن العشرين، أصبح تعريف الرياضيات من خلال موضوع دراستها صعبًا بشكل متزايد. [174] على سبيل المثال، بدلاً من التعريف، يلخص سوندرز ماك لين في الرياضيات والشكل والوظيفة أساسيات العديد من مجالات الرياضيات، مؤكدًا على ترابطها، ويلاحظ: [175]

يوفر تطور الرياضيات شبكة مترابطة بإحكام من القواعد والمفاهيم والأنظمة الرسمية. ترتبط عقد هذه الشبكة ارتباطًا وثيقًا بالإجراءات المفيدة في الأنشطة البشرية والأسئلة التي تنشأ في العلوم. يتم توجيه الانتقال من الأنشطة إلى الأنظمة الرياضية الرسمية من خلال مجموعة متنوعة من الأفكار والرؤى العامة.

هناك نهج آخر لتعريف الرياضيات وهو استخدام أساليبها. على سبيل المثال، غالبًا ما يتم تصنيف مجال الدراسة على أنه رياضيات بمجرد أن يتمكن المرء من إثبات النظريات - التأكيدات التي تعتمد صلاحيتها على الإثبات، أي الاستنتاج المنطقي البحت. [د] [176] [ فشل التحقق ]

صرامة

يتطلب التفكير الرياضي الدقة . وهذا يعني أن التعريفات يجب أن تكون واضحة تمامًا ويجب أن تكون البراهين قابلة للاختزال إلى سلسلة من تطبيقات قواعد الاستدلال ، [هـ] دون أي استخدام للأدلة التجريبية والحدس . [و] [177] لا يقتصر التفكير الدقيق على الرياضيات، ولكن في الرياضيات، يكون معيار الدقة أعلى بكثير من أي مكان آخر. وعلى الرغم من إيجاز الرياضيات ، فإن البراهين الدقيقة قد تتطلب مئات الصفحات للتعبير عنها، مثل نظرية فيت-تومسون المكونة من 255 صفحة . [ز] سمح ظهور البراهين بمساعدة الكمبيوتر بتوسيع أطوال الإثبات بشكل أكبر. [ح] [178] والنتيجة المترتبة على هذا الاتجاه هي فلسفة الإثبات شبه التجريبي التي لا يمكن اعتبارها معصومة من الخطأ، ولكنها مرتبطة باحتمالية. [6]

يعود مفهوم الصرامة في الرياضيات إلى اليونان القديمة، حيث شجع مجتمعهم التفكير المنطقي الاستنتاجي. ومع ذلك، فإن هذا النهج الصارم من شأنه أن يثبط استكشاف المناهج الجديدة، مثل الأعداد غير النسبية ومفاهيم اللانهاية. تم تعزيز طريقة إثبات الصرامة في القرن السادس عشر من خلال استخدام التدوين الرمزي. في القرن الثامن عشر، أدى التحول الاجتماعي إلى حصول علماء الرياضيات على قوتهم من خلال التدريس، مما أدى إلى تفكير أكثر دقة في المفاهيم الأساسية للرياضيات. أدى هذا إلى إنتاج مناهج أكثر صرامة، مع الانتقال من الأساليب الهندسية إلى البراهين الجبرية ثم الحسابية. [6]

في نهاية القرن التاسع عشر، بدا أن تعريفات المفاهيم الأساسية للرياضيات لم تكن دقيقة بما يكفي لتجنب المفارقات (الهندسة غير الإقليدية ودالة فايرستراس ) والتناقضات (مفارقة راسل). تم حل هذه المشكلة من خلال تضمين البديهيات مع قواعد الاستدلال القطعي للنظريات الرياضية؛ وإعادة تقديم الطريقة البديهية التي ابتكرها الإغريق القدماء. [6] ينتج عن ذلك أن "الدقة" لم تعد مفهومًا ذا صلة في الرياضيات، حيث يكون الإثبات إما صحيحًا أو خاطئًا، و"الإثبات الدقيق" هو ​​مجرد حشو . حيث يدخل مفهوم خاص للدقة حيز التنفيذ في الجوانب الاجتماعية للإثبات، حيث يمكن دحضه بشكل واضح من قبل علماء رياضيات آخرين. بعد قبول الإثبات لسنوات عديدة أو حتى عقود، يمكن اعتباره موثوقًا به. [179]

ومع ذلك، فإن مفهوم "الدقة" قد يظل مفيدًا لتدريس ما يشكل برهانًا رياضيًا للمبتدئين. [180]

التدريب والممارسة

تعليم

تتمتع الرياضيات بقدرة ملحوظة على عبور الحدود الثقافية والفترات الزمنية. وباعتبارها نشاطًا بشريًا ، فإن ممارسة الرياضيات لها جانب اجتماعي، والذي يشمل التعليم والمهن والتقدير والترويج وما إلى ذلك. في التعليم، تعد الرياضيات جزءًا أساسيًا من المناهج الدراسية وتشكل عنصرًا مهمًا في التخصصات الأكاديمية STEM . تشمل المهن البارزة لعلماء الرياضيات المحترفين مدرسًا أو أستاذًا للرياضيات، أو إحصائيًا ، أو خبيرًا اكتواريًا ، أو محللًا ماليًا ، أو خبيرًا اقتصاديًا ، أو محاسبًا ، أو تاجر سلع ، أو مستشار كمبيوتر . [181]

تشير الأدلة الأثرية إلى أن تعليم الرياضيات حدث في وقت مبكر من الألفية الثانية قبل الميلاد في بابل القديمة. [182] تم اكتشاف أدلة مماثلة لتدريب الرياضيات الكتابية في الشرق الأدنى القديم ثم للعالم اليوناني الروماني بدءًا من حوالي 300 قبل الميلاد. [183] ​​أقدم كتاب مدرسي معروف للرياضيات هو بردية ريند ، التي يرجع تاريخها إلى حوالي  1650 قبل الميلاد في مصر. [184] بسبب ندرة الكتب، تم توصيل التعاليم الرياضية في الهند القديمة باستخدام التقليد الشفوي المحفوظ منذ العصر الفيدى ( حوالي  1500  - حوالي  500 قبل الميلاد ). [185] في الإمبراطورية الصينية خلال عهد أسرة تانغ (618-907 م)، تم اعتماد منهج رياضيات لامتحان الخدمة المدنية للانضمام إلى البيروقراطية الحكومية. [186]

بعد العصور المظلمة ، تم توفير تعليم الرياضيات في أوروبا من قبل المدارس الدينية كجزء من Quadrivium . بدأ التعليم الرسمي في علم أصول التدريس مع المدارس اليسوعية في القرنين السادس عشر والسابع عشر. ظلت معظم المناهج الرياضية على مستوى أساسي وعملي حتى القرن التاسع عشر، عندما بدأت تزدهر في فرنسا وألمانيا. كانت أقدم مجلة تتناول تعليم الرياضيات هي L'Enseignement Mathématique ، والتي بدأت النشر في عام 1899. [187] أدت التطورات الغربية في العلوم والتكنولوجيا إلى إنشاء أنظمة تعليمية مركزية في العديد من الدول القومية، مع الرياضيات كمكون أساسي - في البداية لتطبيقاتها العسكرية. [188] في حين يختلف محتوى الدورات، في الوقت الحاضر تقوم جميع البلدان تقريبًا بتدريس الرياضيات للطلاب لفترات زمنية كبيرة. [189]

خلال المدرسة، ترتبط القدرات الرياضية والتوقعات الإيجابية ارتباطًا وثيقًا بالاهتمام المهني في هذا المجال. يمكن للعوامل الخارجية مثل التحفيز من قبل المعلمين وأولياء الأمور ومجموعات الأقران أن تؤثر على مستوى الاهتمام بالرياضيات. [190] قد يصاب بعض الطلاب الذين يدرسون الرياضيات بالقلق أو الخوف بشأن أدائهم في هذا الموضوع. يُعرف هذا بالقلق الرياضي أو رهاب الرياضيات، ويعتبر أبرز الاضطرابات التي تؤثر على الأداء الأكاديمي. يمكن أن يتطور القلق الرياضي بسبب عوامل مختلفة مثل مواقف الوالدين والمعلمين والصور النمطية الاجتماعية والسمات الشخصية. يمكن أن تأتي المساعدة في مواجهة القلق من التغييرات في الأساليب التعليمية، من خلال التفاعلات مع الآباء والمعلمين، ومن خلال العلاجات المصممة خصيصًا للفرد. [191]

علم النفس (الجمالية والإبداع والحدس)

تعتمد صحة النظرية الرياضية فقط على صرامة إثباتها، والذي يمكن نظريًا القيام به تلقائيًا بواسطة برنامج كمبيوتر . هذا لا يعني أنه لا يوجد مكان للإبداع في العمل الرياضي. على العكس من ذلك، فإن العديد من النتائج الرياضية المهمة (النظريات) هي حلول لمشاكل فشل علماء رياضيات آخرون في حلها، وقد يكون اختراع طريقة لحلها طريقة أساسية لعملية الحل. [192] [193] مثال متطرف هو نظرية أبيري : قدم روجر أبيري فقط أفكارًا لإثبات، ولم يقدم الدليل الرسمي إلا بعد عدة أشهر من قبل ثلاثة علماء رياضيات آخرين. [194]

الإبداع والدقة ليسا الجانبان النفسيان الوحيدان لنشاط علماء الرياضيات. يمكن لبعض علماء الرياضيات أن ينظروا إلى نشاطهم كلعبة، وبشكل أكثر تحديدًا كحل للألغاز . [195] يتم التأكيد على هذا الجانب من النشاط الرياضي في الرياضيات الترفيهية .

يمكن لعلماء الرياضيات أن يجدوا قيمة جمالية للرياضيات. مثل الجمال ، من الصعب تعريفه، فهو مرتبط عادة بالأناقة ، والتي تنطوي على صفات مثل البساطة والتناظر والاكتمال والعمومية. أعرب جي إتش هاردي في اعتذار عالم رياضيات عن اعتقاده بأن الاعتبارات الجمالية، في حد ذاتها، كافية لتبرير دراسة الرياضيات البحتة. كما حدد معايير أخرى مثل الأهمية، وعدم التوقع، والحتمية، والتي تساهم في الجماليات الرياضية. [196] عبر بول إردوس عن هذا الشعور بشكل أكثر سخرية من خلال الحديث عن "الكتاب"، وهي مجموعة إلهية مفترضة من أجمل البراهين. كتاب " إثباتات من الكتاب " لعام 1998 ، المستوحى من إردوس، هو مجموعة من الحجج الرياضية المختصرة والكاشفة بشكل خاص. بعض الأمثلة على النتائج الأنيقة بشكل خاص المضمنة هي دليل إقليدس على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية وتحويل فورييه السريع للتحليل التوافقي . [197]

يشعر البعض أن اعتبار الرياضيات علمًا هو تقليل من أهمية فنها وتاريخها في الفنون الليبرالية السبعة التقليدية . [198] إحدى الطرق التي يظهر بها هذا الاختلاف في وجهة النظر هي في المناقشة الفلسفية حول ما إذا كانت النتائج الرياضية تُخلق (كما في الفن) أو تُكتشف (كما في العلم). [131] إن شعبية الرياضيات الترفيهية هي علامة أخرى على المتعة التي يجدها الكثيرون في حل الأسئلة الرياضية.

التأثير الثقافي

التعبير الفني

النغمات التي تبدو متناغمة مع بعضها البعض بالنسبة للأذن الغربية هي الأصوات التي تكون ترددات اهتزازها الأساسية بنسب بسيطة. على سبيل المثال، تضاعف الأوكتاف التردد وتضاعفه الخماسية المثالية بمقدار . [199] [200]

كسوري ذو تماثل متدرج وتماثل مركزي

يجد البشر، وكذلك بعض الحيوانات الأخرى، أن الأنماط المتماثلة أكثر جمالًا. [201] رياضيًا، تشكل تناظرات الجسم مجموعة تُعرف باسم مجموعة التناظر . [202] على سبيل المثال، المجموعة التي تكمن وراء تناظر المرآة هي المجموعة الدورية لعنصرين، . اختبار رورشاخ هو شكل ثابت بواسطة هذا التناظر، [203] كما هي الحال مع أجسام الفراشات والحيوانات بشكل عام (على الأقل على السطح). [204] تمتلك الأمواج على سطح البحر تناظرًا انتقاليًا: تحريك وجهة نظر المرء بمسافة بين قمم الموجة لا يغير من وجهة نظره للبحر. [205] تمتلك الكسيريات تشابهًا ذاتيًا . [206] [207]

تعميم

الرياضيات الشعبية هي عملية تقديم الرياضيات دون مصطلحات تقنية. [208] قد يكون تقديم الرياضيات صعبًا نظرًا لأن عامة الناس يعانون من القلق الرياضي والأشياء الرياضية مجردة للغاية. [209] ومع ذلك، يمكن للكتابة الرياضية الشعبية التغلب على هذا باستخدام التطبيقات أو الروابط الثقافية. [210] وعلى الرغم من ذلك، نادرًا ما تكون الرياضيات موضوعًا للترويج في وسائل الإعلام المطبوعة أو المتلفزة.

الجوائز ومشاكل الجوائز

الوجه الأمامي لميدالية فيلدز مع رسم توضيحي للعالم اليوناني أرخميدس

الجائزة الأكثر شهرة في الرياضيات هي ميدالية فيلدز ، [211] [212] التي تأسست في عام 1936 وتُمنح كل أربع سنوات (باستثناء فترة الحرب العالمية الثانية ) لما يصل إلى أربعة أفراد. [213] [214] وهي تعتبر المعادل الرياضي لجائزة نوبل . [214]

تشمل جوائز الرياضيات المرموقة الأخرى ما يلي: [215]

  • جائزة آبل ، التي تأسست في عام 2002 [216] ومنحت لأول مرة في عام 2003 [217]
  • ميدالية تشيرن للإنجاز مدى الحياة، تم تقديمها في عام 2009 [218] وتم منحها لأول مرة في عام 2010 [219]
  • جائزة AMS Leroy P. Steele ، التي تُمنح منذ عام 1970 [220]
  • جائزة وولف في الرياضيات ، وهي جائزة تُمنح أيضًا للإنجاز مدى الحياة، [221] تأسست في عام 1978 [222]

قام عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت في عام 1900 بتجميع قائمة شهيرة من 23 مشكلة مفتوحة ، تسمى " مشاكل هيلبرت ". [223] حققت هذه القائمة شهرة كبيرة بين علماء الرياضيات، [224] وتم حل ما لا يقل عن ثلاثة عشر مشكلة (اعتمادًا على كيفية تفسير بعضها). [223]

نُشرت قائمة جديدة تضم سبع مسائل مهمة، بعنوان " مسائل جائزة الألفية "، في عام 2000. واحدة فقط من هذه المسائل، فرضية ريمان ، تكرر إحدى مسائل هيلبرت. ويحمل حل أي من هذه المسائل مكافأة قدرها مليون دولار. [225] وحتى الآن، حل عالم الرياضيات الروسي جريجوري بيرلمان واحدة فقط من هذه المسائل، تخمين بوانكاريه . [226]

انظر أيضا

مراجع

ملحوظات

  1. ^ هنا، يتم أخذ الجبر بمعناه الحديث، والذي هو، تقريبًا، فن التعامل مع الصيغ .
  2. ^ وهذا يشمل المقاطع المخروطية ، وهي تقاطعات الأسطوانات الدائرية والمستويات.
  3. ^ ومع ذلك، يتم استخدام بعض الطرق المتقدمة للتحليل في بعض الأحيان؛ على سبيل المثال، طرق التحليل المركب المطبقة على توليد السلاسل .
  4. ^ على سبيل المثال، ينتمي المنطق إلى الفلسفة منذ أرسطو . وفي نهاية القرن التاسع عشر تقريبًا، كانت الأزمة الأساسية للرياضيات تعني تطورات في المنطق خاصة بالرياضيات. وقد سمح هذا في النهاية بإثبات نظريات مثل نظريات جودل . ومنذ ذلك الحين، يُنظر إلى المنطق الرياضي عمومًا على أنه مجال من مجالات الرياضيات.
  5. ^ هذا لا يعني توضيح جميع قواعد الاستدلال المستخدمة. على العكس من ذلك، هذا مستحيل بشكل عام، بدون أجهزة الكمبيوتر ومساعدي الإثبات . حتى مع هذه التكنولوجيا الحديثة، قد يستغرق الأمر سنوات من العمل البشري لكتابة إثبات مفصل تمامًا.
  6. ^ هذا لا يعني أن الأدلة التجريبية والحدس ليست ضرورية لاختيار النظريات المراد إثباتها وإثباتها.
  7. ^ هذا هو طول الورقة الأصلية التي لا تحتوي على أدلة بعض النتائج المساعدة المنشورة سابقًا. يحتوي الكتاب المخصص للإثبات الكامل على أكثر من 1000 صفحة.
  8. ^ لاعتبار عملية حسابية كبيرة تحدث في إثبات ما موثوقة، يتطلب الأمر عمومًا إجراء عمليتين حسابيتين باستخدام برامج مستقلة

الاستشهادات

  1. ^ هيبوليتو ، إينيس فيجاس (9-15 أغسطس 2015). “الإدراك المجرد وطبيعة الدليل الرياضي”. في كنزيان، مسيحي؛ ميترير, جوزيف ; نيجيس، كاتارينا (محرران). الواقعية – النسبية – البناء: Beiträge des 38. ندوات فيتجنشتاين الدولية [ الواقعية – النسبية – البنائية: مساهمات ندوة فيتجنشتاين الدولية الثامنة والثلاثين ] (PDF) (باللغتين الألمانية والإنجليزية). المجلد. 23. كيرشبيرج أم فيكسل، النمسا: جمعية لودفيغ فيتجنشتاين النمساوية. ص  132 – 134. ISSN  1022-3398. OCLC  236026294. أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية في 7 تشرين الثاني (نوفمبر) 2022 . تم الاسترجاع في 17 يناير 2024 .(في ResearchGateأيقونة الوصول المفتوحتم أرشفته في 5 نوفمبر 2022، على موقع Wayback Machine )
  2. ^ بيترسون 1988، ص 12.
  3. ^ ab Wigner, Eugene (1960). "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences". Communications on Pure and Applied Mathematics . 13 (1): 1– 14. Bibcode :1960CPAM...13....1W. doi :10.1002/cpa.3160130102. S2CID  6112252. مؤرشف من الأصل في 28 فبراير 2011.
  4. ^ وايز، ديفيد. "تأثير يودوكسوس على عناصر إقليدس مع نظرة فاحصة على طريقة الاستنزاف". جامعة جورجيا . مؤرشف من الأصل في 1 يونيو 2019. تم الاسترجاع في 18 يناير 2024 .
  5. ^ ألكسندر، أمير (سبتمبر 2011). "الهيكل العظمي في الخزانة: هل ينبغي لمؤرخي العلوم أن يهتموا بتاريخ الرياضيات؟". إيزيس . 102 (3): 475-480 . doi :10.1086/661620. ISSN  0021-1753. MR  2884913. PMID  22073771. S2CID  21629993.
  6. ^ abcdef كلاينر، إسرائيل (ديسمبر 1991). “الصرامة والإثبات في الرياضيات: منظور تاريخي”. مجلة الرياضيات . 64 (5). تايلور وفرانسيس المحدودة: 291-314 . دوى :10.1080 / 0025570X.1991.11977625. إيسن  1930-0980. ISSN  0025-570X. JSTOR  2690647. LCCN  47003192. السيد  1141557. OCLC  1756877. S2CID  7787171.
  7. ^ Bell, ET (1945) [1940]. "General Prospectus". The Development of Mathematics (2nd ed.). Dover Publications. p. 3. ISBN 978-0-486-27239-9 ... لقد وصلت الرياضيات إلى الوقت الحاضر من خلال التيارين الرئيسيين للعدد والشكل. الأول حمل معه الحساب والجبر، والثاني حمل معه الهندسة  .
  8. ^ تيواري، سارجو (1992). "مرآة الحضارة". الرياضيات في التاريخ والثقافة والفلسفة والعلوم (الطبعة الأولى). نيودلهي، الهند: منشورات ميتال. ص 27. ISBN 978-81-7099-404-6. LCCN  92909575. OCLC  28115124. ومن المؤسف أن لعنتين من لعنات الرياضيات - علم الأعداد وعلم التنجيم - قد ولدتا معها أيضًا وكانتا أكثر قبولًا لدى الجماهير من الرياضيات نفسها.
  9. ^ ريستيفو، سال (1992). "الرياضيات من الألف إلى الياء". في بونج، ماريو (محرر). الرياضيات في المجتمع والتاريخ . إبيستيمي. المجلد 20. دار النشر الأكاديمية كلوير . ص 14. رقم ISBN 0-7923-1765-3. LCCN  25709270. OCLC  92013695.
  10. ^ Musielak, Dora (2022). Leonhard Euler and the Foundations of Celestial Mechanics . تاريخ الفيزياء. Springer International Publishing . doi :10.1007/978-3-031-12322-1. eISSN  2730-7557. ISBN 978-3-031-12321-4. ISSN  2730-7549. OCLC  1332780664. S2CID  253240718.
  11. ^ بيغز ، NL (مايو 1979). “جذور التوافقيات”. تاريخ الرياضيات . 6 (2): 109-136 . دوى : 10.1016 / 0315-0860(79)90074-0 . إيسن  1090-249X. ISSN  0315-0860. LCCN  75642280. OCLC  2240703.
  12. ^ ab Warner, Evan. "Splash Talk: The Foundational Crisis of Mathematics" (PDF) . جامعة كولومبيا . مؤرشف من الأصل (PDF) في 22 مارس 2023. تم الاسترجاع في 3 فبراير 2024 .
  13. ^ Dunne, Edward; Hulek, Klaus (March 2020). "Mathematics Subject Classification 2020" (PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 67 (3): 410– 411. doi : 10.1090/noti2052 . eISSN  1088-9477. ISSN  0002-9920. LCCN  sf77000404. OCLC  1480366. مؤرشف (PDF) من الأصل في 3 أغسطس 2021. تم الاسترجاع في 3 فبراير 2024. يحتوي MSC الجديد على 63 تصنيفًا مكونًا من رقمين و529 تصنيفًا مكونًا من ثلاثة أرقام و6006 تصنيفًا مكونًا من خمسة أرقام.
  14. ^ abcdefgh "MSC2020-Mathematics Subject Classification System" (PDF) . zbMath . محررون مشاركون في Mathematical Reviews وzbMATH. مؤرشف (PDF) من الأصل في 2 يناير 2024 . تم الاسترجاع في 3 فبراير 2024 .
  15. ^ LeVeque, William J. (1977). "Introduction". Fundamentals of Number Theory . Addison-Wesley Publishing Company . ص.  1– 30. ISBN 0-201-04287-8. LCCN  76055645. OCLC  3519779. S2CID  118560854.
  16. ^ جولدمان، جاي ر. (1998). "الآباء المؤسسون". ملكة الرياضيات: دليل تاريخي لنظرية الأعداد . ويلزلي، ماساتشوستس: إيه كيه بيترز. ص  2-3 . doi :10.1201/9781439864623. ISBN 1-56881-006-7. LCCN  94020017. OCLC  30437959. S2CID  118934517.
  17. ^ ويل، أندريه (1983). نظرية الأعداد: نهج عبر التاريخ من حمورابي إلى ليجيندر . بيركهاوزر بوسطن. ص  2-3 . doi :10.1007/978-0-8176-4571-7. ISBN 0-8176-3141-0. LCCN  83011857. OCLC  9576587. S2CID  117789303.
  18. ^ كلاينر ، إسرائيل (مارس 2000). “من فيرما إلى ويلز: نظرية فيرما الأخيرة تصبح نظرية”. عنصر الرياضيات . 55 (1): 19– 37. دوى : 10.1007/PL00000079 . إيسن  1420-8962. ISSN  0013-6018. LCCN  66083524. OCLC  1567783. S2CID  53319514.
  19. ^ وانج، يوان (2002). تخمين جولدباخ . سلسلة في الرياضيات البحتة. المجلد 4 (الطبعة الثانية). مجلة العلوم العالمية . ص  1-18 . doi :10.1142/5096. ISBN 981-238-159-7. LCCN  2003268597. OCLC  51533750. S2CID  14555830.
  20. ^ abc Straume, Eldar (4 سبتمبر 2014). "دراسة استقصائية عن تطور الهندسة حتى عام 1870". arXiv : 1409.1140 [math.HO].
  21. ^ هيلبرت، ديفيد (1902). أسس الهندسة. شركة النشر أوبن كورت . ص. 1. doi :10.1126/science.16.399.307. LCCN  02019303. OCLC  996838. S2CID  238499430. تم الاسترجاع في 6 فبراير 2024 . أيقونة الوصول المجاني
  22. ^ هارتشورن، روبن (2000). "هندسة إقليدس". الهندسة: إقليدس وما بعده. سبرينغر نيويورك . ص  9-13 . ISBN 0-387-98650-2. LCCN  99044789. OCLC  42290188 . تم الاسترجاع في 7 فبراير 2024 .
  23. ^ Boyer, Carl B. (2004) [1956]. "Fermat and Descartes". تاريخ الهندسة التحليلية . منشورات دوفر . ص  74- 102. ISBN 0-486-43832-5. LCCN  2004056235. OCLC  56317813.
  24. ^ ستامب، ديفيد جيه. (1997). "إعادة بناء وحدة الرياضيات حوالي عام 1900" (PDF) . وجهات نظر حول العلوم . 5 (3): 383-417 . doi :10.1162/posc_a_00532. eISSN  1530-9274. ISSN  1063-6145. LCCN  94657506. OCLC  26085129. S2CID  117709681. تم الاسترجاع في 8 فبراير 2024 .
  25. ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (February 1996). "Non-Euclidean geometry". MacTuror . Scotland, UK: University of St. Andrews . مؤرشف من الأصل في 6 نوفمبر 2022 . تم الاسترجاع في 8 فبراير 2024 .
  26. ^ جوينر، ديفيد (2008). "مجموعة مكعب روبيك (القانونية)". مغامرات في نظرية المجموعة: مكعب روبيك، وآلة ميرلين، وغيرها من الألعاب الرياضية (الطبعة الثانية). مطبعة جامعة جونز هوبكنز . ص  219- 232. ISBN 978-0-8018-9012-3. LCCN  2008011322. OCLC  213765703.
  27. ^ كريستيانيديس، جان؛ أوكس ، جيفري (مايو 2013). “ممارسة الجبر في العصور القديمة المتأخرة: حل مشكلة ديوفانتوس السكندري”. تاريخ الرياضيات . 40 (2): 127-163 . دوى : 10.1016/j.hm.2012.09.001 . إيسن  1090-249X. ISSN  0315-0860. LCCN  75642280. OCLC  2240703. S2CID  121346342.
  28. ^ كلاينر 2007، "تاريخ الجبر الكلاسيكي"، ص 3-5.
  29. ^ شين، ديفيد (2022). "الأعداد المجازية: دراسة تاريخية للرياضيات القديمة" (PDF) . جامعة ميثوديست . ص. 20. تم الاسترجاع في 13 يونيو 2024. ركز ديوفانتوس في عمله على استنتاج الخصائص الحسابية للأعداد المجازية، مثل استنتاج عدد الأضلاع، والطرق المختلفة التي يمكن بها التعبير عن رقم كرقم مجازي، وصياغة المتواليات الحسابية.
  30. ^ Overbay, Shawn; Schorer, Jimmy; Conger, Heather. "الخوارزمي". جامعة كنتاكي . تم الاسترجاع في 13 يونيو 2024 .
  31. ^ ليم، ليزا (21 ديسمبر 2018). "من أين جاء الرمز x الذي نستخدمه في الجبر، والرمز X في عيد الميلاد" . صحيفة ساوث تشاينا مورنينج بوست . مؤرشف من الأصل في 22 ديسمبر 2018. تم الاسترجاع في 8 فبراير 2024 .
  32. ^ برنتجيس ، سونيا . "الجبر". موسوعة الإسلام على الإنترنت (الطبعة الثالثة). ISSN  1573-3912. LCCN  2007238847. OCLC  56713464 . تم الاسترجاع في 13 يونيو 2024 .
  33. ^ Oaks, Jeffery A. (2018). "François Viète's revolution in algebra" (PDF) . أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 72 (3): 245– 302. doi :10.1007/s00407-018-0208-0. eISSN  1432-0657. ISSN  0003-9519. LCCN  63024699. OCLC  1482042. S2CID  125704699. مؤرشف من الأصل (PDF) في 8 نوفمبر 2022. تم الاسترجاع في 8 فبراير 2024 .
  34. ^ "المتغيرات في الرياضيات". GeeksforGeeks . 24 أبريل 2024 . تم الاسترجاع في 13 يونيو 2024 .
  35. ^ كلاينر 2007، "تاريخ الجبر الخطي"، ص 79-101.
  36. ^ كوري، ليو (2004). "إيمي نوثر: المثل والهياكل". الجبر الحديث وظهور الهياكل الرياضية (الطبعة الثانية المنقحة). ألمانيا: بيركهاوزر بازل. ص  247- 252. ISBN 3-7643-7002-5. LCCN  2004556211. OCLC  51234417 . تم الاسترجاع في 8 فبراير 2024 .
  37. ^ ريتشي، جاك (2007). "من الجبر الشامل إلى المنطق الشامل". في بيزياو، جي واي؛ كوستا-ليتي، ألكسندر (المحررون). وجهات نظر حول المنطق الشامل. ميلانو، إيطاليا: دار النشر العلمية الدولية بوليمتريكا. ص  3- 39. رقم ISBN 978-88-7699-077-9. OCLC  647049731 . تم الاسترجاع في 8 فبراير 2024 .
  38. ^ كرومر، رالف (2007). الأداة والهدف: تاريخ وفلسفة نظرية الفئات. شبكات العلوم – دراسات تاريخية. المجلد 32. ألمانيا: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا . ص.  xxi– xxv، 1– 91. ISBN 978-3-7643-7523-2. LCCN  2007920230. OCLC  85242858 . تم الاسترجاع في 8 فبراير 2024 .
  39. ^ Guicciardini, Niccolo (2017). "The Newton–Leibniz Calculus Controversy, 1708–1730" (PDF) . في Schliesser, Eric; Smeenk, Chris (eds.). The Oxford Handbook of Newton . Oxford Handbooks. Oxford University Press . doi :10.1093/oxfordhb/9780199930418.013.9. ISBN 978-0-19-993041-8. OCLC  975829354. مؤرشف من الأصل (PDF) في 9 نوفمبر 2022. تم الاسترجاع في 9 فبراير 2024 .
  40. ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (سبتمبر 1998). "Leonhard Euler". MacTutor . اسكتلندا، المملكة المتحدة: جامعة سانت أندروز . مؤرشف من الأصل في 9 نوفمبر 2022. تم الاسترجاع في 9 فبراير 2024 .
  41. ^ "حساب التفاضل والتكامل (حساب التفاضل والتكامل مع الأمثلة)". Byju's . تم الاسترجاع في 13 يونيو 2024 .
  42. ^ فرانكلين، جيمس (يوليو 2017). "المنفصل والمستمر: ثنائية أساسية في الرياضيات". مجلة الرياضيات الإنسانية . 7 (2): 355-378 . doi : 10.5642/jhummath.201702.18 . ISSN  2159-8118. LCCN  2011202231. OCLC  700943261. S2CID  6945363. تم الاسترجاع في 9 فبراير 2024 .
  43. ^ مورير، ستيفن ب. (1997). "ما هي الرياضيات المنفصلة؟ الإجابات العديدة". في روزنشتاين، جوزيف ج.؛ فرانزبلاو، ديبوراه س.؛ روبرتس، فريد س. (المحررون). الرياضيات المنفصلة في المدارس . DIMACS: سلسلة في الرياضيات المنفصلة وعلوم الكمبيوتر النظرية. المجلد 36. الجمعية الرياضية الأمريكية . ص  121- 124. doi :10.1090/dimacs/036/13. ISBN 0-8218-0448-0. ردمك  1052-1798. LCCN  97023277. OCLC  37141146. S2CID  67358543 . تم الاسترجاع في 9 فبراير 2024 .
  44. ^ هيلز، توماس سي. (2014). "إرث تورينج: التطورات من أفكار تورينج في المنطق". في داوني، رود (المحرر). إرث تورينج . ملاحظات المحاضرات في المنطق. المجلد 42. مطبعة جامعة كامبريدج . ص  260- 261. doi :10.1017/CBO9781107338579.001. ISBN 978-1-107-04348-0. LCCN  2014000240. OCLC  867717052. S2CID  19315498. تم الاسترجاع في 9 فبراير 2024 .
  45. ^ سيبسر، مايكل (يوليو 1992). تاريخ وحالة سؤال P مقابل NP . STOC '92: وقائع ندوة ACM السنوية الرابعة والعشرين حول نظرية الحوسبة. ص.  603- 618. doi :10.1145/129712.129771. S2CID  11678884.
  46. ^ إيفالد، ويليام (17 نوفمبر 2018). "ظهور المنطق من الدرجة الأولى". موسوعة ستانفورد للفلسفة . ISSN  1095-5054. LCCN  sn97004494. OCLC  37550526. تم الاسترجاع في 14 يونيو 2024 .
  47. ^ Ferreirós, José (18 يونيو 2020) [نُشر لأول مرة في 10 أبريل 2007]. "التطور المبكر لنظرية المجموعات". موسوعة ستانفورد للفلسفة . ISSN  1095-5054. LCCN  sn97004494. OCLC  37550526. تم الاسترجاع في 14 يونيو 2024 .
  48. ^ فيريروس ، خوسيه (ديسمبر 2001). “الطريق إلى المنطق الحديث – تفسير” (PDF) . نشرة المنطق الرمزي . 7 (4): 441-484 . دوى :10.2307 / 2687794. إيسن  1943-5894. اتش دي ال :11441/38373. ردمك  1079-8986. جستور  2687794.LCCN 95652899.OCLC 31616719.S2CID 43258676 . ​ ​ ​ تم الاسترجاع في 14 يونيو 2024 .
  49. ^ Wolchover, Natalie , ed. (26 نوفمبر 2013). "الخلاف حول اللانهاية يفرق بين علماء الرياضيات". مجلة Quanta . تم الاسترجاع في 14 يونيو 2024 .
  50. ^ تشوانغ، تشاوهوي. "تحليل فيتجنشتاين لحجة كانتور القطرية" (DOC) . PhilArchive . تم الاسترجاع في 14 يونيو 2024 .
  51. ^ تانسويل، فينر ستانلي (2024). الدقة الرياضية والإثبات غير الرسمي . عناصر كامبريدج في فلسفة الرياضيات. مطبعة جامعة كامبريدج . doi :10.1017/9781009325110. eISSN  2399-2883. ISBN 978-1-00-949438-0. ISSN  2514-3808. OCLC  1418750041.
  52. ^ أفيغاد، جيريمي ؛ ريك، إيريك هـ. (11 ديسمبر 2001). ""توضيح طبيعة اللانهائي": تطور الميتاماثماتيكا ونظرية الإثبات"" (PDF) . جامعة كارنيجي ميلون . تم الاسترجاع في 14 يونيو 2024 .
  53. ^ هاملتون، آلان ج. (1982). الأعداد والمجموعات والمسلمات: جهاز الرياضيات. مطبعة جامعة كامبريدج. ص  3-4 . ISBN 978-0-521-28761-6تم الاسترجاع في 12 نوفمبر 2022 .
  54. ^ سنابر، إرنست (سبتمبر 1979). "الأزمات الثلاث في الرياضيات: المنطقية والحدسية والشكلية". مجلة الرياضيات . 52 (4): 207- 216. doi :10.2307/2689412. ISSN  0025-570X. JSTOR  2689412.
  55. ^ ab Raatikainen, Panu (أكتوبر 2005). "حول الأهمية الفلسفية لنظريات عدم اكتمال جودل". Revue Internationale de Philosophie . 59 (4): 513– 534. doi :10.3917/rip.234.0513. JSTOR  23955909. S2CID  52083793. مؤرشف من الأصل في 12 نوفمبر 2022. تم الاسترجاع في 12 نوفمبر 2022 .
  56. ^ موسكوفاكيس، جوان (4 سبتمبر 2018). "المنطق الحدسي". موسوعة ستانفورد للفلسفة . مؤرشف من الأصل في 16 ديسمبر 2022. تم الاسترجاع في 12 نوفمبر 2022 .
  57. ^ مكارتي ، تشارلز (2006). “في قلب التحليل: الحدس والفلسفة”. الفلسفة العلمية، Cahier spécial 6 : 81– 94. دوى : 10.4000/philosophiascientiae.411 .
  58. ^ هالبيرن، جوزيف ؛ هاربر، روبرت ؛ إيميرمان، نيل ؛ كولايتيس، فوكيون ؛ فاردي، موشيه ؛ فيانو، فيكتور (2001). "حول الفعالية غير العادية للمنطق في علوم الكمبيوتر" (PDF) . مؤرشف من الأصل (PDF) في 3 مارس 2021. تم الاسترجاع في 15 يناير 2021 .
  59. ^ Rouaud, Mathieu (أبريل 2017) [نُشر لأول مرة في يوليو 2013]. الاحتمالية والإحصاء والتقدير (PDF) . ص. 10. مؤرشف (PDF) من الأصل في 9 أكتوبر 2022. تم الاسترجاع في 13 فبراير 2024 .
  60. ^ راو، سي رادها كريشنا (1997) [1989]. الإحصاءات والحقيقة: توظيف الفرصة (الطبعة الثانية). مجلة وورلد ساينتيفيك. ص  3-17 ، 63-70 . رقم ISBN 981-02-3111-3. LCCN  97010349. MR  1474730. OCLC  36597731.
  61. ^ راو، سي. رادها كريشنا (1981). "مقدمة". في أرثاناري، تي إس؛ دودج، يادولاه (المحرران). البرمجة الرياضية في الإحصاء . سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاء الرياضي. نيويورك: وايلي. ص.  7-8 . رقم ISBN 978-0-471-08073-2. LCCN  80021637. MR  0607328. OCLC  6707805.
  62. ^ ويتل 1994، ص 10-11، 14-18.
  63. ^ Marchuk, Gurii Ivanovich (أبريل 2020). "GI Marchuk's plenary: ICM 1970". MacTutor . كلية الرياضيات والإحصاء، جامعة سانت أندروز، اسكتلندا. مؤرشف من الأصل في 13 نوفمبر 2022 . تم الاسترجاع في 13 نوفمبر 2022 .
  64. ^ جونسون، جاري م.؛ كافاليني، جون س. (سبتمبر 1991). فوا، كانج هوه؛ لوي، كيا فوك (المحررون). التحديات الكبرى، والحوسبة عالية الأداء، والعلوم الحاسوبية. مؤتمر الحوسبة الفائقة في سنغافورة 1990: الحوسبة الفائقة لتحقيق الميزة الاستراتيجية. مجلة وورلد ساينتيفيك. ص. 28. LCCN  91018998. تم الاسترجاع في 13 نوفمبر 2022 .
  65. ^ Trefethen, Lloyd N. (2008). "Numerical Analysis". في Gowers, Timothy ؛ Barrow-Green, June ؛ Leader, Imre (eds.). The Princeton Companion to Mathematics (PDF) . مطبعة جامعة برينستون . ص.  604– 615. ISBN 978-0-691-11880-2. LCCN  2008020450. MR  2467561. OCLC  227205932. مؤرشف من الأصل (PDF) في 7 مارس 2023. تم الاسترجاع في 15 فبراير 2024 .
  66. ^
    • كريسويل 2021، § الرياضيات
    • بيريشو 1965، ص 64
  67. ^ بيريشو ، مارغريت دبليو (ربيع 1965). “أصل أصل المصطلحات الرياضية”. مجلة بي مو إبسيلون . 4 (2): 62– 66. ISSN  0031-952X. جستور  24338341. إل سي إن  58015848. أو سي إل سي  1762376.
  68. ^ بواس، رالف ب. (1995). "ما لم يقله أوغسطين عن علماء الرياضيات". في ألكسندرسون، جيرالد ل.؛ موغلر، ديل هـ. (المحرران). صيد الأسود وأنشطة رياضية أخرى: مجموعة من الرياضيات والشعر والقصص . الرابطة الرياضية الأمريكية . ص. 257. رقم ISBN 978-0-88385-323-8. LCCN  94078313. OCLC  633018890.
  69. ^ قاموس أكسفورد لعلم أصول الكلمات الإنجليزية ، قاموس أكسفورد الإنجليزي ، تحت "رياضيات"، "رياضيات"، "رياضيات".
  70. ^ "Maths (Noun)". قاموس أكسفورد الإنجليزي . مطبعة جامعة أكسفورد . تم الاسترجاع في 25 يناير 2024 .
  71. ^ "Math (Noun³)". قاموس أكسفورد الإنجليزي . مطبعة جامعة أكسفورد . مؤرشف من الأصل في 4 أبريل 2020. تم الاسترجاع في 25 يناير 2024 .
  72. ^ انظر، على سبيل المثال، Wilder, Raymond L. Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study . في كل مكان.
  73. ^ زاسلافسكي، كلوديا (1999). أفريقيا مهمة: العدد والنمط في الثقافة الأفريقية . دار شيكاغو للنشر. رقم ISBN 978-1-61374-115-3. OCLC  843204342.
  74. ^ كلاين 1990، الفصل 1.
  75. ^ بلاد ما بين النهرين ص 10. تم الاسترجاع في 1 يونيو 2024
  76. ^ بوير 1991، "بلاد ما بين النهرين" ص 24-27.
  77. ^ هيث، توماس ليتل (1981) [1921]. تاريخ الرياضيات اليونانية: من طاليس إلى إقليدس . نيويورك: منشورات دوفر. ص. 1. ISBN 978-0-486-24073-2.
  78. ^ مولر، آي. (1969). "عناصر إقليدس والمنهج البديهي". المجلة البريطانية لفلسفة العلوم . 20 (4): 289-309 . doi :10.1093/bjps/20.4.289. ISSN  0007-0882. JSTOR  686258.
  79. ^ بوير 1991، "إقليدس الإسكندري" ص 119.
  80. ^ بوير 1991، "أرخميدس السيراكيوزي" ص 120.
  81. ^ بوير 1991، "أرخميدس السيراكيوزي" ص 130.
  82. ^ بوير 1991، "أبولونيوس البيرجي" ص 145.
  83. ^ بوير 1991، "المثلثات اليونانية والقياس" ص 162.
  84. ^ بوير 1991، "إحياء وتراجع الرياضيات اليونانية"، ص 180.
  85. ^ أور، أويستين (1988). نظرية الأعداد وتاريخها. كورير كوربوريشن. ص  19-24 . ISBN 978-0-486-65620-5تم الاسترجاع في 14 نوفمبر 2022 .
  86. ^ سينغ، إيه إن (يناير 1936). "حول استخدام المتسلسلات في الرياضيات الهندوسية". أوزوريس . 1 : 606– 628. doi :10.1086/368443. JSTOR  301627. S2CID  144760421.
  87. ^ كولاشانا، أ.؛ ماهيش، ك.؛ راماسوبرامانيان، ك. (2019). "استخدام السلاسل في الهند". دراسات في الرياضيات والفلك الهندي . المصادر والدراسات في تاريخ الرياضيات والعلوم الفيزيائية. سنغافورة: سبرينغر. ص.  438-461 . doi :10.1007/978-981-13-7326-8_20. ISBN 978-981-13-7325-1. S2CID  190176726.
  88. ^ صليبا، جورج (1994). تاريخ علم الفلك العربي: النظريات الكوكبية خلال العصر الذهبي للإسلام . مطبعة جامعة نيويورك. ISBN 978-0-8147-7962-0. OCLC  28723059.
  89. ^ فاروقي، ياسمين م. (2006). "مساهمات العلماء المسلمين في المشروع العلمي". مجلة التعليم الدولي . 7 (4). دار نشر شانون للأبحاث: 391- 399. مؤرشف من الأصل في 14 نوفمبر 2022. تم الاسترجاع في 14 نوفمبر 2022 .
  90. ^ لورش، ريتشارد (يونيو 2001). "اليونانية-العربية-اللاتينية: انتقال النصوص الرياضية في العصور الوسطى" (PDF) . العلوم في سياقها . 14 ( 1-2 ). مطبعة جامعة كامبريدج: 313-331 . doi :10.1017/S0269889701000114. S2CID  146539132. مؤرشف من الأصل (PDF) في 17 ديسمبر 2022. تم الاسترجاع في 5 ديسمبر 2022 .
  91. ^ كينت، بنيامين (2022). تاريخ العلوم (PDF) . المجلد 2. مكتبة بيبليوتكس الرقمية. رقم ISBN 978-1-984668-67-7.
  92. ^ أرشيبالد، رايموند كلير (يناير 1949). "تاريخ الرياضيات بعد القرن السادس عشر". المجلة الرياضية الأمريكية . الجزء 2: مخطط لتاريخ الرياضيات. 56 (1): 35– 56. doi :10.2307/2304570. JSTOR  2304570.
  93. ^ سيفريوك 2006، ص 101-109.
  94. ^ Wolfram, Stephan (October 2000). Mathematical Notation: Past and Future. MathML and Math on the Web: MathML International Conference 2000, Urbana Champaign, USA. مؤرشف من الأصل في 16 نوفمبر 2022. تم الاسترجاع في 3 فبراير 2024 .
  95. ^ دوغلاس، هيذر؛ هيدلي، مارسيا جيل؛ هادن، ستيفاني؛ ليفيفر، جو آن (3 ديسمبر 2020). "معرفة الرموز الرياضية تتجاوز الأرقام". مجلة الإدراك العددي . 6 (3): 322-354 . doi : 10.5964/jnc.v6i3.293 . eISSN  2363-8761. S2CID  228085700.
  96. ^ Letourneau, Mary; Wright Sharp, Jennifer (October 2017). "AMS Style Guide" (PDF) . الجمعية الرياضية الأمريكية . ص. 75. مؤرشف من الأصل (PDF) في 8 ديسمبر 2022. تم الاسترجاع في 3 فبراير 2024 .
  97. ^ جانسن، أنتوني ر.؛ ماريوت، كيم؛ ييلاند، جريج دبليو. (2000). "البنية التأسيسية في التعبيرات الرياضية" ( PDF) . وقائع الاجتماع السنوي لجمعية العلوم الإدراكية . 22. جامعة كاليفورنيا ميرسيد . eISSN  1069-7977. OCLC  68713073. مؤرشف من الأصل (PDF) في 16 نوفمبر 2022. تم الاسترجاع في 3 فبراير 2024 .
  98. ^ روسي، ريتشارد جيه. (2006). النظريات، والمبررات، والمبرهنات، وطرق الإثبات . الرياضيات البحتة والتطبيقية: سلسلة وايلي من النصوص، والرسائل، والدراسات. جون وايلي وأولاده . ص  1-14 ، 47-48 . رقم ISBN 978-0-470-04295-3. LCCN  2006041609. OCLC  64085024.
  99. ^ "أقدم استخدامات بعض كلمات الرياضيات". MacTutor . اسكتلندا، المملكة المتحدة: جامعة سانت أندروز . مؤرشف من الأصل في 29 سبتمبر 2022. تم الاسترجاع في 3 فبراير 2024 .
  100. ^ سيلفر، دانييل س. (نوفمبر-ديسمبر 2017). "اللغة الجديدة للرياضيات". العالم الأمريكي . 105 (6). سيجما إكس آي : 364-371 . doi : 10.1511/2017.105.6.364 . ISSN  0003-0996. LCCN  43020253. OCLC  1480717. S2CID  125455764.
  101. ^ بيلومو، نيكولا؛ بريزيوسي، لويجي (22 ديسمبر 1994). نمذجة الأساليب الرياضية والحوسبة العلمية. النمذجة الرياضية. المجلد 1. مطبعة سي آر سي. ص 1. رقم ISBN 978-0-8493-8331-1تم الاسترجاع في 16 نوفمبر 2022 .
  102. ^ هينينج، كريستيان (2010). "النماذج الرياضية والواقع: منظور بنائي". أساسيات العلوم . 15 : 29– 48. doi :10.1007/s10699-009-9167-x. S2CID  6229200. تم الاسترجاع في 17 نوفمبر 2022 .
  103. ^ فريج، رومان ؛ هارتمان، ستيفان (4 فبراير 2020). "النماذج في العلوم". موسوعة ستانفورد للفلسفة . مؤرشف من الأصل في 17 نوفمبر 2022. تم الاسترجاع في 17 نوفمبر 2022 .
  104. ^ ستيوارت، إيان (2018). "الرياضيات والخرائط والنماذج". في ووبولوري، شيام؛ دوريا، فرانسيسكو أنطونيو (المحررون). الخريطة والإقليم: استكشاف أسس العلم والفكر والواقع . مجموعة فرونتيرز. سبرينغر. ص.  345- 356. doi :10.1007/978-3-319-72478-2_18. ISBN 978-3-319-72478-2تم الاسترجاع في 17 نوفمبر 2022 .
  105. ^ "قائمة التحقق العلمية المطبقة: الرياضيات". فهم العلوم . جامعة كاليفورنيا، بيركلي. مؤرشف من الأصل في 27 أكتوبر 2019. تم الاسترجاع في 27 أكتوبر 2019 .
  106. ^ ماكاي، آل (1991). قاموس الاقتباسات العلمية. لندن: تايلور وفرانسيس. ص 100. ISBN 978-0-7503-0106-0تم الاسترجاع في 19 مارس 2023 .
  107. ^ بيشوب، آلان (1991). "الأنشطة البيئية والثقافة الرياضية". التثاقف الرياضي: منظور ثقافي لتعليم الرياضيات . نورويل، ماساتشوستس: دار نشر كلوير الأكاديمية. ص  20-59 . ISBN 978-0-7923-1270-3تم الاسترجاع في 5 أبريل 2020 .
  108. ^ شاشا، دينيس إليوت ؛ لازير، كاثي أ. (1998). خارج نطاق عقولهم: حياة واكتشافات 15 عالم كمبيوتر عظيم . سبرينغر. ص. 228. ISBN 978-0-387-98269-4.
  109. ^ نيكلز، توماس (2013). "مشكلة الترسيم". فلسفة العلوم الزائفة: إعادة النظر في مشكلة الترسيم . شيكاغو: مطبعة جامعة شيكاغو. ص. 104. ISBN 978-0-226-05182-6.
  110. ^ بيجليوتشي، ماسيمو (2014). "هل هناك طرق أخرى للمعرفة؟". الفلسفة الآن . مؤرشف من الأصل في 13 مايو 2020. تم الاسترجاع في 6 أبريل 2020 .
  111. ^ أب فيريروس، J. (2007). “Θεὸς Άριθμητίζει: صعود الرياضيات البحتة كحساب مع غاوس”. في جولدشتاين, كاثرين ; شاباخر، نوربرت. شويرمر، يواكيم (محرران). تشكيل الحساب بعد CF غاوس Disquisitiones Arithmeticae . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. ص  235 – 268. ISBN 978-3-540-34720-0.
  112. ^ Kuhn, Thomas S. (1976). "التقاليد الرياضية مقابل التجريبية في تطوير العلوم الفيزيائية". مجلة التاريخ متعدد التخصصات . 7 (1). مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا: 1– 31. doi :10.2307/202372. JSTOR  202372.
  113. ^ Asper, Markus (2009). "The two cultures of mathematical cultures in ancient Greece". في Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline (eds.). The Oxford Handbook of the History of Mathematics . Oxford Handbooks in Mathematics. OUP Oxford. ص  107– 132. ISBN 978-0-19-921312-2تم الاسترجاع في 18 نوفمبر 2022 .
  114. ^ جوزوامي، بينكيماني؛ سينغ، مادان موهان (2019). "مشكلة تحليل العوامل الصحيحة". في أحمد، خليل؛ دوجا، إم إن؛ أودزير، نور إيزورا؛ سينغ، مانو براتاب (المحررون). خوارزميات وتقنيات الأمن الناشئة . مطبعة سي آر سي. ص  59-60 . رقم ISBN 978-0-8153-6145-9. LCCN  2019010556. OCLC  1082226900.
  115. ^ Maddy, P. (2008). "How applied mathematical becoming pure" (PDF) . The Review of Symbolic Logic . 1 (1): 16– 41. doi :10.1017/S1755020308080027. S2CID  18122406. مؤرشف من الأصل (PDF) في 12 أغسطس 2017. تم الاسترجاع في 19 نوفمبر 2022 .
  116. ^ سيلفر، دانييل س. (2017). "في الدفاع عن الرياضيات البحتة". في بيتيسي، ميرسيا (المحرر). أفضل كتابات عن الرياضيات، 2016. مطبعة جامعة برينستون. ص  17-26 . ISBN 978-0-691-17529-4تم الاسترجاع في 19 نوفمبر 2022 .
  117. ^ بارشال، كارين هانجر (2022). "الجمعية الرياضية الأمريكية والرياضيات التطبيقية من عشرينيات القرن العشرين إلى خمسينيات القرن العشرين: رواية منقحة". نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 59 (3): 405-427 . doi : 10.1090/bull/1754 . S2CID  249561106. مؤرشف من الأصل في 20 نوفمبر 2022. تم الاسترجاع في 20 نوفمبر 2022 .
  118. ^ ستولز، مايكل (2002). "تاريخ الرياضيات التطبيقية وتاريخ المجتمع". Synthese . 133 : 43– 57. doi :10.1023/A:1020823608217. S2CID  34271623. تم الاسترجاع في 20 نوفمبر 2022 .
  119. ^ لين، سي سي. (مارس 1976). "حول دور الرياضيات التطبيقية". التقدم في الرياضيات . 19 (3): 267- 288. doi : 10.1016/0001-8708(76)90024-4 .
  120. ^ بيريسيني، أنتوني (سبتمبر 1999). تطبيق الرياضيات البحتة (PDF) . فلسفة العلوم. وقائع الاجتماعات الثنائية السنوية لجمعية فلسفة العلوم لعام 1998. الجزء الأول: الأوراق المقدمة. المجلد 66. ص.  S1 – S13 . JSTOR  188757. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2 يناير 2024. تم الاسترجاع في 30 نوفمبر 2022 .
  121. ^ لوتزن، ج. (2011). "أمثلة وتأملات حول التفاعل بين الرياضيات والفيزياء في القرن التاسع عشر والعشرين". في شلوتي، كيه إتش؛ شنايدر، م. (المحررون). الرياضيات تلتقي بالفيزياء: مساهمة في تفاعلهما في القرن التاسع عشر والنصف الأول من القرن العشرين . فرانكفورت أم ماين: دار نشر هاري دويتش. مؤرشف من الأصل في 23 مارس 2023. تم الاسترجاع في 19 نوفمبر 2022 .
  122. ^ ماركر، ديف (يوليو 1996). "نظرية النموذج والأسس". إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 43 (7): 753– 759. مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2014. تم الاسترجاع في 19 نوفمبر 2022 .
  123. ^ تشن، تشانجبو؛ مازا، مارك مورينو (أغسطس 2014). التحلل الجبري الأسطواني في مكتبة RegularChains. المؤتمر الدولي للبرمجيات الرياضية 2014. محاضرات في علوم الكمبيوتر. المجلد 8592. برلين: سبرينغر. doi :10.1007/978-3-662-44199-2_65 . تم الاسترجاع في 19 نوفمبر 2022 .
  124. ^ بيريز إسكوبار، خوسيه أنطونيو؛ ساريكايا، دينيز (2021). "تنقية الرياضيات التطبيقية وتطبيق الرياضيات البحتة: كيف يلقي منظور فيتجنشتاين المتأخر الضوء على الثنائية". المجلة الأوروبية لفلسفة العلوم . 12 (1): 1-22 . doi : 10.1007/s13194-021-00435-9 . S2CID  245465895.
  125. ^ تاكاسي، م. (2014). "الرياضيات البحتة والرياضيات التطبيقية متشابكتان بشكل لا ينفصل: ملاحظة التحليل المبكر لللانهاية". نهج رياضي لمشاكل البحث في العلوم والتكنولوجيا . الرياضيات للصناعة. المجلد 5. طوكيو: سبرينغر. ص  393- 399. doi :10.1007/978-4-431-55060-0_29. ISBN 978-4-431-55059-4تم الاسترجاع في 20 نوفمبر 2022 .
  126. ^ ساروكاي، سوندار (10 فبراير 2005). "إعادة النظر في "الفعالية غير المعقولة" للرياضيات". مجلة العلوم الحالية . 88 (3): 415-423 . JSTOR  24110208.
  127. ^ Wagstaff, Samuel S. Jr. (2021). "History of Integer Factoring" (PDF) . في Bos, Joppe W.; Stam, Martijn (eds.). Computational Cryptography, Algorithmic Aspects of Cryptography, A Tribute to AKL . سلسلة ملاحظات محاضرات الجمعية الرياضية اللندنية 469. مطبعة جامعة كامبريدج. ص.  41– 77. مؤرشف من الأصل (PDF) في 20 نوفمبر 2022. تم الاسترجاع في 20 نوفمبر 2022 .
  128. ^ "المنحنيات: القطع الناقص". MacTutor . كلية الرياضيات والإحصاء، جامعة سانت أندروز، اسكتلندا. مؤرشف من الأصل في 14 أكتوبر 2022 . تم الاسترجاع في 20 نوفمبر 2022 .
  129. ^ موكونث، فاسوديفان (10 سبتمبر 2015). "وراء سطح نظرية النسبية لأينشتاين توجد هندسة خيالية". ذا واير . مؤرشف من الأصل في 20 نوفمبر 2022. تم الاسترجاع في 20 نوفمبر 2022 .
  130. ^ ويلسون، إدوين ب.؛ لويس، جيلبرت ن. (نوفمبر 1912). "المتعدد المكاني الزمني للنسبية. الهندسة غير الإقليدية للميكانيكا والكهرومغناطيسية". وقائع الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم . 48 (11): 389- 507. doi :10.2307/20022840. JSTOR  20022840.
  131. ^ abc Borel, Armand (1983). "Mathematics: Art and Science". The Mathematical Intelligencer . 5 (4). Springer: 9– 17. doi : 10.4171/news/103/8 . ISSN  1027-488X.
  132. ^ هانسون، نوروود راسل (نوفمبر 1961). "اكتشاف البوزيترون (I)". المجلة البريطانية لفلسفة العلوم . 12 (47). مطبعة جامعة شيكاغو: 194- 214. doi :10.1093/bjps/xiii.49.54. JSTOR  685207.
  133. ^ Ginammi, Michele (فبراير 2016). "تجنب التشييء: الفعالية الاستدلالية للرياضيات والتنبؤ بجسيم Ω " . دراسات في تاريخ وفلسفة العلوم الجزء ب: دراسات في تاريخ وفلسفة الفيزياء الحديثة . 53 : 20– 27. Bibcode :2016SHPMP..53...20G. doi :10.1016/j.shpsb.2015.12.001.
  134. ^ واغ ، سانجاي موشوار. ديشباندي ، ديليب عباسهب (27 سبتمبر 2012). أساسيات الفيزياء. فاي التعلم الجندي. المحدودة ص. 3. رقم ISBN 978-81-203-4642-0تم الاسترجاع في 3 يناير 2023 .
  135. ^ عطية، مايكل (1990). حول عمل إدوارد ويتن (PDF) . وقائع المؤتمر الدولي للرياضيين. ص. 31. مؤرشف من الأصل (PDF) في 28 سبتمبر 2013. تم الاسترجاع في 29 ديسمبر 2022 .
  136. ^ "دورة 18ج في الرياضيات مع علوم الكمبيوتر". math.mit.edu . تم الاسترجاع في 1 يونيو 2024 .
  137. ^ "علوم الكمبيوتر النظرية". math.mit.edu . تم الاسترجاع في 1 يونيو 2024 .
  138. ^ "تطبيقات الرياضيات المنفصلة في الحياة الواقعية". GeeksforGeeks . 8 أبريل 2024 . تم الاسترجاع في 19 مايو 2024 .
  139. ^ هيلز، توماس؛ آدامز، مارك؛ باور، جيرترود؛ دانج، تات دات؛ هاريسون، جون؛ هوانج، لي ترونج؛ كاليزيك، سيزاري؛ ماجرون، فيكتور؛ ماكلولين، شون؛ نجوين، تات ثانج؛ نجوين، كوانج ترونج؛ نيبكو، توبياس؛ أوبوا، ستيفن؛ بليسو، جوزيف؛ روت، جيسون؛ سولوفييف، أليكسي؛ تا، ثي هواي آن؛ تران، نام ترونج؛ تريو، ثي ديب؛ أوربان، جوزيف؛ فو، كي؛ زومكيلر، رولاند (2017). "إثبات رسمي لتخمين كبلر". منتدى الرياضيات، باي . 5 : e2. doi :10.1017/fmp.2017.1. hdl : 2066/176365 . ISSN  2050-5086. S2CID  216912822. تم أرشفة النسخة الأصلية في 4 ديسمبر 2020. تم الاسترجاع 25 فبراير 2023 .
  140. ^ abc Millstein, Roberta (8 سبتمبر 2016). "الاحتمالية في علم الأحياء: حالة اللياقة البدنية" (PDF) . في Hájek, Alan; Hitchcock, Christopher (eds.). The Oxford Handbook of Probability and Philosophy . ص.  601– 622. doi :10.1093/oxfordhb/9780199607617.013.27. مؤرشف من الأصل (PDF) في 7 مارس 2023. تم الاسترجاع في 29 ديسمبر 2022 .
  141. ^ انظر على سبيل المثال Anne Laurent, Roland Gamet, Jérôme Pantel, Tendances nouvelles en modélisation pour l'environnement, actes du congrès «Programme Environmental, vie et sociétés» 15-17 يناير 1996، CNRS
  142. ^ بوليو 1999، ص 282-283.
  143. ^ بولو 1999، ص 285.
  144. ^ "1.4: نموذج المفترس والفريسة لوتكا-فولتيرا". Mathematics LibreTexts . 5 يناير 2022. مؤرشف من الأصل في 29 ديسمبر 2022. تم الاسترجاع في 29 ديسمبر 2022 .
  145. ^ سالسبورج، ديفيد (17 أغسطس 1992). "التعليق" (PDF) . استخدام الأساليب الإحصائية في تحليل الدراسات السريرية . 46 : 17.
  146. ^ المجلس القومي للبحوث (2003). "8". ما وراء الحدود الجزيئية: التحديات التي تواجه الكيمياء والهندسة الكيميائية. NAP.edu. ص  71-73 . doi :10.17226/10633. ISBN 978-0-309-16839-7. PMID  25032300.
  147. ^ "نماذج الكارثة (الخاصية)". content.naic.org . تم الاسترجاع في 19 مايو 2024 .
  148. ^ "MAM2001 Essay". ww2.amstat.org . تم الاسترجاع في 19 مايو 2024 .
  149. ^ هيل، موليكا (7 سبتمبر 2022). "كيف تُستخدم الرياضيات في التنبؤ بالطقس". mathnasium.com . تم الاسترجاع في 19 مايو 2024 .
  150. ^ "استخدام النماذج الرياضية للتحقيق في قابلية الكواكب للسكن" (PDF) . ناسا . تم الاسترجاع في 19 مايو 2024 .
  151. ^ إدلينج، كريستوفر ر. (2002). "الرياضيات في علم الاجتماع". المراجعة السنوية لعلم الاجتماع . 28 (1): 197– 220. doi :10.1146/annurev.soc.28.110601.140942. ISSN  0360-0572.
  152. ^ باتشيلدر، ويليام هـ. (1 يناير 2015). "علم النفس الرياضي: التاريخ". في رايت، جيمس د. (المحرر). الموسوعة الدولية للعلوم الاجتماعية والسلوكية (الطبعة الثانية) . أكسفورد: إلسفير. ص  808- 815. رقم ISBN 978-0-08-097087-5تم الاسترجاع في 30 سبتمبر 2023 .
  153. ^ ab Zak, Paul J. (2010). Moral Markets: The Critical Role of Values ​​in the Economy. Princeton University Press. p. 158. ISBN 978-1-4008-3736-6تم الاسترجاع في 3 يناير 2023 .
  154. ^ ليفين، جوناثان؛ ميلجروم، بول (سبتمبر 2004). مقدمة إلى نظرية الاختيار (PDF) .
  155. ^ كريمر، مايكل؛ راو، جوتام؛ شيلباخ، فرانك (2019). "الفصل الخامس في اقتصاديات التنمية السلوكية". دليل الاقتصاد السلوكي: التطبيقات والأسس (PDF) . المجلد 2.
  156. ^ "الرياضيات". mdpi.com .
  157. ^ "Kondratiev, Nikolai Dmitrievich | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com . مؤرشف من الأصل في 1 يوليو 2016 . تم الاسترجاع 29 ديسمبر 2022 .
  158. ^ “Mathématique de l’histoire-geometrie et cinématique. لويس دي بروك. Chronologie géodésique de la Bible.، بقلم تشارلز لاغرانج وآخرون. | صفحة الكتب على الإنترنت “. onlinebooks.library.upenn.edu .
  159. ^ "Cliodynamics: a science for prediction the future". ZDNet. مؤرشف من الأصل في 29 ديسمبر 2022. تم الاسترجاع في 29 ديسمبر 2022 .
  160. ^ سوكال، آلان ؛ جان بريكمونت (1998). هراء عصري. نيويورك: بيكادور. رقم ISBN 978-0-312-19545-8. OCLC  39605994.
  161. ^ "إحصائيات البطالة المضللة التي قدمها بايدن – FactCheck.org".
  162. ^ "النماذج الاقتصادية الكلية الحديثة كأدوات للسياسة الاقتصادية | بنك الاحتياطي الفيدرالي في مينيابوليس". minneapolisfed.org .
  163. ^ Balaguer, Mark (2016). "Platonism in Metaphysics". في Zalta, Edward N. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة ربيع 2016). مختبر أبحاث الميتافيزيقيا، جامعة ستانفورد. مؤرشف من الأصل في 30 يناير 2022. تم الاسترجاع في 2 أبريل 2022 .
  164. ^ انظر وايت، ل. (1947). "موضع الواقع الرياضي: حاشية أنثروبولوجية". فلسفة العلوم . 14 (4): 289- 303. doi :10.1086/286957. S2CID  119887253. 189303؛كما هو الحال في نيومان، جونيور (1956). عالم الرياضيات . المجلد 4. نيويورك: سايمون وشوستر. ص  2348- 2364.
  165. ^ دوراتو، ماورو (2005). "لماذا القوانين رياضية؟" (PDF) . برمجيات الكون، مقدمة لتاريخ وفلسفة قوانين الطبيعة . أشجيت. ص  31- 66. ISBN 978-0-7546-3994-7. مؤرشف من الأصل (PDF) في 17 أغسطس 2023 . تم الاسترجاع 5 ديسمبر 2022 .
  166. ^ مورا، روبرتا (ديسمبر 1993). "صور الرياضيات التي يحملها مدرسو العلوم الرياضية في الجامعات". دراسات تعليمية في الرياضيات . 25 (4): 375- 85. doi :10.1007/BF01273907. JSTOR  3482762. S2CID  122351146.
  167. ^ توبيز، ريناتي ؛ نونزيرت، هيلموت (2012). إيريس رونجي: حياة عند مفترق طرق الرياضيات والعلوم والصناعة. سبرينغر. ص. 9. ISBN 978-3-0348-0229-1. تم الاسترجاع في 20 يونيو 2015. [من] الضروري أولاً أن نسأل ما المقصود بالرياضيات بشكل عام. لقد ناقش علماء بارزون هذه المسألة حتى تحولوا إلى اللون الأزرق في وجوههم، ومع ذلك لم يتم التوصل إلى إجماع حول ما إذا كانت الرياضيات علمًا طبيعيًا، أو فرعًا من العلوم الإنسانية، أو شكلًا فنيًا.
  168. ^ زيجلر، غونتر م .؛ لوس، أندرياس (2 نوفمبر 2017). كايزر، ج. (محرر). "ما هي الرياضيات؟" ولماذا يجب أن نسأل، وأين يجب أن نختبر ونتعلم ذلك، وكيف ندرسه . وقائع المؤتمر الدولي الثالث عشر للتعليم الرياضي. دراسات ICME-13. سبرينغر. ص.  63-77 . doi :10.1007/978-3-319-62597-3_5. ISBN 978-3-319-62596-6.(القسمان "ما هي الرياضيات؟" و"ما هي الرياضيات حقًا؟")
  169. ^ مورا 1993، ص 379، 381.
  170. ^ براون وبورتر 1995، ص 326.
  171. ^ شتراوس، داني (2011). "تعريف الرياضيات". Acta Academica . 43 (4): 1– 28. تم الاسترجاع في 25 نوفمبر 2022 .
  172. ^ فرانكلين، جيمس (2009). فلسفة الرياضيات. إلسفير. ص  104- 106. ISBN 978-0-08-093058-9تم الاسترجاع بتاريخ 20 يونيو 2015 .
  173. ^ كاجوري، فلوريان (1893). تاريخ الرياضيات. الجمعية الرياضية الأمريكية (إعادة طبع عام 1991). ص  285- 286. رقم ISBN 978-0-8218-2102-2تم الاسترجاع بتاريخ 20 يونيو 2015 .
  174. ^ ديفلين 2018، ص 3.
  175. ^ Saunders Maclane (1986). الرياضيات، الشكل والوظيفة . Springer.، الصفحة 409
  176. ^ براون، رونالد ؛ بورتر، تيموثي (1995). "منهجية الرياضيات". الجريدة الرياضية . 79 (485): 321– 334. doi :10.2307/3618304. JSTOR  3618304. S2CID  178923299. مؤرشف من الأصل في 23 مارس 2023. تم الاسترجاع في 25 نوفمبر 2022 .
  177. ^ Hamami, Yacin (يونيو 2022). "الدقة والبرهان الرياضي" (PDF) . مراجعة المنطق الرمزي . 15 (2): 409– 449. doi :10.1017/S1755020319000443. S2CID  209980693. مؤرشف من الأصل (PDF) في 5 ديسمبر 2022. تم الاسترجاع في 21 نوفمبر 2022 .
  178. ^ بيترسون 1988، ص 4: "يشكو البعض من عدم إمكانية التحقق من صحة برنامج الكمبيوتر بشكل صحيح." (في إشارة إلى دليل هاكين-أبل لنظرية الألوان الأربعة )
  179. ^ بيرمينوف، ف. يا. (1988). "حول موثوقية البراهين الرياضية". فلسفة الرياضيات . 42 (167 (4)). المجلة الدولية للفلسفة: 500- 508.
  180. ^ ديفيس، جون د.؛ ماكدوفي، إيمي روث؛ دريك، كوري؛ سيويل، أماندا ل. (2019). "تصورات المعلمين للمناهج الرسمية: حل المشكلات والدقة". المجلة الدولية للبحوث التربوية . 93 : 91– 100. doi :10.1016/j.ijer.2018.10.002. S2CID  149753721.
  181. ^ Endsley, Kezia (2021). علماء الرياضيات والإحصاء: دليل عملي للمهنة. أدلة عملية للمهنة. Rowman & Littlefield. ص.  1- 3. ISBN 978-1-5381-4517-3تم الاسترجاع في 29 نوفمبر 2022 .
  182. ^ روبسون، إليانور (2009). "تعليم الرياضيات في مدرسة كتابية بابلية قديمة". في روبسون، إليانور؛ ستيدال، جاكلين (المحرران). دليل أكسفورد لتاريخ الرياضيات . مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 978-0-19-921312-2تم الاسترجاع في 24 نوفمبر 2022 .
  183. ^ برنارد، ألان؛ بروست، كريستين ؛ روس، ميكا (2014). "تعليم الرياضيات في العصور القديمة". في كارب، أ.؛ شوبرينغ، ج. (المحررون). دليل تاريخ تعليم الرياضيات . نيويورك: سبرينغر. ص.  27-53 . doi :10.1007/978-1-4614-9155-2_3. ISBN 978-1-4614-9154-5.
  184. ^ دودلي، أندروود (أبريل 2002). "أول كتاب مدرسي للرياضيات في العالم". آفاق الرياضيات . 9 (4). تايلور وفرانسيس، المحدودة: 8-11 . doi :10.1080/10724117.2002.11975154. JSTOR  25678363. S2CID  126067145.
  185. ^ Subramarian, F. Indian pedagogy and problem solving in ancient Thamizhakam (PDF) . مؤتمر تاريخ وتربية الرياضيات، 16-20 يوليو 2012. مؤرشف من الأصل (PDF) في 28 نوفمبر 2022. تم الاسترجاع في 29 نوفمبر 2022 .
  186. ^ Siu, Man Keung (2004). "المنهج الرسمي في الرياضيات في الصين القديمة: كيف يدرس المرشحون للامتحان؟". كيف يتعلم الصينيون الرياضيات (PDF) . سلسلة تعليم الرياضيات. المجلد 1. ص  157- 185. doi :10.1142/9789812562241_0006. ISBN 978-981-256-014-8تم الاسترجاع في 26 نوفمبر 2022 .
  187. ^ جونز، فيليب س. (1967). "تاريخ التعليم الرياضي". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 74 (1). تايلور وفرانسيس، المحدودة: 38-55 . doi :10.2307/2314867. JSTOR  2314867.
  188. ^ Schubring, Gert; Furinghetti, Fulvia; Siu, Man Keung (August 2012). "مقدمة: تاريخ تدريس الرياضيات. مؤشرات لعمليات التحديث في المجتمعات". ZDM Mathematics Education . 44 (4): 457– 459. doi : 10.1007/s11858-012-0445-7 . S2CID  145507519.
  189. ^ فون دافييه، ماتياس؛ فوي، بيير؛ مارتن، مايكل أو؛ موليس، إينا في إس (2020). "فحص الاختلافات بين بيانات eTIMSS وبيانات الجسر بين الدول: نظرة على تأثيرات طريقة الإدارة على مستوى الدولة". نتائج TIMSS الدولية لعام 2019 في الرياضيات والعلوم (PDF) . مركز الدراسات الدولية TIMSS و PIRLS ، كلية لينش للتعليم والتنمية البشرية والرابطة الدولية لتقييم التحصيل التعليمي . ص. 13.1. ISBN 978-1-889938-54-7. مؤرشف من الأصل (PDF) في 29 نوفمبر 2022. تم الاسترجاع 29 نوفمبر 2022 .
  190. ^ Rowan-Kenyon, Heather T.; Swan, Amy K.; Creager, Marie F. (March 2012). "Social Cognitive Factors, Support, and Engagement: Early Adolescents' Math Interests as Precursors to Choice of Career" (PDF) . مجلة التنمية المهنية . 60 (1): 2– 15. doi :10.1002/j.2161-0045.2012.00001.x. مؤرشف من الأصل (PDF) في 22 نوفمبر 2023. تم الاسترجاع في 29 نوفمبر 2022 .
  191. ^ لوتنبرجر، سيلك؛ ويمر، سيجريد؛ بايشتر، مانويلا (2018). "التركيز على قلق الرياضيات". أبحاث علم النفس وإدارة السلوك . 11 : 311– 322. doi : 10.2147/PRBM.S141421 . PMC 6087017. PMID  30123014 . 
  192. ^ يافتيان، نرجس (2 يونيو 2015). "نظرة عامة على العمليات الإبداعية لدى علماء الرياضيات". Procedia – Social and Behavioral Sciences . 191 : 2519– 2525. doi : 10.1016/j.sbspro.2015.04.617 .
  193. ^ نجفيخاه، مهدي؛ يافتيان، نرجس (10 أكتوبر 2013). "واجهة الإبداع والإبداع الرياضي". وقائع العلوم الاجتماعية والسلوكية . 90 : 344– 350. doi : 10.1016/j.sbspro.2013.07.101 .
  194. ^ van der Poorten, A. (1979). "دليل على أن أويلر أخطأ... دليل أبيري لعدم منطقية ζ(3)" (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 1 (4): 195– 203. doi :10.1007/BF03028234. S2CID  121589323. مؤرشف من الأصل (PDF) في 6 سبتمبر 2015. تم الاسترجاع في 22 نوفمبر 2022 .
  195. ^ بيتكوفي ، ميودراغ (2 سبتمبر 2009). الألغاز الشهيرة لعلماء الرياضيات العظماء. جمعية الرياضيات الأمريكية. الصفحات  من الثالث عشر إلى الرابع عشر. رقم ISBN 978-0-8218-4814-2تم الاسترجاع في 25 نوفمبر 2022 .
  196. ^ هاردي، جي إتش (1940). اعتذار عالم رياضيات. مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-42706-7تم الاسترجاع في 22 نوفمبر 2022 .انظر أيضًا اعتذار عالم رياضيات .
  197. ^ ألون ، نوجا. غولدستون، دان؛ ساركوزي، أندراس؛ زابادوس، جوزيف؛ تننباوم، جيرالد؛ جارسيا، ستيفان رامون؛ شوميكر ، ايمي ل. (مارس 2015). اللادي، كريشناسوامي؛ كرانتز، ستيفن ج. (محرران). “تأملات في بول إردوس في الذكرى المئوية لميلاده، الجزء الثاني”. إشعارات جمعية الرياضيات الأمريكية . 62 (3): 226-247 . دوى : 10.1090 / noti1223 .
  198. ^ انظر، على سبيل المثال، تصريح برتراند راسل "إن الرياضيات، إذا نظرنا إليها بشكل صحيح، لا تمتلك الحقيقة فحسب، بل تمتلك الجمال الأعظم ..." في كتابه تاريخ الفلسفة الغربية . 1919. ص 60.
  199. ^ كازدن، نورمان (أكتوبر 1959). "الفواصل الموسيقية ونسب الأعداد البسيطة". مجلة البحوث في تعليم الموسيقى . 7 (2): 197– 220. doi :10.1177/002242945900700205. JSTOR  3344215. S2CID  220636812.
  200. ^ Budden, FJ (أكتوبر 1967). "الرياضيات والموسيقى الحديثة". الجريدة الرياضية . 51 (377). مطبعة جامعة كامبريدج ({CUP}): 204– 215. doi :10.2307/3613237. JSTOR  3613237. S2CID  126119711.
  201. ^ Enquist, Magnus; Arak, Anthony (November 1994). "Symmetry, beauty and evolution". Nature . 372 (6502): 169– 172. Bibcode :1994Natur.372..169E. doi :10.1038/372169a0. ISSN  1476-4687. PMID  7969448. S2CID  4310147. مؤرشف من الأصل في 28 ديسمبر 2022. تم الاسترجاع في 29 ديسمبر 2022 .
  202. ^ هيستينس، ديفيد (1999). “مجموعات التماثل” (PDF) .
  203. ^ بندر، سارة (سبتمبر 2020). "اختبار رورشاخ". في كاردوتشي، برناردو جيه.؛ ناف، كريستوفر إس.؛ ميو، جيفري إس.؛ ريجيو، رونالد إي. (المحررون). موسوعة وايلي للشخصية والاختلافات الفردية: القياس والتقييم . وايلي. ص.  367- 376. doi :10.1002/9781119547167.ch131. ISBN 978-1-119-05751-2.
  204. ^ ويل، هيرمان (2015). التناظر . مكتبة علوم برينستون. المجلد 47. مطبعة جامعة برينستون. ص 4. رقم ISBN 978-1-4008-7434-7.
  205. ^ "المحاضرة 8: تماثل الترجمة | الفيزياء 3: الاهتزازات والموجات | الفيزياء". MIT OpenCourseWare .
  206. ^ برادلي، لاري (2010). "الكسور - الفوضى والكسور". stsci.edu . مؤرشف من الأصل في 7 مارس 2023. تم الاسترجاع في 29 ديسمبر 2022 .
  207. ^ "التشابه الذاتي". math.bu.edu . مؤرشف من الأصل في 2 مارس 2023. تم الاسترجاع في 29 ديسمبر 2022 .
  208. ^ Kissane, Barry (يوليو 2009). Popular mathematical conference. 22nd Biennial Conference of The Australian Association of Mathematics Teachers. Fremantle, Western Australia: Australian Association of Mathematics Teachers. ص.  125– 126. مؤرشف من الأصل في 7 مارس 2023. تم الاسترجاع في 29 ديسمبر 2022 .
  209. ^ Steen, LA (2012). Mathematics Today Twelve Informal Essays. Springer Science & Business Media. ص 2. ISBN 978-1-4613-9435-8تم الاسترجاع في 3 يناير 2023 .
  210. ^ بيتيسي، ميرسيا (2017). أفضل كتابات عن الرياضيات 2016. مطبعة جامعة برينستون. رقم ISBN 978-1-4008-8560-2تم الاسترجاع في 3 يناير 2023 .
  211. ^ موناستيرسكي 2001، ص 1: "إن ميدالية فيلدز هي الآن بلا منازع الجائزة الأكثر شهرة والأكثر تأثيرًا في الرياضيات".
  212. ^ ريهم 2002، ص 778-782.
  213. ^ "ميدالية فيلدز | الاتحاد الدولي للرياضيات (IMU)". www.mathunion.org . مؤرشف من الأصل في 26 ديسمبر 2018 . تم الاسترجاع في 21 فبراير 2022 .
  214. ^ ab "ميدالية فيلدز". تاريخ الرياضيات . مؤرشف من الأصل في 22 مارس 2019. تم الاسترجاع في 21 فبراير 2022 .
  215. ^ "فهرس الأوسمة/الجوائز". أرشيف تاريخ الرياضيات في MacTutor . مؤرشف من الأصل في 17 ديسمبر 2021. تم الاسترجاع في 20 فبراير 2023 .
  216. ^ "حول جائزة آبل". جائزة آبل. مؤرشف من الأصل في 14 أبريل 2022. تم الاسترجاع 23 يناير 2022 .
  217. ^ "جائزة آبل | جائزة الرياضيات". موسوعة بريتانيكا . مؤرشف من الأصل في 26 يناير 2020. تم الاسترجاع في 23 يناير 2022 .
  218. ^ "جائزة ميدالية تشيرن" (PDF) . mathunion.org . 1 يونيو 2009. مؤرشف من الأصل (PDF) في 17 يونيو 2009. تم الاسترجاع في 21 فبراير 2022 .
  219. ^ "جائزة ميدالية تشيرن". الاتحاد الدولي للرياضيات (IMU). مؤرشف من الأصل في 25 أغسطس 2010. تم الاسترجاع في 23 يناير 2022 .
  220. ^ "جائزة لوروي ب. ستيل للجمعية الأمريكية للرياضيات". كلية الرياضيات والإحصاء، جامعة سانت أندروز، اسكتلندا. مؤرشف من الأصل في 17 نوفمبر 2022. تم الاسترجاع في 17 نوفمبر 2022 .
  221. ^ تشيرن، إس إس؛ هيرزيبروتش، ف. (سبتمبر 2000). جائزة وولف في الرياضيات. doi :10.1142/4149. ISBN 978-981-02-3945-9. مؤرشف من الأصل في 21 فبراير 2022 . تم الاسترجاع 21 فبراير 2022 .
  222. ^ "جائزة الذئب". مؤسسة الذئب . مؤرشف من الأصل في 12 يناير 2020. تم الاسترجاع 23 يناير 2022 .
  223. ^ "مشكلات هيلبرت: 23 والرياضيات". مؤسسة سيمونز . 6 مايو 2020. مؤرشف من الأصل في 23 يناير 2022. تم الاسترجاع في 23 يناير 2022 .
  224. ^ فيفرمان، سولومون (1998). "تحديد ما لا يمكن تحديده: المصارعة مع مشاكل هيلبرت" (PDF) . في ضوء المنطق. سلسلة المنطق والحوسبة في الفلسفة. مطبعة جامعة أكسفورد. ص  3- 27. ISBN 978-0-19-508030-8تم الاسترجاع في 29 نوفمبر 2022 .
  225. ^ "مسائل جائزة الألفية". معهد كلاي للرياضيات. مؤرشف من الأصل في 3 يوليو 2015. تم الاسترجاع في 23 يناير 2022 .
  226. ^ "مشكلات الألفية". معهد كلاي للرياضيات. مؤرشف من الأصل في 20 ديسمبر 2018. تم الاسترجاع في 23 يناير 2022 .

مصادر

  • بوليو، نيكولاس (1999). فلسفة الرياضيات والنمذجة: Du chercheur à l'ingénieur . هارماتان. رقم ISBN 978-2-7384-8125-2.
  • بوير، كارل بنيامين (1991). تاريخ الرياضيات (الطبعة الثانية). نيويورك: وايلي . ISBN 978-0-471-54397-8.
  • كريسويل، جوليا (2021). قاموس أكسفورد لأصول الكلمات (الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 978-0-19-886875-0.
  • ديفلين، كيث (2018). المجموعات والوظائف والمنطق: مقدمة في الرياضيات المجردة (الطبعة الثالثة). دار نشر سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4822-8602-1.
  • إيفز، هوارد (1990). مقدمة لتاريخ الرياضيات (الطبعة السادسة). سوندرز. رقم ISBN 978-0-03-029558-4.
  • كلاينر، إسرائيل (2007). كلاينر، إسرائيل (محرر). تاريخ الجبر المجرد. Springer Science & Business Media. doi :10.1007/978-0-8176-4685-1. ISBN 978-0-8176-4684-4. LCCN  2007932362. OCLC  76935733. S2CID  117392219. تم الاسترجاع في 8 فبراير 2024 .
  • كلاين، موريس (1990). الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى العصور الحديثة . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-506135-2.
  • Monastyrsky, Michael (2001). "Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal" (PDF) . CMS – Notes – de la SMC . 33 ( 2– 3). Canadian Mathematical Society. مؤرشف (PDF) من الأصل في 13 أغسطس 2006. تم الاسترجاع في 28 يوليو 2006 .
  • بيرس، بنيامين (1881). بيرس، تشارلز ساندرز (محرر). "الجبر الترابطي الخطي". المجلة الأمريكية للرياضيات . 4 ( 1– 4) (مراجعة مصححة وموسعة وموضحة بورقة بحثية من عام 1875 بقلم ب. بيرس وتعليقات ابنه، سي إس بيرس، على الطبعة المطبوعة عام 1872): 97– 229. doi :10.2307/2369153. hdl : 2027/hvd.32044030622997 . JSTOR  2369153. مراجعة مصححة وموسعة وموضحة بورقة بحثية من عام 1875 بقلم ب. بيرس وتعليقات ابنه، سي إس بيرس، على الطبعة المطبوعة عام 1872. نسخة إلكترونية من Google ومقتطف من D. Van Nostrand، 1882، نسخة إلكترونية من Google . تم الاسترجاع في 17 نوفمبر 2020 ..
  • بيترسون، إيفارس (1988). السائح الرياضي: لمحات من الرياضيات الحديثة . دبليو إتش فريمان وشركاه. رقم ISBN 0-7167-1953-3. LCCN  87033078. OCLC  17202382.
  • بوبر، كارل ر. (1995). "حول المعرفة". بحثًا عن عالم أفضل: محاضرات ومقالات من ثلاثين عامًا . نيويورك: روتليدج. رمز الكتاب : 1992sbwl.book.....P. ISBN 978-0-415-13548-1.
  • ريهم، كارل (أغسطس 2002). "التاريخ المبكر لميدالية فيلدز" (PDF) . إشعارات الجمعية الأمريكية للطب . 49 (7): 778– 782. مؤرشف (PDF) من الأصل في 26 أكتوبر 2006. تم الاسترجاع في 2 أكتوبر 2006 .
  • سيفريوك، ميخائيل ب. (يناير 2006). "مراجعات الكتب" (PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 43 (1): 101– 109. doi : 10.1090/S0273-0979-05-01069-4 . مؤرشف من الأصل (PDF) في 23 يوليو 2006. تم الاسترجاع في 24 يونيو 2006 .
  • Whittle, Peter (1994). "Almost home". In Kelly, FP (ed.). Probability, statistics and optimization: A Tribute to Peter Whittle (سابقًا "A realized path: The Cambridge Statistical Laboratory up to 1993 (revised 2002)" ed.). Chichester: John Wiley. pp.  1– 28. ISBN 978-0-471-94829-2. تم أرشفة النسخة الأصلية في 19 ديسمبر 2013.

قراءة إضافية

مصادر المكتبة حول
الرياضيات
  • كتب على الانترنت
  • الموارد الموجودة في مكتبتك
  • الموارد في المكتبات الأخرى
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mathematics&oldid=1269930449"
Original text
Rate this translation
Your feedback will be used to help improve Google Translate