مجموعة قابلة للعد

تُعتبر المجموعة الرياضية قابلة للعد إذا كانت منتهية أو إذا أمكن ربطها بمجموعة الأعداد الطبيعية . ^{[ أ ]} وبالمثل، تُعتبر المجموعة قابلة للعد إذا وُجدت دالة أحادية منها إلى الأعداد الطبيعية؛ وهذا يعني أنه يمكن ربط كل عنصر في المجموعة بعدد طبيعي فريد، أو أنه يمكن عد عناصر المجموعة واحدًا تلو الآخر، على الرغم من أن العد قد لا ينتهي أبدًا نظرًا لوجود عدد لا نهائي من العناصر.

بصورة أدق، وبافتراض بديهية الاختيار القابل للعد ، تُعتبر المجموعة قابلة للعد إذا كان عدد عناصرها (عدد عناصر المجموعة) لا يتجاوز عدد عناصر الأعداد الطبيعية. ويُقال إن المجموعة القابلة للعد غير المنتهية هي مجموعة لانهائية قابلة للعد ؛ على سبيل المثال، مجموعة جميع الأعداد الطبيعية.${\displaystyle \mathbb {N} }$أو جميع الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

يُنسب هذا المفهوم إلى جورج كانتور ، الذي أثبت وجود المجموعات غير القابلة للعد ، أي المجموعات التي لا يمكن عدها؛ على سبيل المثال مجموعة الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$.

على الرغم من شيوع مصطلحي "قابل للعد" و"لانهائي قابل للعد" كما هو مُعرّف هنا، إلا أن هذا المصطلح ليس عالميًا. ^{[ 1 ]} يستخدم أسلوب بديل مصطلح "قابل للعد " للدلالة على ما يُسمى هنا "لانهائي قابل للعد"، ومصطلح "قابل للعد على الأكثر" للدلالة على ما يُسمى هنا "قابل للعد". ^{[ 2 ] [ 3 ]}

يمكن أيضًا استخدام مصطلحي "قابل للتعداد" ^{[ 4 ]} و "قابل للتعداد" ^{[ 5 ] [ 6 ] ، للإشارة إلى "قابل للعد" و"غير قابل للعد" على التوالي. [ 7 ]} تختلف التعريفات، ويجب توخي الحذر عند التمييز بينها وبين " قابل للتعداد بشكل متكرر" . ^{[ 8 ]}

مجموعة${\displaystyle S}$يكون قابلاً للعد إذا:

• عدده الأساسي${\displaystyle |S|}$أقل من أو يساوي${\displaystyle \aleph _{0}}$( ألف-صفر )، عدد عناصر مجموعة الأعداد الطبيعية${\displaystyle \mathbb {N} }$[ ^{9 ]​}
• توجد دالة أحادية من${\displaystyle S}$ل${\displaystyle \mathbb {N} }$[ ^{10 ] [ 11 ]​}
• ${\displaystyle S}$إما أن تكون المجموعة فارغة أو أن هناك دالة شاملة من${\displaystyle \mathbb {N} }$ل${\displaystyle S}$[ ^{11 ]​}
• يوجد تطبيق تقابلي بين${\displaystyle S}$ومجموعة فرعية من${\displaystyle \mathbb {N} }$[ ^{12 ]​}
• ${\displaystyle S}$إما أن تكون محدودة (${\displaystyle |S|<\aleph _{0}}$) أو عدد لا نهائي قابل للعد. ^{[ 5 ]}

جميع هذه التعريفات متكافئة.

مجموعة${\displaystyle S}$تكون غير قابلة للعد إذا:

• عدده الأساسي${\displaystyle |S|}$هو بالضبط${\displaystyle \aleph _{0}}$[ ^{9 ]​}
• يوجد تطابق حقني وشمولي (وبالتالي تقابلي ) بين${\displaystyle S}$و${\displaystyle \mathbb {N} }$.
• ${\displaystyle S}$توجد مراسلات مباشرة مع${\displaystyle \mathbb {N} }$[ ^{13 ]​}
• عناصر${\displaystyle S}$يمكن ترتيبها في تسلسل لانهائي${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$، أين${\displaystyle a_{i}}$يختلف عن${\displaystyle a_{j}}$ل${\displaystyle i\neq j}$وكل عنصر من${\displaystyle S}$مدرج. ^{[ 14 ] [ 15 ]}

تكون المجموعة غير قابلة للعد إذا لم تكن قابلة للعد، أي أن عدد عناصرها أكبر من عدد عناصرها.${\displaystyle \aleph _{0}}$[ ^{9 ] أي أن} هناك حقنة من${\displaystyle \mathbb {N} }$ل${\displaystyle S}$لكن لم يتم حقن أي شيء من${\displaystyle S}$ل${\displaystyle \mathbb {N} }$في النماذج التي يفشل فيها مبدأ الاختيار ، قد توجد أيضًا مجموعات لا يمكن مقارنتها بـ${\displaystyle \mathbb {N} }$، ما يسمى بمجموعات ديديكيند المحدودة غير المحدودة.

في عام 1874، أثبت كانتور في مقالته الأولى في نظرية المجموعات أن مجموعة الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد، مُبينًا بذلك أن ليس كل المجموعات اللانهائية قابلة للعد. ^{[ 16 ]} وفي عام 1878، استخدم التناظر الأحادي لتعريف ومقارنة أعداد العناصر. ^{[ 17 ]} وفي عام 1883، وسّع نطاق الأعداد الطبيعية ليشمل أعداده الترتيبية اللانهائية ، واستخدم مجموعات من الأعداد الترتيبية لإنتاج عدد لانهائي من المجموعات ذات أعداد لانهائية مختلفة. ^{[ 18 ]}

المجموعة هي مجموعة من العناصر ، ويمكن وصفها بعدة طرق. إحدى هذه الطرق هي ببساطة سرد جميع عناصرها؛ على سبيل المثال، يمكن الإشارة إلى المجموعة المكونة من الأعداد الصحيحة 3 و4 و5 بالرمز التالي :${\displaystyle \{3,4,5\}}$يُطلق عليه اسم نموذج القائمة. ^{[ 19 ]} إلا أن هذا الأسلوب فعال فقط مع المجموعات الصغيرة؛ أما مع المجموعات الأكبر، فسيكون مُستهلكًا للوقت وعرضةً للأخطاء. وبدلًا من سرد كل عنصر على حدة، تُستخدم أحيانًا علامة الحذف ("...") لتمثيل عدة عناصر بين العنصر الأول والعنصر الأخير في المجموعة، إذا اعتقد الكاتب أن القارئ يستطيع بسهولة تخمين ما تُمثله علامة الحذف ("...")؛ على سبيل المثال،${\displaystyle \{1,2,3,\dots ,100\}}$من المفترض أن تشير إلى مجموعة الأعداد الصحيحة من 1 إلى 100. مع ذلك، حتى في هذه الحالة، لا يزال من الممكن سرد جميع العناصر، لأن عدد العناصر في المجموعة محدود. إذا قمنا بترقيم عناصر المجموعة 1، 2، وهكذا، حتى${\displaystyle n}$وهذا يعطينا التعريف المعتاد لـ "مجموعات ذات حجم${\displaystyle n}$".

بعض المجموعات لا نهائية ؛ هذه المجموعات تحتوي على أكثر من${\displaystyle n}$العناصر حيث${\displaystyle n}$أي عدد صحيح يمكن تحديده. (بغض النظر عن حجم العدد الصحيح المحدد)${\displaystyle n}$هو، مثل${\displaystyle n=10^{1000}}$تحتوي المجموعات اللانهائية على أكثر من${\displaystyle n}$(العناصر.) على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية، التي يمكن الإشارة إليها بـ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,\dots \}}$تحتوي المجموعة ^{[ a ]} على عدد لا نهائي من العناصر، ولا يمكننا استخدام أي عدد طبيعي لتحديد حجمها. قد يبدو من الطبيعي تقسيم المجموعات إلى فئات مختلفة: جمع جميع المجموعات التي تحتوي على عنصر واحد معًا؛ وجمع جميع المجموعات التي تحتوي على عنصرين معًا؛ ...؛ وأخيرًا، جمع جميع المجموعات اللانهائية معًا واعتبارها متساوية في الحجم. هذا التصور مناسب للمجموعات اللانهائية القابلة للعد، وكان هو الافتراض السائد قبل أعمال جورج كانتور. على سبيل المثال، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الفردية، وعدد لا نهائي من الأعداد الزوجية، وعدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة إجمالًا. يمكننا اعتبار جميع هذه المجموعات متساوية في "الحجم" لأنه يمكننا ترتيب العناصر بحيث يكون لكل عدد صحيح عدد زوجي مختلف. $${\displaystyle \ldots \,-\!2\!\rightarrow \!-\!4,\,-\!1\!\rightarrow \!-\!2,\,0\!\rightarrow \!0,\,1\!\rightarrow \!2,\,2\!\rightarrow \!4\,\cdots }$$ أو بشكل أعم،${\displaystyle n\rightarrow 2n}$(انظر الصورة). ما فعلناه هنا هو ترتيب الأعداد الصحيحة والأعداد الزوجية في تناظر أحادي (أو تقابل )، وهو دالة تربط بين مجموعتين بحيث يقابل كل عنصر في كل مجموعة عنصرًا واحدًا فقط في المجموعة الأخرى. هذا المفهوم الرياضي لـ "الحجم"، أو العددية، يعني أن مجموعتين تكونان متساويتين في الحجم إذا وفقط إذا كان بينهما تقابل. نسمي جميع المجموعات التي تناظر تناظرًا أحاديًا مع الأعداد الصحيحة " غير منتهية قابلة للعد"، ونقول إن لها عددًا من العناصر يساوي 1.${\displaystyle \aleph _{0}}$.

أثبت جورج كانتور أن ليس كل المجموعات اللانهائية قابلة للعد. على سبيل المثال، لا يمكن وضع الأعداد الحقيقية في تناظر واحد لواحد مع الأعداد الطبيعية (الأعداد الصحيحة غير السالبة).

تتميز مجموعة الأعداد الحقيقية بعدد عناصر أكبر من مجموعة الأعداد الطبيعية، ولذا تُوصف بأنها غير قابلة للعد. يقدم برهان كانتور القطري دليلاً رسميًا باستخدام استراتيجية البرهان بالخلف . يبدأ هذا البرهان بافتراض أن مجموعة الأعداد الحقيقية ضمن الفترة (0، 1) قابلة للعد. إذا صحّ هذا الافتراض، فإنه يمكن ترتيب كل عدد حقيقي في هذه الفترة في قائمة متسلسلة ( s1 _، s2 _، s3 _، ...) حيث يُمثل كل عدد بتوسيع عشري لانهائي. تُشكل هذه القائمة المنظمة أساسًا لبناء عدد حقيقي محدد، من المؤكد منطقيًا أنه غير موجود في المتسلسلة، مما يُبطل الفرضية الأساسية للعد.

يتشكل التناقض عند تعريف هذا العدد الحقيقي الجديد،${\displaystyle x}$حيث كل${\displaystyle n}$يتم اختيار الرقم العشري رقم -th تحديدًا ليختلف عن${\displaystyle n}$الرقم -th من${\displaystyle n}$الرقم رقم في القائمة. من خلال ضمان كل رقم${\displaystyle x_{n}}$لا يساوي${\displaystyle d_{n}}$(مع تجنب استخدام 0 أو 9 لمنع حدوث لبس مع الأعداد العشرية المتكررة)، العدد الناتج${\displaystyle x}$يختلف عن كل عنصر في المتتالية بمقدار منزلة عشرية واحدة على الأقل.${\displaystyle x}$إذا كان عدداً حقيقياً بين 0 و1 لا يظهر في القائمة المفترضة الكاملة، فإنه يترتب على ذلك أنه لا يمكن وجود تقابل بين الأعداد الطبيعية والأعداد الحقيقية. ^{[ 20 ]}

بحسب التعريف، مجموعة${\displaystyle S}$تكون قابلة للعد إذا وُجد تقابل بين${\displaystyle S}$ومجموعة فرعية من الأعداد الطبيعية${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}}$على سبيل المثال، حدد التطابق $${\displaystyle a\leftrightarrow 1,\ b\leftrightarrow 2,\ c\leftrightarrow 3}$$ بما أن كل عنصر من${\displaystyle S=\{a,b,c\}}$يقترن بعنصر واحد فقط من${\displaystyle \{1,2,3\}}$والعكس صحيح ، وهذا يُعرّف تقابلاً، ويُبيّن أن${\displaystyle S}$هي قابلة للعد. وبالمثل، يمكننا إثبات أن جميع المجموعات المنتهية قابلة للعد.

أما بالنسبة لحالة المجموعات غير المنتهية، فإن المجموعة${\displaystyle S}$تكون المجموعة لانهائية قابلة للعد إذا كان هناك تقابل بين${\displaystyle S}$وكل ما${\displaystyle \mathbb {N} }$على سبيل المثال، انظر إلى المجموعات${\displaystyle A=\{1,2,3,\dots \}}$، مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ، و${\displaystyle B=\{0,2,4,6,\dots \}}$، وهي مجموعة الأعداد الزوجية. يمكننا إثبات أن هذه المجموعات لا نهائية قابلة للعد من خلال إظهار تقابل مع الأعداد الطبيعية. ويمكن تحقيق ذلك باستخدام عمليات الإسناد.${\displaystyle n\leftrightarrow n+1}$و${\displaystyle n\leftrightarrow 2n}$، لهذا السبب $${\displaystyle {\begin{matrix}0\leftrightarrow 1,&1\leftrightarrow 2,&2\leftrightarrow 3,&3\leftrightarrow 4,&4\leftrightarrow 5,&\ldots \\[6pt]0\leftrightarrow 0,&1\leftrightarrow 2,&2\leftrightarrow 4,&3\leftrightarrow 6,&4\leftrightarrow 8,&\ldots \end{matrix}}}$$ كل مجموعة غير منتهية قابلة للعد هي مجموعة قابلة للعد، وكل مجموعة غير منتهية قابلة للعد هي مجموعة غير منتهية قابلة للعد. علاوة على ذلك، أي مجموعة جزئية من الأعداد الطبيعية هي مجموعة قابلة للعد، وبشكل أعم:

مجموعة جميع الأزواج المرتبة من الأعداد الطبيعية ( الناتج الديكارتي لمجموعتين من الأعداد الطبيعية،${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$) عدد لانهائي قابل للعد، كما يمكن رؤيته من خلال اتباع مسار مثل المسار الموجود في الصورة:

تتم عملية رسم الخرائط الناتجة على النحو التالي:

$${\displaystyle 0\leftrightarrow (0,0),1\leftrightarrow (1,0),2\leftrightarrow (0,1),3\leftrightarrow (2,0),4\leftrightarrow (1,1),5\leftrightarrow (0,2),6\leftrightarrow (3,0),\ldots }$$ يشمل هذا التخطيط جميع الأزواج المرتبة من هذا القبيل.

هذا الشكل من أشكال التحويل المثلثي يُعمم بشكل متكرر إلى${\displaystyle n}$- مجموعات من الأعداد الطبيعية، أي${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})}$أين${\displaystyle a_{i}}$و${\displaystyle n}$هي أعداد طبيعية، من خلال تكرار تعيين أول عنصرين من${\displaystyle n}$تحويل مجموعة من الأرقام إلى عدد طبيعي. على سبيل المثال،${\displaystyle (0,2,3)}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle ((0,2),3)}$. ثم${\displaystyle (0,2)}$الخرائط إلى 5 لذا${\displaystyle ((0,2),3)}$خرائط إلى${\displaystyle (5,3)}$، ثم${\displaystyle (5,3)}$يُقابل الرقم 39. بما أنه زوج ثنائي مختلف، فهذا زوج مثل${\displaystyle (a,b)}$، حيث يُشير إلى عدد طبيعي مختلف، يكفي وجود اختلاف بين مجموعتين من n-tuples بعنصر واحد لضمان أن تُشير المجموعتان إلى أعداد طبيعية مختلفة. لذا، فإنّ الدمج من مجموعة${\displaystyle n}$- صفوف إلى مجموعة الأعداد الطبيعية${\displaystyle \mathbb {N} }$تم إثبات ذلك. بالنسبة لمجموعة${\displaystyle n}$-الصفوف المكونة من خلال الضرب الديكارتي لعدد محدود من المجموعات المختلفة، كل عنصر في كل صف له ما يقابله من عدد طبيعي، لذلك يمكن كتابة كل صف بالأعداد الطبيعية ثم يتم تطبيق نفس المنطق لإثبات النظرية.

مجموعة جميع الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$ومجموعة جميع الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$قد يبدو بديهياً أكبر بكثير مما هو عليه${\displaystyle \mathbb {N} }$لكن المظاهر قد تكون خادعة. إذا تم التعامل مع زوج من الكسور على أنه بسط ومقام كسر عادي (كسر على شكل${\displaystyle a/b}$أين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b\neq 0}$إذا كانت الأعداد صحيحة، فإنه لكل كسر موجب، يمكننا إيجاد عدد طبيعي مميز يقابله. يشمل هذا التمثيل أيضًا الأعداد الطبيعية، لأن كل عدد طبيعي${\displaystyle n}$وهو أيضًا كسر${\displaystyle n/1}$لذا نستنتج أن عدد الأعداد النسبية الموجبة يساوي تمامًا عدد الأعداد الصحيحة الموجبة. وينطبق هذا أيضًا على جميع الأعداد النسبية، كما هو موضح أدناه.

وبالمثل، فإن مجموعة الأعداد الجبرية قابلة للعد. ^{[ 24 ] [ د ]}

أحيانًا يكون من المفيد وجود أكثر من عملية ربط واحدة: إذا كانت مجموعة${\displaystyle A}$يتم عرض العنصر على أنه قابل للعد عن طريق تعيينه بشكل فردي (حقن) إلى مجموعة أخرى${\displaystyle B}$، ثم${\displaystyle A}$يثبت أنه قابل للعد إذا${\displaystyle B}$يتم ربط كل عنصر من عناصر مجموعة الأعداد الطبيعية بعنصر واحد لعنصر آخر. على سبيل المثال، يمكن بسهولة ربط مجموعة الأعداد النسبية الموجبة بعنصر واحد لعنصر آخر مع مجموعة أزواج الأعداد الطبيعية (الثنائيات) لأن${\displaystyle p/q}$خرائط إلى${\displaystyle (p,q)}$بما أن مجموعة أزواج الأعداد الطبيعية يتم تعيينها بشكل فردي (في الواقع تطابق أو تقابل فردي) إلى مجموعة الأعداد الطبيعية كما هو موضح أعلاه، فقد ثبت أن مجموعة الأعداد النسبية الموجبة قابلة للعد.

انطلاقاً من معرفتنا المسبقة بوجود مجموعات غير قابلة للعد، نتساءل عما إذا كان بالإمكان توسيع هذه النتيجة الأخيرة. الإجابة هي "نعم" و"لا"، إذ يمكننا توسيعها، لكننا نحتاج إلى افتراض بديهية جديدة للقيام بذلك.

على سبيل المثال، بالنظر إلى المجموعات القابلة للعد${\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}},{\textbf {c}},\dots }$، نقوم أولاً بتعيين كل عنصر من عناصر كل مجموعة كصف، ثم نقوم بتعيين فهرس لكل صف باستخدام شكل مختلف من التعداد المثلثي الذي رأيناه أعلاه: $${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c }{\text{Index}}&{\text{Tuple}}&{\text{Element}}\\\hline 0&(0,0)&{\textbf {a}}_{0}\\1&(0,1)&{\textbf {a}}_{1}\\2&(1,0)&{\textbf {b}}_{0}\\3&(0,2)&{\textbf {a}}_{2}\\4&(1,1)&{\textbf {b}}_{1}\\5&(2,0)&{\textbf {c}}_{0}\\6&(0,3)&{\textbf {a}}_{3}\\7&(1,2)&{\textbf {b}}_{2}\\8&(2,1)&{\textbf {c}}_{1}\\9&(3,0)&{\textbf {d}}_{0}\\10&(0,4)&{\textbf {a}}_{4}\\\vdots &&\end{array}}}$$

نحتاج إلى بديهية الاختيار القابل للعد لفهرسة جميع المجموعات${\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}},{\textbf {c}},\dots }$معًا.

هذه المجموعة هي اتحاد المتتاليات ذات الطول 1، والمتتاليات ذات الطول 2، والمتتاليات ذات الطول 3، وهكذا، وكل منها مجموعة قابلة للعد (حاصل ضرب ديكارتي منتهٍ). وبالتالي، فإن المجموعة هي اتحاد قابل للعد لمجموعات قابلة للعد، وهي قابلة للعد وفقًا للنظرية السابقة.

يمكن ترتيب عناصر أي مجموعة جزئية منتهية في متتالية منتهية. وبما أن عدد المتتاليات المنتهية محدود، فإن عدد المجموعات الجزئية المنتهية محدود أيضاً.

وتنتج هذه النتائج من تعريفات المجموعة القابلة للعد باعتبارها دوالًا أحادية/شاملة. ^{[ g ]}

تنص نظرية كانتور على أنه إذا${\displaystyle A}$هي مجموعة و${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$هي مجموعة القوى الخاصة بها ، أي مجموعة جميع المجموعات الجزئية من${\displaystyle A}$إذن، لا توجد دالة شاملة من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$يُقدَّم برهانٌ في مقالة نظرية كانتور . وكنتيجة مباشرة لذلك وللنظرية الأساسية المذكورة أعلاه، لدينا:

للاطلاع على تفاصيل هذه النتيجة، انظر إلى حجة كانتور القطرية .

مجموعة الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد، ^{[ h ]} وكذلك مجموعة جميع المتتاليات اللانهائية من الأعداد الطبيعية.

إذا وُجدت مجموعة تُشكّل نموذجًا قياسيًا (انظر النموذج الداخلي ) لنظرية مجموعات ZFC، فإنه يوجد نموذج قياسي أدنى (انظر الكون القابل للبناء ). يمكن استخدام نظرية لوفنهايم-سكولم لإثبات أن هذا النموذج الأدنى قابل للعد. ويتضح ذلك من حقيقة أن مفهوم "عدم القابلية للعد" منطقي حتى في هذا النموذج، وخاصةً أن هذا النموذج M يحتوي على عناصر:

• مجموعات جزئية من M ، وبالتالي قابلة للعد،
• لكنها غير قابلة للعد من وجهة نظر م ،

كان يُنظر إليه على أنه متناقض في الأيام الأولى لنظرية المجموعات؛ انظر مفارقة سكوليم للمزيد.

يتضمن النموذج القياسي الأدنى جميع الأعداد الجبرية وجميع الأعداد المتسامية القابلة للحساب بشكل فعال ، بالإضافة إلى العديد من أنواع الأعداد الأخرى.

يمكن ترتيب المجموعات القابلة للعد ترتيباً كاملاً بطرق مختلفة، على سبيل المثال:

• الرتب الجيدة (انظر أيضًا العدد الترتيبي ):
  • الترتيب المعتاد للأعداد الطبيعية (0، 1، 2، 3، 4، 5، ...)
  • الأعداد الصحيحة بالترتيب (0، 1، 2، 3، ...؛ -1، -2، -3، ...)
• أخرى ( طلبات غير جيدة):
  • الترتيب المعتاد للأعداد الصحيحة (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...)
  • الترتيب المعتاد للأعداد النسبية (لا يمكن كتابته صراحةً كقائمة مرتبة!)

في كلا المثالين لترتيبات الآبار المذكورة هنا، تحتوي أي مجموعة جزئية على أصغر عنصر ؛ وفي كلا المثالين لترتيبات غير الآبار، لا تحتوي بعض المجموعات الجزئية على أصغر عنصر . هذا هو التعريف الأساسي الذي يحدد ما إذا كان الترتيب الكلي ترتيبًا للآبار أيضًا.

• رقم ألف
• عد
• مفارقة هيلبرت في فندق جراند
• مجموعة غير معدودة

• أبوستول، توم م. (يونيو 1969)، حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والجبر الخطي مع التطبيقات ، المجلد  2 (الطبعة الثانية  )، نيويورك: جون وايلي وأولاده، ISBN 978-0-471-00007-5
• أفيلسجارد، كارول (1990)، أسس الرياضيات المتقدمة ، سكوت، فورسمان وشركاه، رقم ISBN 0-673-38152-8
• كانتور ، جورج (1878)، “Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre” ، Journal für die Reine und Angewandte Mathematik ، 1878 (84): 242–248 ، دوى : 10.1515/crelle-1878-18788413 ، S2CID 123695365 
• فيريروس، خوسيه (2007)، متاهة الفكر: تاريخ نظرية المجموعات ودورها في الفكر الرياضي (الطبعة الثانية المنقحة  )، بيركهاوزر، ISBN 978-3-7643-8349-7
• فليتشر، بيتر؛ باتي، سي. واين (1988)، أسس الرياضيات العليا ، بوسطن: شركة بي دبليو إس-كينت للنشر، رقم ISBN 0-87150-164-3
• هالموس ، بول ر. (1960)، نظرية المجموعة الساذجة ، D. Van Nostrand Company، Incأُعيد طبعه بواسطة دار نشر سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، 1974. رقم الكتاب المعياري الدولي (ISBN) 0-387-90092-6(طبعة سبرينغر-فيرلاغ). أعيد طبعه بواسطة مارتينو فاين بوكس، 2011. رقم ISBN 978-1-61427-131-4(طبعة غلاف ورقي).
• كامكي، إريك (1950)، نظرية المجموعات ، سلسلة دوفر في الرياضيات والفيزياء، نيويورك: دوفر، ISBN 978-0486601410{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• لانغ، سيرج (1993)، التحليل الحقيقي والوظيفي ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0-387-94001-4
• رودين، والتر (1976)، مبادئ التحليل الرياضي ، نيويورك: ماكجرو هيل، ISBN 0-07-054235-X
• تاو، تيرينس (2016). "المجموعات اللانهائية" . التحليل 1. نصوص وقراءات في الرياضيات. المجلد  37 (  الطبعة الثالثة). سنغافورة: سبرينغر. الصفحات 181-210 . doi : 10.1007/978-981-10-1789-6_8 . ISBN  978-981-10-1789-6.